%  me7.tex        Mechanik   Winter 1995 / 96
%
%  freiwillige  KLAUSUR  +  Loesungen  ( 2 Blaetter )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%
%
\magnification=\magstep1  \nopagenumbers  
\voffset=-2cm   \vsize=25cm 
\hoffset=.2cm   \hsize=14.5cm     
\font\gr=cmbx12 scaled \magstep1
\font\mt=cmsl9  \font\kl=cmbx6
% \baselineskip 14pt
\input def     
\def\ruck{ \vskip -.41cm \nz \hangindent=.6cm \hangafter=-2 }  
\def\rucki{ \vskip -.53cm \nz \hangindent=.6cm \hangafter=-2 }  
\def\rruck{ \vskip -.41cm \nz \hangindent=.8cm \hangafter=-2 }  
\def\rrucki{ \vskip -.55cm \nz \hangindent=.7cm \hangafter=-2 }  
\def\rz{\par \noindent \rightskip=.5cm}
\def\fr{\vphantom{o}_\frown}
\def\L{ \buildrel \fr \over \Lambda }
\def\pu#1{\vskip -.6cm \rightskip=0pt
    \nz\vbox{\hsize 14.4cm \rightline{
          $(\!\!\>\!\!\!\;\matrix{ \frown \cr 
          \smile \cr}\!\! )\!\!\!\!\!\!\!\>$#1}}\vskip .15cm}
                   %-----------% %-----------% %-----------%
\phantom{o} \nz
\raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}}
                \hbox{{\mt \quad 27. Januar 1996 }} } 
\hskip 7.7cm {\mt Mechanik \ WS \ 95 / 96 } \vskip -.5cm \nz
\hskip 4.7cm freiwillige {\gr \ KLAUSUR } \vskip .3cm \nz 
\hrule 
\bigskip \rz
%%% 1 %%%
1) \ruck Ein Teilchen ($m$) mit $v(0)=v_0$ erf\"ahrt die
   Reibungskraft $-\gamma m v^{-2} \,$. Wann ($t_1 = \; ?\,$) 
kommt es zur Ruhe ? \ Wieviel kinetische Energie verliert
es pro Zeit : $ \p T (t) = \; ?$ \nz
F\"uhrt man das Integral von Null bis $t_1$ \"uber die nun 
bekannte Funktion $\, - \p T (t)$  explizit  \nz
aus, so sollte die Start--Energie wieder herauskommen (?!) .
\pu 4
\rz
%%% 2 %%%
2) \rucki In einer Ebene mit Kraftfeld
   $\vc K (x,y) \, = \, \l \, ( \, - 4 x^3 y^2 \, , \, 
     - 2 x^4 y - 2 \kappa y \, ) $
wird ein bei $\vc r (0) = (0,a)$ ruhendes Teilchen ($m$)
losgelassen. $V(x,y) = \; ?\,$ \ Welcher Bahnkurve wird es \nz
folgen und mit welcher Geschwindigkeit $v_1$ durcheilt es 
den Ursprung ? 
\pu 3
\nz \rightskip=1.3cm
%%% 3 %%%
3) \ruck Aus der Fourier--Transformierten $\;\schl u (\o) 
   = 2\pi v_0 \,\d (\o + \o_0 )\;$ gewinnt man $\, u(t)\,$ und 
   $\hskip .6cm$ sieht, welche Dgl der Form $\;\p u \sim u\;$ 
   zugrunde lag. Folgt aus der Dgl wieder $\;\schl u (\o)$ ?
\pu 2
\rz
%%% 4 %%%
4) \ruck In 2D ist der Streu''querschnitt'' $\sigma (\ph )$
eine Breite. Strahl von links, 
$\ph =\,$Polarkoordi\-na\-te$\, =\,$Streu\-winkel, 
$\rho =\,$Sto\ss parameter. $\rho$-$\ph$-Relation bekannt. 
Wie ist $\sigma (\ph )$ zu \hbox{bilden ?}
\pu 2
\rz
%%% 5 %%%
5) \ruck Welche Dgl f\"ur $q(t)$ folgt aus 
   $\;\d \!\int_1^2 \! dt \, L(\pp q , \p q , q , t ) = 0$  
   \ unter Festhalten {\sl wovon} an 1,2 ? 
\pu 2
\nz \rightskip=4.3cm
%%% 6 %%%
6) \ruck Ein Teilchen ($m$) kann sich nur auf einem Trichter
   be\-we\-gen (Kugelkoordinate $\ta$ fest, $\sin (\ta ) 
\glr s \, $). Konstan\-te Erd\-an\-zie\-hung nach links 
(y-z-Ebene = Erdoberfl\"ache). La\-gran\-ge\-sche 
Bewegungsgleichungen in $r$ und $\ph$ ? \ Dgl f\"ur den Fall, 
da\ss\ $m$ auf dem Grat herunter gleitet ? 
\pu 3
% Figur zu 6.
  \vskip -2.7cm
\nz \hskip 10.8cm \vbox{\hbox{\hskip
1.33cm $\uparrow\hskip .05cm$\raise 3pt\hbox{$z$}}
  \vskip -.07cm \hbox{\hskip
1.94cm /$\hskip -.175cm\bullet$ } \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.535cm $\vartheta \hskip .09cm$/ } \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.73cm / } \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.62cm / } \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.51cm / } \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.4cm / }  \vskip -.33cm \hbox{\hskip
1.04cm \vrule depth 0pt height .3pt width 1cm \lower 
       2.2pt\hbox{$\!\!\to \, x$} } \vskip -2.4cm \hbox{\hskip
1.405cm \vrule depth 0pt height 2.6cm width .3pt } 
  \vskip -1.4cm \hbox{\hskip 0cm $\!$ERDE}
  \def\schr{\vrule depth 0pt height 2.4cm width .02pt$\,$}
  \vskip -1.5cm \hbox{\hskip 1.08cm \schr\schr\schr\schr\schr} }
\nz \vskip -.05cm \rightskip=4.8cm \nz
%%% 7 %%%
7) \ruck Welche Haupttr\"agheitsmomente $I_1$, $I_2$, $I_3$
   hat ein Rahmen aus vier gleichen St\"aben (je $M$, $I$
und L\"ange $2a$) ?
\pu 2
%  Figur zu 7.
   \vskip -1.4cm
\nz \hskip 10.4cm \vbox{\hbox{\hskip
.35cm $y$}  \vskip -.2cm \hbox{\hskip  
0pt \vrule depth 0pt height .9pt width .6cm } 
  \vskip -.15cm \hbox{\hskip .15cm \vrule depth 0pt height .02pt 
  width .6cm \lower 2pt\hbox{$\, x$} } \vskip -.1cm \hbox{\hskip 
0pt \vrule depth 0pt height .9pt width .6cm }
  \vskip -.8cm \hbox{\hskip 
.3cm \vrule depth 0pt height .6cm width .02pt}
  \vskip -.48cm \hbox{\hskip 
0pt \vrule depth 0pt height .6cm width .8pt  
  \hskip .54cm \vrule depth 0pt height .6cm width .8pt} } 
\vskip .2cm \rz
%%% 8 %%%
8) \ruck Auf einem rauhen \anfu Teppich\anfo ($m$) rollt eine
   Hohl--Walze ($M$, $R$, $I = \; ? \,$, Schwerpunkt--Koordinate 
$s$). Der Teppich (Schwerpkt.--Koordinate $x$) gleitet 
seinerseits reibungsfrei
\nz \leftskip 5cm \nz 
auf dem Fu\ss boden und wird von konstanter Kraft $K$ gezogen.
\ \# Freiheitsgrade ? \ Lagrange--Fkt. ? \ Bewegungs- \nz
gleichungen$\,$?
$\,$Sei $\p x (0) = \p s (0) = 0\,$: Dgl f\"ur $x$ allein$\,$?
\nz \leftskip=0pt
\pu 4 
% Figur zu 8.
  \vskip -1.4cm \nz \vbox{\hbox{\hskip
.4cm $M$, $R$}  \vskip -.2cm \hbox{\hskip
1.4cm $\bigcirc \hskip -.21cm ^{_{^{_/}}}$
  \hskip -.22cm  \raise 2pt\hbox{\vrule depth 0pt 
           height .02pt width .3cm $\,\varphi$} }  
  \vskip -.35cm \hbox{\hskip
.45cm \vrule depth 0pt height .02pt width 3cm }
  \vskip -.3cm \hbox{\hskip 
.38cm $_{^(}$ \hskip 1.3cm \raise .2pt\hbox{.} \hskip .47cm 
    \lower 1pt\hbox{$m$} \hskip .4cm $_{^)}$ \hskip -.2cm
    \lower 2pt\hbox{$\longrightarrow\, K$ } }
  \vskip -.35cm \hbox{\hskip
.45cm \vrule depth 0pt height .02pt width 3cm }
  \vskip -.36cm \hbox{\hskip
0pt \vrule depth 0pt height .6pt width 3.8cm } 
  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
1.48cm $ s \hskip .24cm x $ } \vskip -.67cm \hbox{\hskip
1.56cm \vrule depth 0pt height .1cm width .4pt
      \hskip .38cm \vrule depth 0pt height .1cm width .4pt } }
\nz \vskip .4cm \rightskip=5cm \nz
%%% 9 %%%
9) \ruck Ein punktf\"ormiger Meteorit ($M$) fliegt mit $v$ 
   tangential auf eine ruhende kugelf\"ormige Raumkapsel 
(ebenfalls $M\,$, sowie $I$, $R$) und bleibt am 
Ber\"uhrungspunkt kleben.
% Figur zu 9.
  \vskip -1.2cm \rightskip=.5cm
\nz \hskip 10.6cm \vbox{\hbox{\hskip
1.3cm $\bigcirc$ }
  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
0cm $M$, $I$, $R$} 
  \vskip -.5cm \hbox{\hskip
2.1cm $v$ }  \vskip -.1cm \hbox{\hskip
2.45cm $M$ }  \vskip -.5cm \hbox{\hskip
1.97cm $\nwarrow$\hskip -.1cm \lower 5pt\hbox{$\bullet$}}}
       % Figur-Ende
\nz \vskip .2cm  \nz
Geeignetes Koordinatensystem ? \ Schwerpunkt 
$\vc R _{\rm neu}$ des Compound--Systems unmittelbar nach
dem Sto\ss\ ? \ Welche der sieben Erhaltungss\"atze helfen
hierbei und geben welche Winkelgeschwindigkeit $\o$ der (neuen)
Kapsel um ihren neuen Schwerpunkt ? Im Resultat \nz
f\"ur $\o$ werde nun noch das neue Tr\"agheitsmoment $I^*$ 
durch $I$, $M$, $R$ ausgedr\"uckt.
\pu 4
\rz
%%% 10 %%%
10) \rruck Babys kommen von Raumkreuzern. Eine lange Rakete 
    fliegt nach Osten (Standardsituation, 
Hannover$=$Ursprung$=$H.) und wirft um $0$ Uhr 
(Raketen--)gleichzeitig \"uber Magdeburg (=M.) und H. je 
einen raumschiff--geborenen Zwilling ab. Aus M. (um $a$ von 
H. entfernt) wird das freudige Ereignis durch einen Lichtblitz 
kundgetan, welcher um $t_2 = 9a/(5c)$ Uhr in H. eintrifft.  
Wann ($t_1$) erblickte Zwilling 2 das Licht Magdeburgs ?  \nz 
Wie lang (Herstellungsma\ss ) und wie schnell 
($\b$) war die Rakete ? 
\pu 4
\nz \rightskip=1.2cm  
%%% 11 %%%
11) \rruck Ein ruhender Kern ($M=5m$) zerplatzt in drei gleiche
    Teile (je Ruhmasse $m$). Auch ihre 3--Impuls-Betr\"age sind 
    gleich, n\"amlich $\,\vert \vc p \vert = \,\; ?$ \ \
    Skizze der drei $\vc p$'s$\,$!
\pu 3
\vskip .1cm \rightskip=0pt \nz
\hrule \vskip .2cm
\nz 
\hskip 5.7cm  limit : \ 9 \ Punkte 
\hskip 4.9cm $\Sigma$ : \ 33 

\nz  {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\vfill \eject
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%%%%%
%%%%%%%%%%%   L O E S U G E N   zur Klausur  
%%%%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hoffset=1cm   \hsize=14cm     
\baselineskip 14.5pt
\def\no#1{\nz \leftskip=0pt \nz 
          \vrule depth 0pt height .02pt width 4cm \smallskip
          \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm \leftskip=.8cm \nz$\!\!$}
\def\nono#1{\medskip \smallskip \nz {\bf #1)} \nz \vskip -.5cm 
            \leftskip=.8cm \nz$\!\!$}
\def\ko{\; , \,\;}
%-----------% %-----------% %-----------%

\phantom{o} \nz
\raise 6pt\vtop{\hbox{{\mt Universit\"at Hannover}}
                \hbox{{\mt \quad 27. Januar 1996 }} } 
\hskip 7.3cm {\mt Mechanik \ WS \ 95 / 96 } \vskip -.5cm \nz
\hskip 4.4cm Klausur -- {\gr L\"OSUNGEN } \vskip .4cm \nz 
\hrule 
\nono 1
$\p v = - \g v^{-2}\ko \( {1\03} v^3 \)^\bullet = - \g \ko
 v^3 = - 3 \g t + v_0^3 \ko t_1 = v_0^3 / (3\g ) \ko $ \nz 
$\p T = m v \p v = -\g m / v \ko J = \g m \int_0^{t_1}
  \! dt \; \( v_0^3 - 3\g t \)^{-1/3} \ko $ \nz
$t \to t/ (3\g ) \ko t \to t + v_0^3 \ko
t \to -t \; : \;\; J = {1\03} m \int_0^{v_0^3} \! dt \; t^{-1/3}
= {1\02} m v_0^2 \;\; . $
\no 2
$ \6_x V = 4 \l x^3 y^2 \ko V = \l x^4 y^2 + f(y) \ko \6_y V 
  = 2\l x^4 y + f^\prime \; {\buildrel ! \over =}\, 2 \l x^4 y 
  + 2 \l \kappa y \ko$ \nz
$ V = \l x^4 y^2 + \l \kappa y^2 \ko $ y-Achse hinab$\ko
  \l \kappa a^2 = {1\02} m v_1^2 \;\; \Rightarrow\;
  v_1 = \wu {2\l \kappa a^2 / m } \;\; .$
\no 3
$ u = {1\02\pi} \int \! d\o \; e^{i\o t} \schl u = v_0 
  e^{-i\o_0 t} \ko \p u = -i \o_0 u \ko \Rightarrow $ \nz
$ - i \o \schl u = -i \o_0 \schl u \ko \( \o + \o_0 \) 
  \schl u  = 0 \;\; \Rightarrow \;\; \schl u = ({\rm any}) 
  \, \d \( \o + \o_0 \) \;\; .$
\no 4
$ i_{{\rm aus}} = \# / ({\rm Zeit} \cdot d\ph ) \ko
  j_{{\rm ein}} = \# / ({\rm Zeit} \cdot d\rho ) \ko
  \s = \vert \rho^\prime (\ph ) \vert \;\; .$
\no 5
$ 0 = \int_1^2 \! dt \( \pp \eta L^{\prime 1} 
  + \p \eta L^{\prime 2} + \eta L^{\prime 3} \) \ko $
  part. Int. braucht $\p \eta =0$ und $\eta = 0$ bei 1, 2 \ , \nz
$ d_t^2 \,\6_{\pp q} L - d_t \,\6_{\p q } L
  + \6_q L = 0 \ko q \;\underline{{\rm und}}\; \p q$ am Rand fest . 
\no 6
$ L = {1\02} m \( \p r^2 + \lk rs \,\right]^2 \p \ph^2 \) 
  - mgx \ko  x = rs \cos (\ph ) \ko m$ streichen$\ko  
  \pp r =  $ \nz
$ r s^2 \p \ph ^2  - g s \cos (\ph ) \ko
  \( r^2 s^2 \p \ph \)^\bullet = g r s \sin (\ph ) 
  \ko \ph \equiv 0 $ ist m\"oglich und gibt $\pp r = - g s \, .$
\no 7
$ I_3 = 4 \( M a^2 + I \) \ko I_1 = I_2 = 2 M a^2 + 2 I \;\; \(
  \hbox{K\"orper eben : } I_3 = I_1 + I_2 \;\; ?? 
  \;\;\; {\rm Ja\, !} \) \;\; .$
\no 8
$ I=MR^2 \ko f=2 \ko$Rollbedingung $x-s=R\ph \ko$ \nz
$ L = {1\02} m \p x^2 + {1\02} M \p s ^2 + {1\02} M
  \( \p x - \p s \)^2 + Kx \ko
  \( M \p s + M ( \p s - \p x ) \)^\bullet = 0 \ko$ \nz
$ \Rightarrow \;\; 2 \p s = \p x + C \ko C = 0 \ko
  \( m \p x + M (\p x - \p s ) \)^\bullet = K \ko
\; \Rightarrow \;\; \( m + {1\0 2} M \) \pp x = K$ .
\no 9
1.~M\"oglichkeit: Ursprung in Ber\"uhrungspkt., Einflug horizontal 
von rechts, Schwerpkt. mit halbem Radius darunter$\ko 
\vc R_{\rm neu} = \( 0,0, -{1\02} R\) \ko P_1 \; : \; - Mv 
= - 2Mu \ko$ \nz
$ L_2 \; : \; 0 = - I^\ast \o + {1\02} R ( 2M ) u \ko
\o = {1\0 I^\ast } R M {v\0 2} \ko I^\ast = I + 2 M  (R/2 )^2 
\;\; . $ \nz
2.~M\"oglichkeit: Ursprung im (neuen) Schwerpkt. $\;\;
\Rightarrow \;\;$ dann gen\"ugt $L_2$--Erhaltung .
\no {10}
Ereignis 1$\,$: $\( \matrix{ 0  \cr \ell^\prime \cr } \) 
= \( \matrix{ \g & -\b\g  \cr -\b\g & \g \cr } \)
  \( \matrix{ ct_1 \cr a \cr } \) \ko t_2 = t_1 + {a \0  c} \ko 
\;\Rightarrow$ \nz 
$ t_1 = {9a\0 5 c} - {a\0c} = {4 \0 5} \, {a\0 c}
\ko \( \matrix{ 0  \cr \ell^\prime \cr } \) = \g a 
\( \matrix{ 1 & - \b  \cr -\b & 1 \cr } \) 
\( \matrix{ 4/5  \cr 1 \cr } \) = \( \matrix{  
\sim ( 4-5\b ) \cr \g a ( 1 - 4 \b / 5 ) \cr } \) \;\; .$ \nz 
Obere Zeile$\,$: $\b = {4\05} \ko \g = \( 1 - {16\025}\)^{-1} 
= {5\03} \ko$ 
untere Zeile$\,$: $ \ell^\prime = {5\03} a \( 1 - {4\05} 
\, {4\0 5} \) = {3\05} a $ .
\no {11}
$ \( \matrix{ 5mc \cr \vc 0 \cr } \) = \( \matrix{ 
     \wu {m^2 c^2 + \vc p_1^2 } \cr \vc p_1 \cr } \) +
     \( \matrix{\wu {\;\;\; } \cr \vc p_2 \cr } \) +
     \( \matrix{\wu {\;\;\; } \cr \vc p_3 \cr } \) \ko
     5mc = 3 \cdot\wu {\phantom{\int}\;\;\; } \ko $\nz
$ \( {25\0 9} - 1 \) m^2 c^2 = \vc p^2 \ko \vert \vc p \vert 
  = {4\03} m c \;\; {\rm und}\;\; \sum_{i=1}^3 \vc p_i = 0 \;\;$: 
     Mercedes--Stern . 
\nz \leftskip=0pt \nz \vrule depth 0pt height .02pt width 4cm 

\nz  {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end
