%  qm4.tex         Quantenmechanik WS 90/91
% 
%  BESETZUNGSZAHL-DARSTELLUNG    ( Zwei Blaetter )

%  def.tex  erforderlich

%%%%  T E X  %%%%  
%             2.4.2002 : Vernichter heissen jetzt b (statt a)
%
\magnification = \magstep1
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\input def
\def\ko{ {\cal K} } \def\ks{ {\cal K}^\prime } 
\def\re{\!\! >}     \def\li{< \!\!} 
\def\eq#1{\hbox{\rm (B$\,$.$\;$#1)}}
\def\vrt{\vert \hbox to 1.2pt{\hss $\bullet$} \>\!\! }
\def\gitt{ \quad \vert \quad \vert \quad \vert \quad 
   \vert \quad \vert \quad \vert \quad \vert \quad \vert 
   \quad \vert \quad \vert \quad \vert \quad > \quad }
\def\acha{\gitt \raise 2.2pt\hbox to -15pt{\hss 
   \vrule width 5.5cm height 0.4pt } \; \enskip }
\def\gett{ \quad \vrt \quad \vrt \quad \vrt \quad \vert 
   \quad \vrt \quad \vrt \quad \vert \quad \vrt \quad 
   \vert \quad \vrt \quad \vrt \quad > \quad }
\def\achb{\gett \raise 2.2pt\hbox to -15pt{\hss 
   \vrule width 5.5cm height 0.4pt } \; \enskip }
\def\gatt{ \quad \vrt \quad \vrt \quad \vert \quad 
   \vert \quad \vrt \quad \vrt \quad \vert \quad \vrt 
   \quad \vrt \quad \vrt \quad \vrt \quad > \quad }
\def\achc{\gatt \raise 2.2pt\hbox to -15pt{\hss 
   \vrule width 5.5cm height 0.4pt } \; \enskip }
\def\phant{\phantom{\li {\cal K} \vert \hat A 
   \vert {\cal K}^\prime \re}}
%

\rightline{$\underline{\raise 4pt\hbox{{\seite B \ \ 1}}}$}
\bigskip
\rightline {Hannover \enskip}
\rightline{ {\gr Besetzungszahl-Darstellung} $\enskip \equiv$ 
"Zweite Quantisierung" \hskip 1.5cm 29. 1. 1991} \nz
\smallskip \par
$\,$f\"ur Systeme identischer Fermionen     
\bigskip
Das System (spezifiziert durch Potentiale, Felder, 
Randbedingungen) enthalte zun\"achst nur ein Teilchen. 
W\"ahle eine Basis $\varphi_\lambda (1)$ dieses $N$=1-Sektors 
des Hilbertraumes. Meist kann man (mu\ss\ aber nicht) das VONS 
der $H$-Eigenfunktionen verwenden ($N$=1: keine Ww.), und oft 
ist \"uberdies $\lambda = n,s$ oder $\vc k , s$ und 
$1 = \vc r _1 , \sigma_1$ . Gebe den Quantenzahlen $\lambda$ 
(willk\"urlich) \nz 
\settabs\+ eine Reihenfolge \hskip 1.18cm & \cr
\+ eine Reihenfolge:  &  $\acha \lambda $  \cr \nz
und werfe $N$ Kugeln auf die vertikalen "Gedankenstriche" 
(h\"ochstens eine pro Strich): \nz
\+   &  $\achb \lambda $  \cr \nz 
Jeder so erhaltenen Konfiguration $\ko$ entspricht eineindeutig 
eine Slater-Determinante \nz
$\li 1, 2, ..., N \, \vert \, \lambda_1 , ... , \lambda_N \re 
 \,\glr \! \li r \vert \ko \re $ . Die $ \li r \vert \ko \re $ 
bilden eine Basis des $N$-Teilchen- \nz Hilbertraumes. \nz

\smallskip \noindent
{\mt I. \enskip Darstellungswechsel} von Ortsdarstellung 
 ($\li r \vert ...$ ) in "Slater-Determinanten-Darstel- \nz
 \quad \enskip $\,$ lung" ($\li \ko \vert ... $ ) hei\ss t 
bekanntlich, die durch $\li r \vert \;\;\, \re = \li r \vert \ko 
\re \li \ko \vert \;\;\, \re $ eingef\"uhrten Koeffi- \nz
zienten $\li \ko \vert \;\;\, \re$ als Informationstr\"ager anzusehen 
und sich die Wirkungsweise interessierender Operatoren (auf diese) 
auszurechnen: $ \li \ko \vert \hat A \vert \;\;\, \re = \li \ko 
\vert \hat A \vert \ks \re \li \ks \vert \;\;\, \re \; , \; \li 
\ko \vert \hat A \vert \ks \re = \li \ko \vert r \re \cdot$ \nz 
$\li r \vert \hat A \vert \ks \re = \li \ko \vert r 
\re A \li r \vert \ks \re $. 
Sei $A$ ein Einteilchen-Operator, d.h. $A = \sum_{j=1}^N A_j \;$ :
\smallskip \nz
$\li \ko \vert \hat A \vert \ks \re = \! {1 \over {N!}}
\int^N \bigl[ \sum_P (-)^P \varphi_{\lambda_1} 
(P1) ... \varphi_{\lambda_N} (PN) \bigr] ^\ast  
\sum_{j=1}^N A_j \bigl[ \sum_{P^\prime} (-)^{P^\prime}
 \varphi_{\lambda_1^\prime} (P^\prime 1) ... 
\varphi_{\lambda_N^\prime} (P^\prime N) \bigr] $ \medskip \nz
$\; \bullet$ 
    Alle Terme der $P$-Summe geben gleichen Beitrag 
    (wegen Antisymmetrie des Restinte- \nz $\;$ \enskip 
    granden); w\"ahle $P = I \; ; \;$ d.h. $Pk = Ik = k $ ; 
    und lasse ${1 \over {N!}}$ weg. \nz
$\; \bullet$ 
    Betrachte einen $A_j$-Term: wegen 
    $\varphi$-Orthogonalit\"at ist entweder $\ko = \ks$ oder 
    sie \nz $\;$ \enskip unterscheiden sich nur durch Um- 
    $\hskip 2.57cm \nu \hskip 2.47cm \mu$ \nz 
\settabs\+ $\;$ \enskip & setzen eines Punktes auf der 
           $\lambda$-Achse: \hskip 0.7cm & \cr
\+  & setzen eines Punktes auf der $\lambda$-Achse: & 
      $\achb \; \ko$ \cr
\smallskip \nz
\+  &  & $\achc \; \ks$ \cr 
\medskip \nz
$\; \bullet$ Wenn $\ko \neq \ks$ , dann kommen $\; - \;$ bis 
    auf $\varphi_\nu$ $\; - \;$ alle $\varphi_{\lambda_k}$ von 
    $\lbrack \;\, \rbrack ^\ast$ auch in der rechten  \nz $\;$ 
    \enskip Klammer vor und m\"ussen dort wegen 
    $\varphi$-Orthogonalit\"at gleiches Argument haben: die \nz 
    $\;$ \enskip $P^\prime$-Summe reduziert sich auf einen Term. \nz 
$\; \bullet$ Aus $\sum A_j$ \"uberlebt nur ein Term. Er 
    verhindert das Verschwinden des restlichen Integrals. \nz
$\; \bullet$ Von $(-)^{P^\prime}$ bleiben soviele ($-1$)-en \"ubrig 
    wie Kugeln zwischen $\nu$ und $\mu$ liegen. $\, -$ Resultat: 
\medskip \nz 
\quad \vbox{
\hbox{$ \li \ko \vert \hat A \vert \ko \re \, = \sum_{\nu=1}^N 
   A_{\nu \nu} \qquad ; \quad A_{\nu \mu} \gll \int_1 
   \varphi_\nu^\ast (1) \, A_1 \> \varphi_\mu (1) $}
\hbox{$ \li \ko \vert \hat A \vert \ks \re = (-1)^{Z_{\nu 
   \mu}} \cdot A_{\nu \mu} \;\;\;\;\; \hbox{f\"ur} \;\; \ks 
   = \ko^{ \lbrace \nu {\rm \; geleert \; und \;} \mu {\rm \; 
   gefuellt} \rbrace } $}
\hbox{\hskip 1cm $ {\rm Null \; sonst} \enskip ; \enskip 
   Z_{\nu \mu} \gll {\rm Zahl \; der \; Kugeln \; zwischen} \; 
   \nu \; {\rm und} \; \mu $}} 
\hfill \raise 12pt \hbox{$\Bigg\}$ \ \ 
\eq 1} \nz  %%%%%%%%

\medskip \noindent
{\mt II. \enskip Fermi-Operatoren} $b, b^\dagger$ ({\kl QFT--Notation,
Bose-Opn.~hei\ss en $a$}) operieren im vollen Hilbert-- \nz
\nz \quad \enskip $\;$ raum HR (aller $N$--Teilchen-Sektoren$\,$; 
$\,\ko_N \gll$ Konfiguration im $N$-Sektor) wie folgt: 
\medskip \nz 
\vbox{
\hbox{Definition: $\> \li \ko \vert b_\nu \vert \ks \re = 
   (-)^{Z_\nu} \, , \, {\rm wenn} \; \ko = \ko_N^{\lbrace \nu 
   \, {\rm nicht \, besetzt} \rbrace} \> {\rm und} \; \ks 
   = \ks_{N+1} = \lbrace \ko + $} 
\hbox{\quad \enskip $\; + \> {\rm eine \; weitere \; Kugel \;
   auf} \; \nu \rbrace \; ; \;\; $ Null sonst $\; ; \;  Z_\nu
   \gll $ Zahl der Kugeln unterhalb $\nu$}}
\hfill \raise 7pt \hbox{$\bigg\}$  
\eq 2} \nz  %%%%%%%%
\medskip \nz 
Mit dieser $\ko$-$\ks$-Bedeutung ist \quad $\;\; \li \ko \vert 
b_\nu \vert \ks \re = \li \ks \vert b_\nu^\dagger \vert \ko \re 
^\ast = (-)^{Z_\nu} = \li \ks \vert b_\nu^\dagger \vert \ko \re $ 
\hfill \eq 3  %%%%%%%%
\medskip \nz   
Aus \eq 1 , \eq 2 , \eq 3 folgt, da\ss\ $\li \ko \vert \hat A 
\vert \ks \re = \li \ko \vert \sum_{\nu , \mu} A_{\nu \mu} 
b_\nu^\dagger b_\mu \vert \ks \re $  \nz
f\"ur alle $\ko$, $\ks$ gilt, und somit die Operatoridentit\"at 
\qquad \qquad $\; \hat A = \sum_{\nu , \mu} A_{\nu \mu} 
b_\nu^\dagger b_\mu $ 
\hfill \eq 4  %%%%%%%% 
\medskip \nz
Mittels \eq 2 und \eq 3 zeigt man : $\, \lbrace b_\nu , b_\mu 
\rbrace = 0 \; , \; \lbrace b_\nu^\dagger , b_\mu^\dagger \rbrace 
= 0 \; , \; \lbrace b_\nu , b_\mu^\dagger \rbrace = 
\delta_{\nu , \mu} $ 
\hfill \eq 5  %%%%%%%%
\medskip \nz
Die Operatoralgebra \eq 5 f\"uhrt bekanntlich auf die Eigenwerte 
0 und 1 von ${b^\dagger}\!\!_\nu \, b_\nu$ , \nz
sowie auf $\; b_\nu \vert 0 \re_\nu = 0 \, , \, b_\nu^\dagger 
\vert 0 \re_\nu = \vert 1 \re_\nu \, , \, b_\nu \vert 1 \re_\nu 
= \vert 0 \re_\nu \, , \, b_\nu^\dagger \vert 1 \re_\nu = 0 \, $ . 
Hiermit k\"onnen \nz 
wir das HR-Vakuum $\vert 0 \re$ definieren, $\vert \ko \re$ 
durch $b^\dagger$-Anwendungen erhalten und den allge- \nz
\vfill
\eject
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Blatt 2  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\rightline{$\underline{\raise 4pt\hbox{{\seite B \ \ 2}}}$}
\medskip
\nz
meinen $N$-Teilchen-Zustand $\vert \;\;\, \re$ aufschreiben : 
\smallskip \nz
\quad \vbox{
\hbox{$\vert 0 \re \!\! \gll \prod_{\nu=1}^\infty \vert 0 
      \re_\nu \enskip , \enskip\vert \ko \re \; = \; 
      {b^\dagger}\!_{\lambda_1} \cdot ... \cdot 
      {b^\dagger}\!_{\lambda_N} \vert 0 \re \; = \lbrace 
       ^{\rm automatisch \; antisy. b. Vertauschen}_{{\rm
       zweier}\; \lambda ; \; {\rm und} \; 0, \; {\rm wenn
       \; zwei} \;\lambda \; {\rm gleich} } \rbrace \; , $}
\hbox{$\vert \;\;\, \re \; = \sum_{\lambda_1} \, ... \, 
      \sum_{\lambda_N} \; c_{\lambda_1 \, ... \, \lambda_N}\;
      {b^\dagger}\!_{\lambda_1} \cdot ... \cdot 
      {b^\dagger}\!_{\lambda_N} \vert 0 \re $} } 
\hfill \raise 8pt\hbox{$\bigg\}$ \ 
\eq 6}  %%%%%%%%
\smallskip \nz
Wir k\"onnen nun einen Operator $\hat N$ angeben, den
Teilchenzahl-Ope- \nz
rator, welcher die im Zustand $\vert \ko \re$ enthaltenen
"Kugeln" abz\"ahlt: $\;\;\hat N \!\!\gll \sum_\lambda
{b^\dagger}\!_\lambda b_\lambda \; .$
\hfill \eq 7 \medskip \nz
Der einfachste Spezialfall von \eq 4 ergibt sich, wenn
$A = H_o = \sum_{j=1}^N H_j $ und die \nz
$\varphi_\lambda (1) $ als Eigenfunktionen von $H_1$
gew\"ahlt wurden:
$H_1 \varphi_\lambda (1) = \epsilon_\lambda
\varphi_\lambda (1) \; \Rightarrow $ \nz
$ (H_o)_{\nu \mu} = \epsilon_\nu \delta_{\nu \mu}$ und somit
\qquad \qquad $\hat H_o = \sum_\lambda \epsilon_\lambda
{b^\dagger}\!_\lambda b_\lambda \glr \sum_\lambda
\epsilon_\lambda \hat N _\lambda $      \hfill \eq 8 \nz
(zu vergleichen mit $\hbar \omega ({1 \over 2} + \hat N),
\; \hat N = a^\dagger a$, beim 1D harmon. Oszillator).
\bigskip \nz 
{\mt III. \enskip Feldoperator} $\,\gps \, ; \,$ Definition:
\qquad \qquad $\gps (1) \gll \sum_\lambda \varphi_\lambda (1)
\;\, b_\lambda$
\hfill \eq 9 \medskip
$\;$ Der Nutzen dieser Definition zeigt sich u.a. darin,
da\ss\ wir nun Einteilchen-Ope- \nz
ratoren und Zweiteilchen-Operatoren in der folgenden
eing\"angigen "zweitquantisierten" \bigskip \nz
Form aufschreiben k\"onnen: \hskip 1cm $ A = \sum_{j=1}^N A_j 
\;\longrightarrow \enskip \hat A = \int_1 \gps ^\dagger (1)
\; A_1 \; \gps (1) $        \hfill \eq {10} \medskip \nz
\hskip 2.8cm $ V = \sum_{j < l}^N V_{j l} \;\longrightarrow
\enskip \hat V = {1 \over 2} \int_1 \int_2 \gps ^\dagger (1)
\, \gps ^\dagger (2) \; V_{1 2} \;\gps (2) \, \gps (1) $
\hfill \eq {11}
\bigskip \nz
Um \eq {10} zu verifizieren, setze man \eq 9 ein; Resultat:
\eq 4. Wer \eq {10} her- \nz
leiten will, l\"ose zuerst \eq 9 nach $b$ auf (mit $\varphi
_\nu^\ast (1)$ multiplizieren, \"uber 1 integrie- \nz
ren, $\varphi_\lambda$-Orthonormierung benutzen) $\quad
\Rightarrow \qquad  b_\nu = \int_1 \varphi_\nu^\ast (1)
\, \gps (1)$
\hfill \eq {12} \nz
und setze die Umkehrung \eq {12} in \eq 4 ein. Um \eq {11}
zu erhalten, schreiben \nz
wir zun\"achst $\sum_{j<l}^N V_{jl} = {1 \over 2} \sum_j 
\sum_l V_{jl} \, , \, V_{j=l} \gll 0$ , zweitquantisieren
die Abh\"angigkeit \nz
von $l, \; {1 \over 2} \sum_j \int_2 \gps ^\dagger (2) \,
V_{j \, 2} \, \gps (2) \, ,$ und verfahren nun ebenso mit
der Abh\"angigkeit von $j$. \nz
Mittels \eq 9 oder \eq {12} \"ubersetzen sich die
Vertauschungsrelationen \eq 5 in \smallskip \nz
\hskip 3cm $\lbrace \gps (1) \, , \, \gps (2) \rbrace = 0 \quad , 
\quad \lbrace \gps (1) \, , \, \gps ^\dagger (2) \rbrace
= \delta (1-2) $
\hfill \eq {13} \smallskip \par
Nun, nachdem alle Herleitungen verdaut sind, ben\"otigt man
nur noch die \nz
Gleichungen \eq 9 bis \eq {13} $\; \Rightarrow \;$ merken! 
Der Teilchenzahloperator, vgl. \eq 7 \smallskip \nz 
mit \eq 4, f\"uhrt auf den Trivialfall $A_1 \equiv 1$ von
\eq{10} : \quad $\hat N = \int_1 \gps ^\dagger (1) \;
\gps (1)$
         \hfill \eq {14} \smallskip \nz
"$\gps ^\dagger (1)$ erzeugt ein Teilchen bei 1", sagen
manche Leute. $\; -$ ? $- \;$  Sei 1 eine feste \nz
Position (wir denken an Ortsvektor), w\"ahrend die Variable
2 den Raum absucht:
 \smallskip \nz
$\li 2 \vert \gps ^\dagger (1) \vert 0 \re \; = \sum_\nu 
\varphi_\nu^\ast (1) \sum_\ko \li 2 \vert \ko \re \, \li
\ko \vert b_\nu^\dagger \vert 0 \re \; $  \quad ($\;
\Rightarrow \enskip \; \ko = \ko_{N=1} \glr {b^\dagger}
\!_\mu \vert 0 \re $ ) \medskip \nz
$\qquad = \sum_{\nu , \, \mu} \varphi_\nu^\ast (1) \li 2
 \vert {b^\dagger}\!_\mu \vert 0 \re \li 0 \vert b_\mu
 b_\nu^\dagger \vert 0 \re = \sum_{\nu , \, \mu}
 \varphi_\nu^\ast (1) \; \varphi_\mu (2) \;\delta_{\nu \mu}
 = \delta (2-1) \enskip , \;-$ Ja !
           \medskip \nz
"Quantisierung des Schr\"odinger-Feldes" $\; -$ ? $-$ : Der
Feldoperator l\"ost die Schr\"odinger-Gleichung:
$(i \hbar \partial_t - H_1 ) \, \gps (1; \, t)
= \sum_\lambda (i \hbar \partial_t - H_1) \; \varphi_\lambda
(1; \, t) \;\, b_\lambda = 0$ .
\bigskip \nz
{\mt IV. \enskip Elektronen :} \qquad $H = \sum_{j=1}^N
(-{\hbar^2 \over 2m} \Delta_j ) + \sum_{j<l}^N V( \vc r _j
- \vc r _l ) $ . Nun ist $\; 1 = \vc r , \, \sigma $ . \nz
\quad \enskip $\;\;\,$ Wir w\"ahlen als Einteilchenbasis
die $H_1$-Eigenfunktionen $\; \varphi_\lambda (1)
= \delta_{s, \, \sigma} \cdot ({1 \over 2 \pi})^{3 \over 2}
e^{i \, \vcsm k \vcsm r} $ \nz
$\quad \;\; \Rightarrow \quad \gps (1) = \sum_s \int d^3 k \, 
\delta_{s,\,\sigma} (\,)^{3 \over 2} e^{i \, \vcsm k \vcsm r}
\, b_{\,\vcsm k s} = (\,)^{3 \over 2} \int d^3 k \, e^{i
\,\vcsm k \vcsm r} b_{\,\vcsm k \sigma} \glr \gps _\sigma
( \vc r ) $ \nz
\eq {10} : \enskip $\hat H_o = \sum_\sigma \int d^3 k
\, {\hbar^2 k^2 \over 2m} \, {b^\dagger}\!_{\vcsm k \,\sigma}
\, b_{\vcsm k \,\sigma} \; , \;\; \hat N = \int d^3 r \hat
\rho \;\, , \;\; \hat \rho =  \sum_\sigma \gps_\sigma^\dagger
(\vc r ) \, \gps _\sigma (\vc r ) $
           \hfill \eq {15} \smallskip \nz
$\hat \rho$ ist der Operator der Teilchendichte. $\,$
\eq {11} : 
\medskip \nz \vbox{
\hbox{$\; \hat V = {1 \over 2} \int d^3 r_1 \int d^3 r_2 
    \;\sum_{\sigma_1 \sigma_2} \gps_{\sigma_1}^\dagger (
    \vc r _1 ) \, \gps _{\sigma_2}^\dagger (\vc r _2) \;\,
    V ( \vc r _1 - \vc r _2 ) \,\;\gps _{\sigma_2} (\vc r _2)
    \,\gps_{\sigma_1} (\vc r _1) $}
\hbox{\phantom{$\; \hat V $} $= {1 \over 2} \int d^3 k_1 \int 
    d^3 k_2 \; ({1 \over 2 \pi})^3 \int d^3 q \;\;\schl V (
    \vc q ) \;\,\sum_{\sigma_1 \sigma_2}
    {b^\dagger}\!_{\vcsm k _1 \,\sigma_1} \,
    {b^\dagger}\!_{\vcsm k _2 \,\sigma_2} \;\> b_{\vcsm k _2
    + \vcsm q \;\; \sigma_2} \, b_{\vcsm k _1 - \vcsm q \;\;
    \sigma_1}$}}
\hfill \raise 6pt\hbox{$\Bigg\}$\ \eq {16}} \nz
\vskip .3cm \nz   \hskip -.5cm \ende 

\nz {\fiverm ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end


