% me3.tex

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%             Der Invarianz-Beweis

\documentclass[12pt]{article} \pagestyle{empty}
\usepackage{amssymb} \usepackage{german}
\hoffset -6mm  \textwidth 16cm
\voffset -3.5cm  \textheight 28.4cm
\parskip 3mm

\input def
% oberes =
\def\glo#1{ & = \hspace{-.17cm}
            \vrule width 0.1pt height .04cm depth #1mm
            \hspace{.12cm} & }
% unteres =
\def\glu#1{ \nonu \\[-.5cm] & = \hspace{-.17cm}
          \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm
           \hspace{.12cm} & }
% mittleres =
\def\gluo#1#2{ \nonu \\[-.5cm] &  \hspace{.005cm}
            = \hspace{-.174cm}
           \vrule width 0.1pt height #1mm depth -.14cm
           \hspace{-.004cm}
           \vrule width 0.1pt height .04cm depth #2mm
           \hspace{.12cm} & }

\begin{document}
\small
\rl{Uni Hannover, 10. 4. 2002}
\vskip -8mm
\begin{center}
{\large\bf Die Invarianz} \\[1mm]
der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen unter Punkttransformationen
\end{center}
\vskip -2mm
Wir sind Newtonisch aufgewachsen. Wir suchen einen Weg, der uns
sanft zur Lagrangeschen Mechanik hinf\"uhrt. Solche Hinwege    
in h\"ohere Strukturen sind wertvoll, {\sl f\"ur uns}
(Menschen) n\"amlich. 

Wenn ein Potential $\,V(\vc r)\,$ existiert ({\sl wenn}~!\gef),
dann lautet Newtons Bewegungsgleichung 
             \linebreak \vskip -7.4mm \noindent
bekanntlich $\,m\pvc v = - \nabla V\,$,
oder in 1D schlicht $\,m\p v = - \6_x V(x)\,$.
Bei dem folgenden Spielchen werden, sobald $\,\6\,$ auftaucht,
$\,\p x\,$, $\,x\,$ und $\,t\,$ als drei unabh\"angige Variable
angesehen. $\,d_t\,$ hingegen \glqq erinnert\grqq\ sich wieder 
der in $\,x\,$ oder $\,\p x\,$ versteckten $\,t$--Abh\"angigkeit.
Ist also $\,q(x,t)\,$ irgendeine Funktion von $\,x\,$ und 
$\,t\,$, so gilt $\,\p q \gll d_t q  = \p x \,\6_x q(x,t) 
+ \6_t q(x,t)\,$ (ein \"ubersetzter Punkt meint also die
\glqq totale\grqq\ Zeitableitung). Nach diesen Verabredungen
k\"onnen wir Newton (in 1D und f\"ur ein Teilchen) auch 
schreiben als
\bea{1} 
   d_t \; \6_{\p x} \,\Big[ {m\02} \p x^2
    \phantom{ \;\, - V(x)\,}  \Big] 
   &=& \6_x \;\Big[ \phantom{ \, {m\02} \p x^2 \,}
         - V(x) \Big]                 \\[1mm]
   \hbox{oder \ \ \qquad} d_t \; \6_{\p x} \,\Big[
    \, {m\02} \p x^2 - V(x)
    \Big] 
   &=& \6_x \;\Big[ \, {m\02} \p x^2 - V(x)\,
      \Big] \quad , \quad
\eea % 1 und 2
denn der Leerraum in den eckigen Klammern hat sich nur mit   
Termen gef\"ullt, deren anschlie\ss ende Differentiation Null
ergibt. Mit der Definition $\,L \gll L(\p x , x ) \gll T-V\,$ 
ist also
\be{3}
  \Big[\; d_t \, \6_{\p x} - \6_x \;\Big] \; L  
  \; = \; 0 \quad
\ee % 3
mit Newton v\"ollig \"aquivalent~: ~Lagrange {\sl ist} Newton.

Die Verallgemeinerung auf $\,N\,$ Teilchen in 3D ist 
zwanglos m\"oglich: man lese $\,x\,$ als Vektor $\,(x_1,x_2,\;
\ldots\;,x_{3N})\,$, $\,\6_x\,$ und $\,\6_{\p x}\,$ als 
$\,3N$--dimensionale Gradienten, $\,V(x)\,$ als Gesamtpotential
des Systems und nat\"urlich $\,T\,$ als Summe der kinetischen    
Energien der Teilchen. \glqq Und wenn $\,V\,$ nicht
existiert~?\grqq\ \ --- \ dann denke man \"uber Kr\"afte nach.
Sie sind in unserer heimischen Natur fast ausschlie\ss lich
elektromagnetisch (Erdanziehung als $-\nabla q\phi\,$ lesbar).
Gescheite Einf\"ullungen bei \eq{1} geben DIE Bewegungsgleichung
$\,m \pvc v = q\vc E + \,q\vc v \times \vc B\,$ der Mechanik
und ihre (DIE) Lagrange--Funktion $\,L= T - q\phi + q\vc v \vc A\,$.
Hierzu gibt es ein separates Sonderblatt.

Mit Blick auf ein konkretes Problem m\"ogen nicht--kartesische
Koordinaten $\,q = q(x,t)\,$ ($\,3N$--fach zu lesen) sinnvoll erscheinen.
Eindeutigkeit der Zuordnung verlangt, da\ss\ im interessierenden
Bereich $\,\6_x q \neq 0\,$ bleibt. $\,3N$--fach gedacht: die
Jacobi--Determinante soll nicht verschwinden. Weil wir es nachher
f\"ur \eq{5} gleich ben\"otigen:
\be{4}
   \6_x q \neq 0 \quad , \quad 
   \p q = \p x \,\6_x q + \6_t q \quad , \quad
    d_t\,\6_x q = \p x \,\6_x^2 q + \6_t \6_x q 
                 = \6_x \p q  \quad . \quad
\ee
Aufl\"osen von $\,q= q(x,t)\,$ gibt $\,x=x(q,t)\,$. Aber
auch $\,\p x =d_t x(q,t) = \p q \,\6_q x + \6_t x\,$ kann
vollst\"andig durch $\,\p q\,$, $\,q\,$, $\,t\,$ ausgedr\"uckt  
werden. Also kennt man 
$\,\schl L ( \p q , q , t ) \,\gll\,L\(\,\p x (\p q , q , t)\,   
            ,\, x(q,t)\,\)\,$.  
\bea{5} \rule{0pt}{6mm}
\hbox{\hspace*{-1.4cm} \under{Die Invarianz~:}} \ \ \qquad
      0 \glo{7} \lk d_t \,\6_{\p x} - \6_x \rk L(\p x , x )
          = \lk d_t \,\6_{\p x} - \6_x \rk 
                \schl L (\p q , q , t )    
   \gluo{6}{7}  d_t \( \6_{\p x} \p q \) \,\6_{\p q} \schl L
              - \( \6_x \p q \) \,\6_{\p q} \schl L
              - \( \6_x q \) \,\6_q \schl L
              \quad . \quad \eq{4}~:
   \gluo{7}{7} d_t \( \6_x q \) \,\6_{\p q} \schl L
              - \( d_t \,\6_x  q \) \,\6_{\p q} \schl L       
              - \( \6_x q \) \,\6_q \schl L
      \glu{7} \( \6_x q \) \lk d_t \,\6_{\p q} - \6_q \rk \schl L
  \quad\qquad \folg \quad \lk d_t \,\6_{\p q} - \6_q \rk \schl L
  \; = \; 0 \quad . \quad
\eea % 5   

Viel wichtiger als die nun bequeme Behandlung
bewegungsbeschr\"ankter Systeme ist, da\ss\ \eq{5} auf eine
h\"ohere Struktur hinweist ($\,\d S=0\,$), welche dann 
(deutlicher) die Wahl geeigneter $\,q(x,t)\,$ als nur noch
schn\"odes Menschenwerk ausweist. Damit haben wir einen
Weg ~z~u~r~ \glqq Zahl der Welt\grqq\ $\,S=\int_1^2\! dt \; 
L(\p q , q , t)\,$ skizziert. Landau--Lifschitz Band 1 ist
b\"ose. ~{\sl Ihm} ist \eq{5} von vornherein bereits   
sonnenklar. Jedoch, kaltherzig in h\"ohere Strukturen \glqq hinein
zu springen\grqq , das verletzt die Einheit der Physik.
\\[-2mm] \hspace*{-2cm}
{\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end{document}
