
%  ed4.tex         Elektrodynamik SS 1991
%  
%  Boltzmanngleichung / Dispersionsrelationen 

%  def.tex  erforderlich

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\nopagenumbers  \raggedright

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\input def

\def\mitt#1{\buildrel - \over #1}

\rightline{ \mt Elektrodynamik \enskip SS 1991}
\vskip -.2cm 
\centerline{\gr Boltzmann-Gleichung \qquad \qquad \qquad \qquad }
\smallskip  \nz
Wer einmal auf simple Weise, n\"amlich \"uber $m \p v = q E - 
{m \over \tau} v \; , \; \mitt v = {q E \over m } \!\; \tau $
und $j = n q \mitt v \glr \sigma E$ bei der Drude-Formel    
$\sigma = n q^2 \tau / m $ angekommen ist, der m\"ochte wohl erfahren,
(a) wie eine anst\"andige Herleitung aussieht und (b) wie es sein kann,
da\ss\ sich die Relaxationszeit $\tau$ berechnen l\"a\ss t. 
In klassisch-physikalischer "Wirklichkeit" sind bereits ohne Feld $\vc E$
die Geschwindigkeiten der Teilchen thermisch verteilt: 
$\quad d^3 v \, f_o ( \vc v ) \gll $ {\kl Wahrscheinlichkeit, $ein$ 
Teilchen mit } \nz 
\hskip 6.2cm {\kl Geschwindigkeit in $d^3 v $ um $\vc v$ anzutreffen} 
\smallskip \nz
In einem dieser $d^3 v$'s liegt $\vc v$ mit Sicherheit: 
$\int \! d^3 v \, f_o (\vc v)=1$ .
F\"ur Pauli-Prinzip-Ignoranten handelt es sich \"ubrigens um die 
Maxwell-Verteilung  
$f_o(\vc v)= {\rm const} \, e^{- \beta m v^2 /2}$, f\"ur
Quantiker und Metall-Kenner um die Fermi-Verteilung. \nz
In Feldern $\vc E \, , \, \vc B$ (noch keine St\"o\ss e) \"andert ein
Teilchen, sagt Newton, seine Geschwindigkeit von $\vc v$ auf $\vc v + d\vc v$
mit $d \vc v = {1 \over m} \, q \!\; (\vc E + \vc v \times \vc B) \cdot dt$ 
und nimmt dabei seine Wahrscheinlichkeitsdichte   \smallskip \nz 
$f(\vc v , t)$ mit : $f(\vc v + d\vc v, \, t + dt ) = f(\vc v , t ) \;$ oder : 
$dt \, \partial_t f + d \vc v \cdot \nabla_v f = 0$ : \smallskip \nz
     $$ \p f = \p f )_{\rm Drift} + \p f )_{\rm Stoss} \quad , \qquad
        \p f )_{\rm Drift} = - {q \over m} \, (\vc E + \vc v \times \vc B ) 
        \cdot \nabla_v f \quad , \qquad \p f )_{\rm Stoss} = 
        - \, {f - f_o \over \tau } $$ \nz
Dabei haben wir den Sto\ss term in Relaxationszeit-N\"aherung aufgeschrieben
, d.h. die $f$-Abnahme als proportional zur 
$f$-Abweichung vom Gleichgewicht angenommen. Dies zu pr\"ufen und $\tau$ 
aus\-zu\-rech\-nen, wird nun dadurch m\"oglich, da\ss\ man (quantenmechanisch) die
\"Ubergangsrate ausrechnet (von Zustand mit $\vc v$ in Zust\"ande mit anderem
$\vc v$, wobei sich der Streuquerschnitt ins Spiel bringt). \smallskip \nz
A) Keine Felder : $\; \p f = (f - f_o ) / \tau$ wird gel\"ost durch
$f(\vc v , t)  = f_o(\vc v) 
+ [ f(\vc v, 0) - f_o(\vc v) ] \cdot e^{-t/\tau}$. \nz 
\quad \enskip $\tau$ setzt also die Zeitskala, auf der eine Abweichung 
abklingt. \smallskip \nz
B) $\vc E$, station\"arer Betrieb : $\; 0 = - {q \over m} \vc E \nabla_v f
- (f-f_o) / \tau$. Um den Strom $\vc j$ linear in $\vc E$ zu er- \nz 
\quad \enskip halten, mu\ss\ im 1. Term $f$ durch $f_o$ ersetzt werden. 
Diese \anfu linearisierte Boltzmann-Gleichung\anfo ist nun trivial 
l\"osbar: $f = f_o - {q \tau \over m} \vc E  \nabla_v f_o $ .
Sind $N \gll n V$ Teilchen in einem (gedachten) Volumen, dann ist 
$N f d^3 v$ die mittl. Anzahl Teilchen mit Geschw. in $d^3 v$ um $\vc v$, 
und $\vc v q n f d^3 v $ ist die $d^3 v$ zuzuordnende Stromdichte.
Also ist $\vc j = \int d^3 v \vc v q n f = - {n q^2 \tau \over m} \int 
d^3 v \vc v (\vc E \nabla_v f_o) = {n q^2 \tau \over m} \cdot \vc E $ , 
$ $ qed. \smallskip \nz
C) Wechselstrom : $\;$Lasse $\p f$ auf der linken Seite stehen, 
setze $\vc E = Re \lbrace \vc E_o e^{-i \omega t} \rbrace $ , linearisiere, \nz
\quad \enskip l\"ose und erhalte $\vc j = Re \lbrace \sigma \vc E_o 
e^{-i \omega t} \rbrace $ mit 
$\sigma = { n q^2 \tau \over m} / (1 - i \omega \tau )$ . 
\nz
\bigskip
\centerline{ \qquad {\gr Dispersionsrelationen} \quad (Kramers + Kronig 
             1927 bzw. 1926) }
\def\hint{\int \hskip -.36cm - \;}
\smallskip  \nz
erh\"alt man im Falle der Leitf\"ahigkeit wie folgt : \nz
$$ j(t)= \int \! dt^\prime s(t-t^\prime ) \, E(t^\prime ) \; , \; s(t) 
       = \theta (t) f(t) \glr \! \int \! d \omega e^{-i \omega t} 
         \sigma (\omega ) / 2 \pi \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \sigma (\omega ) 
       = \int_0^\infty \! dt e^{i \omega t} f(t) $$   \nz 
ist analytisch in der OHE einschlie\ss lich reeller Achse, wenn/weil
$f(t)$ hinreichend stark bei gro\ss en $t$ abf\"allt 
(z.B. exponentiell). Wegen   \vskip -1cm
$$ \hskip 6cm \sigma (z) 
   = {1 \over 2 \pi i } \int_{\rm OHE} \! d\omega^\prime \sigma 
     (\omega^\prime ) / (\omega^\prime - z)  \qquad 
     {\rm fuer} \; z \; {\rm in \; OHE } $$ 
\vskip -.6cm \nz
folgt (nun $\omega^\prime$ und $\omega$ wieder reell), da\ss\ 
\vskip -.6cm
$$ \sigma (\omega + i \epsilon ) 
   = {1 \over 2 \pi i } \hint d \omega^\prime \sigma (\omega^\prime ) / 
     (\omega^\prime - \omega ) + \sigma (\omega ) / 2 
     \;\; , \; {\rm d. h.} \;\; \sigma (\omega ) 
   = {1 \over \pi i} \hint d\omega^\prime \sigma (\omega^\prime ) / 
     (\omega^\prime - \omega ) \; . $$
\vskip -.8cm
$$ \; \; \sigma = A + i B \; : \; A + i B 
   = {1 \over \pi i} \hint  d \omega^\prime ( A + i B ) / 
     (\omega^\prime - \omega ) \; \Rightarrow \; A(\omega) 
   = {1 \over \pi} \hint d \omega^\prime B(\omega^\prime ) / 
     (\omega^\prime - \omega ) $$    
\vskip -.2cm \nz
Oberste Formelzeile, rechts $\;\Rightarrow \; \sigma (-z) 
= [ \, \sigma ( z^* ) \, ]^* $ . Also ist $A(-\omega ) + i B ( - \omega ) 
= A(\omega) - i B(\omega)$ \nz
und somit der $\sigma$-Realteil $A$ eine gerade Funktion 
von $\omega $ , $\; - \;$ und $B$ eine ungerade. 
\bigskip \nz \ende

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
