%  tf3.tex     Gluon-Hohlraumstrahlung , WS 98/99
%
%  Heisse QCD :  Graphenregeln

%  def.tex  erforderlich

%%%  L A T E X   %%%
\documentstyle{article}[12pt]   \pagestyle{empty}
\voffset -3.6cm \textheight 27cm
\hoffset .2cm   \textwidth  15cm
\input def
\def\under#1{$\lower 0.1pt\hbox{$\;
    \underline{\vphantom{\o}\hbox{#1}}\;$}$}
\def\boll#1{\nz \hspace*{-1cm} 
    \begin{picture}(1,1) \put(0,.2){\circle*{1}} 
    \put(.3,0){$_{#1}$} \end{picture}\hspace*{-.3cm}}
\def\unt#1#2#3#4{\hbox{
    \vrule height .2cm width 0.4pt  depth -.5pt
    \vrule height .5pt width #1cm   depth 0pt
    \vrule height .2cm width 0.3pt  depth -.5pt
    \hskip -#1cm \hskip #3cm 
    \vrule width 0.3pt height 0pt depth #2cm
    \lower #2cm\hbox{\lower .14cm\hbox{$\!\!\!\,\dis = #4$}}}}
\def\gleich{\vrule height 6pt width 0.34cm  depth -5pt
            \hspace*{-.47cm}
            \vrule height 3pt width 0.34cm  depth -2pt}
\unitlength 1cm
     
\begin{document}     
\large             \rl{November 1998}
\vspace*{-.2cm}\nz
\hspace*{.2cm} {\LARGE Hei\ss e QCD$\;$: } \\[8pt]
\hspace*{.2cm} {\LARGE die Graphenregeln f\"ur
                Beitr\"age zu $G_n$}

\vspace*{.2cm}
\boll 1 Male Bilder aus den Elementen \ \ \
   \begin{picture}(1,1.2) \put(0,.5){\line(1,0){1.2}}
   \multiput(.48,.32)(0,-.12){4}{c} \end{picture} 
   \ \ \ , \ \ \
\begin{picture}(1,1.2) 
   \multiput(0,.5)(.22,0){5}{\line(1,0){.16}}
   \multiput(.48,.32)(0,-.12){4}{c} \end{picture} 
   \ \ \ , \ \ \
\begin{picture}(1,1.2) 
   \multiput(0,.5)(.12,0){9}{\it v}
   \multiput(.48,.32)(0,-.12){4}{c}  \end{picture} 
   \ \ \ , \ \ \
\begin{picture}(1,1.2) \multiput(0,.3)(.12,0){8}{\it v}
   \multiput(.48,.7)(0,-.12){8}{c} \end{picture} \ \ \ . 
\vskip .1cm \nz
Jedes Diagramm habe $n$ Enden \ --- \ quarkisch 
und/oder gluonisch. \nz
Die Elemente sollen mit den Enden zusammenh\"angen, d.h. 
keine \anfu Wolken\anfo bilden. \nz
Sortiere nach loop--Anzahl $=$ Anzahl zus\"atzlicher 
$g^2\,$'s \"uber tree level.

\boll 2 
Gib \under{allen} Linien eine Richtung sowie einen Impuls 
      $Q$, $K$, $P, \, \ldots\;$ \under{so}, da\ss\
      an jedem Vertex gilt$\,$:  $\;\sum$ einlaufende 
      $= \sum$ auslaufende Impulse.

\boll 3 
Bringe zu Papier das dem Diagramm entsprechende Produkt
aus Propagatoren
$$ S = { -1 \0 \;\raise 3.2pt\hbox{\bf --}\hskip -.22cm 
          K - m + \mu_Q \g^0 \,} 
   \quad , \quad  D = {-1\0\, K^2\, } \quad , \quad 
   G\omn = {1\0\, K^2\,} \, \( \, g\omn + \lk\a -1\rk 
  {K^\mu K^\nu \0 K^2} \,\) \quad $$
und Vertizes 
% quark-gluon Vertex
\vspace*{-.8cm} \nz \hspace*{4cm}
   \begin{picture}(1,1.6) \put(0,.3){\line(1,0){1.2}} 
   \multiput(.48,.12)(0,-.12){4}{c} \put(-.34,.2){$\to$} 
   \put(1.1,.2){$\to$}  \put(.46,-.5){$\downarrow$} 
   \put(-.6,.5){$K$} \put(1.5,.5){$Q$} 
   \put(.8,-.7){$K\! -\! Q$} \put(.7,.16){$_\mu$} 
   \put(.3,-.4){$_a$}   \end{picture} 
\hspace*{1.3cm} \gleich \quad
$\dis g \; T^a \; \g^\mu $ \qquad \lower .7cm\vbox{
   \hbox{\ft Im einlaufenden quark--Propagator}
   \vskip -.14cm   
   \hbox{\ft steht rechts sein $\psi$, im auslaufenden}
   \vskip -.14cm
   \hbox{\ft links sein $\ov\psi$. Dazwischen h\"angt}
   \vskip -.14cm
   \hbox{\ft $T^a\g^\mu$, womit klar ist, wie sich die}
   \vskip -.14cm
   \hbox{\ft color-- und spinor--Indizes verheiraten.}}  
% Geist Vertex
\vskip .4cm \nz \hspace*{2.8cm}
   \begin{picture}(2.4,1.2) 
   \multiput(0,.3)(.22,0){5}{\line(1,0){.16}}
   \multiput(.48,.12)(0,-.12){4}{c} 
   \put(-.34,.2){$\to$} \put(1.1,.2){$\to$} 
   \put(.46,-.5){$\downarrow$} 
   \put(-.6,.5){$K$} \put(1.5,.5){$Q$} 
   \put(.8,-.7){$K\! -\! Q$} \put(.7,.16){$_\mu$} 
   \put(.3,.46){$_a$} \put(.7,.46){$_b$} \put(.3,-.4){$_c$} 
   \end{picture}  
\gleich
   \begin{picture}(5,1.2) 
   \put(1.3,.3){$\dis i \; g \; f^{a\;b\;c} \;\; Q^\mu$}
   \put(.2,-.38){\ft \under{ein}$\!$laufender}
   \put(2.54,-.38){\ft \under{aus}$\!$laufender}
   \put(3.14,-.68){\ft Geist}  \put(.8,-.68){\ft Geist}
   \put(4.6,.36){\ft Gluon} \put(2.2,.38){\line(-1,-4){.16}}
   \put(2.4,.38){\line(1,-4){.16}}  \put(2.82,-.06){/}
   \put(2.66,.74){$_\prime$} \put(3.4,.74){$_\prime$}
   \put(2.72,.82){\line(1,0){1.4}}
   \put(4.12,.814){\line(3,-2){.4}} \end{picture}
% 3-er Vertex
\vskip .9cm \nz \hspace*{1.4cm}
   \begin{picture}(1,1.4) \multiput(0,.5)(.12,0){9}{\it v}
   \multiput(.48,.34)(0,-.12){4}{c} 
   \put(-.34,.48){$\leftarrow$} \put(1.1,.48){$\to$} 
   \put(.48,-.32){$\downarrow$} 
      \put(-.7,.46){\bf 1} \put(.46,-.8){\bf 2}
      \put(1.68,.46){\bf 3} \end{picture} 
\hspace*{1.2cm} \gleich \quad 
$\dis i \, g \; f^{1\;2\;3} \; \Big( \; K_1 \; \big| 
   \; K_2 \; \big| \; K_3 \; \Big)^{\mu_1 \,\mu_2 \,\mu_3} $ 
   \quad , \quad wobei \vspace*{-.1cm} \nz \hspace*{6cm} 
\unt{4.1}{.5}{.5}{ \; (K_1-K_2)^{\mu_3} g^{\mu_1\mu_2}
               \; + \; \hbox{zyklisch in 1 2 3} }
% 4-er Vertex
\vskip -.2cm \nz 
   \begin{picture}(1,1.2) \multiput(0,.1)(.12,0){8}{\it v}
   \multiput(.48,.5)(0,-.12){8}{c} 
   \put(-.34,.1){$\leftarrow$}   \put(1,.1){$\to$} 
   \put(.48,-.62){$\downarrow$}  \put(.48,.74){$\uparrow$} 
        \put(-.7,.1){\bf 1} \put(.45,-1.04){\bf 2}
        \put(1.6,.1){\bf 3} \put(.44,1.12){\bf 4} 
        \end{picture} 
\hspace*{1.4cm} \gleich \quad 
$ \dis - \; g^2 \; f^{1\,2\,\bullet} f^{\,\bullet\,3\,4}
     \,\Big\{\, g^{\mu_1 \mu_3} g^{\mu_2 \mu_4} - g^{\mu_1 \mu_4}
     g^{\mu_2 \mu_3} \,\Big\} \; + \; $ zyklisch in 2 3 4 \\[8pt]
\hspace*{1.4cm} {\small Farbindizes \anfu laufen durch\anfo 
(alle Propagatoren $\sim \d^{ab}$), verbinden also $f$'s 
benachbarter Vertizes.}

\vspace*{.4cm}

\boll 4 
Setze \lower 2pt\hbox{{\LARGE\boldmath$\Sigma$}} \"uber 
jeden \under{inneren} Impuls davor \ \ $ \( \; \sum_K 
\gll T \sum_n \int \! d^3k / (2\pi)^3 \; \)$

\boll 5 
sowie einen Faktor $(-1)^\#$ \ \ mit 
$\;\# \gll$ Anzahl der quark-- und ghost loops 

\boll 6
und einen Faktor $\dis {1\0S}$ \quad , \quad $S \gll$ 
   Symmetriefaktor $\dis \; = \; p \!\prod_{n=2,3,\ldots} 
   2^\b (n!)^{\a_n} $ \vskip .2cm \nz
$\big[\;$Cheng + Li, Anhang B$\;\big]\,$,
where $\a_n$ is the number of {\sl pairs} of vertices 
connected by $n$ identical self--conjugate lines, $\b$ is 
the number of lines connecting a vertex with itself, and 
$p$ is the number of permutations of vertices which leave 
the diagram unchanged with fixed external lines. 

\vskip .2cm \nz {\small
Ein freundliches \anfu Gute Nacht\anfo werde einem jeden 
zuteil, der sich etwa blind auf dieses $S$--Regelwerk 
verl\"a\ss t (falls er es denn \"uberhaupt versteht). Man 
rechne in jedem konkreten Falle nach$\,$! }

\vskip .2cm \nz 
Kalte QCD$\,$: \ $(-i)\,*\,$(thermischer Propagator) und
$\; i\,*\,$(thermischer Vertex) .

\nz \hspace*{-1cm} {\tiny ( hschulz@itp.uni-hannover.de ) }
\end{document}
