%  ft1.tex         Quantenmechanik II ,  Sommer 1996
%                  = Einfuehrung in die Feldtheorie
%      ( und 'Maxwell bis Feynman' im SS 2002 )
%
%  u , v   und die Sache mit den Heidebauern

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
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\input def
\def\kaef{\hbox{{\sm )$\!\!\!\>$/$\!\!\!\;
     \lower 2pt\hbox{$^{_\vert}$}\!\!\!\>$/$\!\!\!\>$($\,$}}}
\def\QS{Q\!\!\!\!\!\>/}
\def\eq#1{\eqno{(\, {\rm uv} \, . \, #1 \, )}}
\def\e#1{$\, (\,$uv$\, . \,$#1$\, )\;$}

\rightline{Uni Hannover, Q.II~'96, ... , M--F~'02} 
\bigskip\bigskip
\ct{\mt {\uv u , \uv v} \qquad und ein Pl\"adoyer 
         f\"ur Heidebauern }
\bigskip
\medskip \nz
Wenn man ein System $\Sigma^\prime$, in welchem der Zustand 
\raise 4pt\hbox{$\Big( \lower 
       9pt\vbox{\hbox{$^{\chi_s}$} 
\vbox{\hbox{$\, _0$}\hbox{$\, ^0$}} } \Big)$}$e^{-imt^\prime}$
bzw.
\raise 4pt\hbox{$\Big( \lower 
       9pt\vbox{\vtop{\hbox{$\,_0$}\hbox{$\, ^0$}} 
       \hbox{$^{\chi_s}$}} \Big)$}$e^{imt^\prime}$
vorliegt, mit $v \vc e$ in die Gegend wirft, dann
erz\"ahlt $\psi (x) = S^{-1} \psi^\prime (x^\prime =\L x )$,
wie der Zustand im Labor $\Sigma$ gesehen wird. Um dies zu
explizieren, wird ($S$ f\"ur boost siehe (D.8), hier in
Dirac--Basis$\,$; $E_q \gll \wu {m^2 + q^2}\,$)
$$ S^{-1} = \lk \ch \( {\o \0 2} \) + \sh \( {\o \0 2} \) 
  \( \matrix{ 0 & \vc e \vc \sigma \cr \vc e \vc \sigma
  & 0 \cr} \) \rk \;\; , \;\;
  \L = \( \matrix{ \g  & - \b \g \vc e \cr - \b \g \vc e  &
     1 + \( \g - 1 \) \vc e \circ \vc e \cr } \) \;\; , \;\;
     \matrix{ m \b \g \vc e = \vc q  \cr  m \g = E_q \cr }
\eq 1 $$
ben\"otigt, und man erh\"alt  
$$ \psi (x) = u_{ s , \vcsm q}\; e^{-iE_q t + i \vcsm q
   \vcsm r} \qquad \hbox{bzw.} \qquad
   \psi (x) = v_{ - s , \vcsm q}\; e^{iE_q t - i\vcsm q
   \vcsm r} \qquad \hbox{mit}
\eq 2 $$
$$  u_{ s , \vcsm q}\; = \wu { {E_q + m \0 2m} } 
   \( \matrix{ \chi_s \cr \kaef \chi_s \cr } \) \quad , \quad
    v_{ - s , \vcsm q}\; = \wu { {E_q + m \0 2m} } 
   \( \matrix{ \kaef \chi_s \cr \chi_s \cr } \) \quad , \quad
   \raise 1pt\hbox{$\kaef$} \gll { \vc q \vc \sigma \0 E_q
   + m } \quad .
\eq 3 $$
Das sind sie, die $u$, $v$, d.h. die Koeffizienten--Spinoren
der 
station\"aren, ebenwelligen L\"osungen der freien
Dirac--Gleichung. Zu $\chi_s$ haben wir uns \raise
1pt\hbox{$\big( \lower 7pt\vbox{\hbox{$_1$}\hbox{$^0$}}
\big)$}  bzw. \raise
1pt\hbox{$\big( \lower 7pt\vbox{\hbox{$_0$}\hbox{$^1$}}
\big)$} vorgestellt, so da\ss\ $\chi_s \chi_{s^\prime}
= \d_{s , s^\prime}\,$. Unverz\"uglich kann man nun
einige Relationen nachpr\"ufen$\,$:
$$ u_s^\ast u_{s^\prime} = {E_q \0 m}\, \d_{s , s^\prime}
   \quad , \quad
   v_s^\ast v_{s^\prime} = {E_q \0 m}\, \d_{s , s^\prime}
   \quad , \quad
   u_{s , \vcsm q}^\ast\; v_{-s^\prime , - \vcsm q}\; = 0
   \quad , \quad \hbox{sowie mit Def.} \;\;
   \ov\psi \gll \psi^\ast\g^0 \;\; :
\eq 4 $$
$$  \ov u _s u_{s^\prime} = \d_{s , s^\prime} \quad , \quad
    \ov v _s v_{s^\prime} = - \d_{s , s^\prime} \quad ,\quad
    \ov u _s v_{s^\prime} = 0 \quad ; \quad \sum_{s=1}^2 
    \( u_{s \a} \ov u_{s \b} - v_{s \a} \ov v _{s \b} \)
    = \d_{\a \b} \quad .
\eq 5 $$
An der vierten Stelle steht die zugeh\"orige
Vollst\"andigkeitsrelation (''Summe \"uber Quantenzahlen gibt
Kronecker in Variablen'')$\,$. Sofern an beiden Partnern
gleich, wurde der langweilige $\vc q$-Index weggelassen.
Mit Vierervektor $Q = \( E_q , \vc q \)$ gilt
$$  \( \QS - m \) u_{s , \vcsm q}\; = 0 \quad , \quad
    \( \QS + m \) v_{s , \vcsm q}\; = 0 \quad\; ; \quad\;
    \ov u _{s , \vcsm q}\; \( \QS - m \)  = 0 \quad , \quad
    \ov v _{s , \vcsm q}\; \( \QS + m \)  = 0 \quad .
\eq 6 $$
% ----------------------------------------------
\medskip 
Wer da aber ein uriger Heidebauer ist, tief verwurzelt in 
irdischer Quantenmechanik, der greift sich $i \p \psi = H_D
\psi$, $H_D = m \g^0 - i \g^0 \vc \g \nabla $, und l\"ost dies
mit $\psi_{s,\vcsm q , b} = \xi_{s,\vcsm q , b} e^{-iE_{q,b} t}
e^{i \vcsm q \vcsm r}$, $b =$ Bandindex $= c,v$ (conduction,
valence), $E_{q, b} = \pm E_q$. Wegen $H_D^\dagger = H_D$
wei\ss\ er vorweg von Kronecker--Normierbarkeit und erh\"alt
$$ \xi_{s,\vcsm q , b}^\ast \,\xi_{s^\prime ,\vcsm q ,
   b^\prime} = \d_{s, s^\prime}\, \d_{b, b^\prime}
   \qquad , \qquad
   \xi_{s,\vcsm q , c} = \wu {m \0 E_q} u_{s, \vcsm q}
   \quad , \quad \xi_{s,\vcsm q , v} = \wu {m \0 E_q}
   v_{- s, - \vcsm q} \quad .
\eq 7 $$
''Aaah'', sagt er nun, ''diese Relativisten$\,$! Zum einen
drehen sie mir zum Valenzband das $\vc q$-Vorzeichen um (aber
wegen $\kaef(-\vc q ) = - \kaef(\vc q )$ ist alles OK), zum
anderen steigen sie auf eine invariante Normierung ($d^3r E_q =$
Lorentz--Skalar) um. Na gut.''. Stur (aber nicht bl\"ode) wie er 
ist, holt er noch alte Weisheit zur Besetzungszahldarstellung
aus der Scheune und notiert (unter Ausschreiben der
Summe \"uber Bandindex $b$) den Feldoperator$\,$:
$$ \qquad\qquad \gps (\vc r ) \; = \; \sum_s \int \! d^3q \,
   \( \xi_{s, \vcsm q , c}\; {1\0 \wu {(2\pi )^3}} 
   e^{i \vcsm q \vcsm r}\; b_{s , \vcsm q , c} 
   \;\, + \;\, \xi_{s, \vcsm q , v}\; {1\0 \wu {(2\pi )^3}}
   e^{i \vcsm q \vcsm r}\;  b_{s , \vcsm q , v}  \) \quad .
\eq 8 $$
Nun spielt er mit der Definition $d^\dagger_{s, \vcsm q} \gll 
b_{-s,-\vcsm q ,v}$ und bemerkt, da\ss\ auch $d$ und
$d^\dagger$ (Positron--Erzeuger) die Fermi--Algebra erf\"ullen.
F\"ur $b_{s, \vcsm q , c}$ schreibt er schlicht $b_{s,\vcsm q}\,$ 
(Elektron--Vernichter), und im zweiten Term wechselt er unter 
$\sum_s\int\! d^3 q$ die Vorzeichen von $s$ und $\vc q$. 
Schlie\ss lich definiert er sich per $\,d_{s,\vcsm q}\,\vert 0 > 
= 0 $ ein neues Vakuum $\vert 0 >$, erh\"alt
$$ \gps (x) \; = \; \sum_s \int \! d^3q \,\wu {m \0
   (2\pi )^3 E_q} \(\, u_{s, \vcsm q}\; e^{- i Q x}\;
   b_{s , \vcsm q} \;\, + \;\,  v_{s, \vcsm q}\;
   e^{i Q x}\; d^\dagger_{s , \vcsm q} \,\) \qquad
\eq 9 $$
und ist damit perfekt bei der Quantisierung der Feld--Leute 
angekommen. Die in \e 9 hinzugef\"ugte Zeitab\-h\"an\-gig\-keit
ist jene von Heisenberg--Operatoren, $Q \gll (E_q , \vc q )$.
Damit ist er nun sehr zufrieden und murmelt noch ''habe Einheit
der Physik hergestellt'' in den Bart.

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
