%   tf5.tex       46 Seiten , Herbst 1997
%
%   Von Pauli-Villars bis Callan-Symanzik

%%%  L A T E X   %%%

     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     % makro :

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     \font\gital=cmti10 scaled \magstep4    % f. \Vau
     \font\sf=cmss12   % f. \MA to \MD ( use cmss10 in TEX ) 
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     \font\lsl=cmbxsl10 scaled \magstep2
     \def\ft{\footnotesize}
%  Klammern :
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   \def\lk{\,\left[ \,} \def\rk{\,\right] \,} \def\rki{\,\right]}
   \def\lb{\left\{} \def\rb{\right\}}  
   \def\lw{\left\langle} \def\rw{\right\rangle}
   
%  Wurzel etc. :        
   \def\tcount{\count10} \ifnum\tcount=25  % TEX
   \def\wu#1{\sqrt{{#1} \,}^{ \hbox to0.2pt{\hss$ 
       \vrule height 2pt width 0.6pt depth 0pt $} \;\! }}
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   \def\dop{\duenn \raise0.7pt\hbox to 0.2pt{: \hss}}
   \def\dep{\duenn \raise0.7pt\hbox to 0.3pt{\hss :}}
                         \else              % LATEX
   \def\wu#1{\sqrt{{#1} \,}^{ \hbox to0.2pt{\hss$ 
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   \font\dick=cmbx12  \font\duenn=cmbx10 
   \def\dop{\duenn \raise0.6pt\hbox to 0.2pt{: \hss}}
   \def\dep{\duenn \raise0.6pt\hbox to 0.3pt{\hss :}}
                         \fi
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   \def\gsim{\,\lower 4pt\hbox{$\sim\!\!\!\!\!$}\raise 2pt\hbox{$>$}\,}
   \def\ueb#1#2{{\buildrel{#1}\over{#2}}}

%  =: , := und Frage-Gl.zeichen
   \def\gdw{\leftharpoonup \hbox to-1pt{\hss $\rightharpoondown$}\;}
   \def\gll{\; {\dop} =}   \def\glr{= {\dep} \;}
   \def\fr{\,\buildrel {?!} \over = \,}
   \def\folg{\curvearrowright}

%  Normaltext :
   \def\ln{{\rm ln}}    \def\Tr{{\rm Tr}}
   \def\sgn{{\rm sgn}}  \def\det{{\rm det}}
   \def\sh{{\rm sh}} \def\ch{{\rm ch}} \def\th{{\rm th}}
%  Schlitzohr :
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   \def\cotanh{{\rm cth}}  \def\coth{{\rm cth}}

%  Schraeg-Buchstaben :
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%  Griechen :
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   \let\l=\lambda  \let\o=\omega  \let\s=\sigma  \let\z=\zeta
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%  Exoten :
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%  Latex papers :
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   \def\be#1{\begin{equation} \label{#1}}
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       \parbox{14cm}{{\bf #1} \vspace{.9cm} }
       \nopagebreak[4] \indent }

% \vc
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% \p  \pp
  \def\pubox{\dick _{\raise 1pt\hbox{.}} }
  \def\ppubox{\dick _{\raise 1pt\hbox{..}} }
  \def\p#1{{\buildrel \abst #1 \pubox \over #1} \vphan #1 }

% \vcsm  \vcts  \vctl
  \def\vcsm#1{ \def\sm{\raise 1.6pt\hbox to 5pt{\hss $_#1$}} 
               {\buildrel \pfeil \over \sm} \>\!\! }
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  \def\vctl#1{\buildrel \absv #1 \grpf \over {\schl #1} }

%  specials :
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           \raise 1.4pt\hbox to 1.6pt{\hss $\cup$} \,}
   \def\klint{ \; \circ \hskip -.28cm \int }
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   \def\biga{ \raise 2pt\hbox{$ \bigcap \!\!\!\!\!\!\> $} \hbox{$-$}  }
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   \def\Vau{\hbox{{\gital v$$}}}   

\font\dunh=cmdunh10 scaled \magstephalf
\def\bel{\mbox{\dunh bel.$\,$}}
\def\under#1{$\lower 0.2pt\hbox{$\;
    \underline{\vphantom{\int}\hbox{#1}}\;$}$}
\def\cross{\hbox{\hspace{.05cm}
      \vrule depth -2.5pt height 3pt width .1cm
      \hspace{-.04cm}\hbox{\boldmath $\bigotimes$} 
      \hspace{-.32cm}
      \vrule depth -2.5pt height 3pt width .1cm}}
\def\ocross{\hbox{\boldmath $\bigotimes$}} 
\def\scross{\hbox{\tiny\boldmath$\otimes$}}
\def\boll{\hbox{\hspace{.05cm}{{\large$
    \times$}}\hspace{-.3cm}\raise .7pt\hbox{$
    \bullet$}\hspace{.1cm}}}
\def\eu{\hbox{\boldmath $\dis\int\!\!$}}
\def\basket{\hbox{$\bigcirc\hspace{-.26cm}\bigcirc\;$}}
\def\Wau{\hbox{{\gital w$$}}}
\def\pic{\unitlength1cm \begin{picture}(1.8,1)
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   S T A R T   %%%%%%%%%%

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb} \usepackage{ngerman}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}   
\parskip .3cm
\renewcommand{\footnoterule}{\noindent\rule{8cm}{.1pt} 
              \vspace{.2cm}}
\voffset -2.8cm \hoffset -5mm
\textwidth 16cm  \textheight 25.1cm

\begin{document}

%%% 0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
$ $  \\[-1.6cm] \leftline{ITP--UH 36/97 \hspace{7cm} \hfill
                {\sl completed in 2007}}
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{0.\dq}    

\vskip 9mm
\hspace*{1.8cm} {\large\bf Von Pauli--Villars bis
                         Callan--Symanzik\,\footnote{\ 
      {\ft hschulz@itp.uni-hannover.de}}\hspace{1cm}}

\vskip 6mm
\begin{center}
Renormieren lernen am konkreten Beispiel einer
beobachtbaren Gr\"o\ss e$\,$, \\  
dem Druck $p$ des masselosen $\phi^4$--Systems 
    in 3--Loop--Ordnung  \end{center}
\vskip 3mm \hspace*{14mm}
\vbox{\ft \hbox{Zum Gebrauch}
                   \hbox{neben Lehrb\"uchern}} \hspace{5cm}
\vbox{\hbox{1. Pauli--Villars }
\hbox{2. Counterterms }
\hbox{3. Der Druck $p$ bis mit $g^4$ }
\hbox{4. Basketball--Diagramm }
\hbox{5. Unabh\"angigkeit von $M$}
\hbox{6. Callan--Symanzik }   
\hbox{Anhang A bis G\,: Integrale}   
\hbox{Anhang H\,: Zeta-Funktion}  }  

\vskip 2mm 
Vor langer Zeit, im Sommer 1997, war eine Vorlesung \"uber 
\glqq Quantenfelder am W\"armebad\grqq\ in arge 
Schwierigkeiten geraten. Gegen Ende sollte noch der 
Druck $p$ des masselosen $\phi^4$--Systems bis Ordnung
$g^4$ (3--loop) an die Tafel. Die Stimmigkeit der
Renormierungs--Prozedur sollte sich an diesem Beispiel
erweisen. Die folgenden Notizen (samt Anh\"angen, 
nachtr\"aglich entstanden) zeigen, wie utopisch dieses 
Ansinnen war.

\"Uber z.B. Lehrb\"ucher wie etwa \cite{IZ,PS} sei der 
Leser einigerma\ss en mit Feldtheorie vertraut. Er 
wei\ss\ von Green'schen Funktionen (kurz: Greensfunktion), 
welche in Diagrammen die Linien sind, und da\ss\ aus 
$n$--Punkt--Funktionen jegliche Physik folgt. Wenn ihn 
sodann bei der Rezeptur, mit der aus der (divergenten) 
Theorie me\ss bare Gr\"o\ss en destilliert werden, ein 
geh\"origes Unbehagen verblieben ist und ihm ein 
\glqq schade\grqq\ auf den Lippen liegt, dann ist er 
hier herzlich willkommen.

Die me\ss bare Gr\"o\ss e, an welcher das Rezept 
illustriert werden soll (wenigstens das), ist eine 
thermodynamische$\,$: $p=-\6_V F\,$. Das Spektrum des 
Systems beginne bei Energie Null, so da\ss\ mit 
$T\to 0$ ($\b \to \infty$) die Freie Energie $F=-T\,\ln (Z)$ 
verschwindet, weil dann $Z = {\rm Sp} \( e^{-\b H} \) 
\to 1\,$. Ohne Anregungen kein Druck. Der extensive 
Anteil $F^{\rm ex}$ von $F$ ist proportional zu $V\,$ 
\cite{ST}. Meist l\"a\ss t man den Index \glqq ex\grqq\ 
klammheimlich wieder entschwinden. Lebend mit dieser 
Unsitte, schreiben wir $p= -F/V\,$ nieder. Die 
St\"orungsentwicklung von $F$ besteht aus beinlosen 
Diagrammen ($F$ ist die Null--Punkt--Funktion). Alsbald 
wird der Druck $p$ als asymp\-to\-ti\-sche Entwicklung 
hinsichtlich kleiner $g$ vorliegen (einschlie\ss lich 
$g^4$-Term)\,\footnote{\ 
   Dieser scheinbar etwas exaltierten Sprechweise
   geben wir hier den Vorzug, weil es sich im allgemeinen 
   nicht um eine Potenzreihe zu handeln braucht. Bei QCD 
   hat $p$ unter anderem einen Term $g^4\,\ln(g)\,$.}. 
\hbox{ J e d e r } Term der asymp\-to\-ti\-schen 
Entwicklung ist Me\ss gr\"o\ss e. Also bekommen wir 
sogar mehrere beobachtbare Gr\"o\ss en in die Hand. 

Quantenfeldtheorie braucht zuallererst eine Einbettung,
d.h. eine Abwandlung zur physikalischen Seite hin mit
Parametern, welche die sp\"atere R\"uckkehr zur 
urspr\"unglichen Theorie erm\"oglichen. Kein Schritt 
weiter, bevor eine solche Regularisierung nicht bedacht ist.
Die Lagrange--Dichte der masselosen $\phi^4$--Theorie
\be{0.1}
  \cl L \,=\, - {1\02} \,\phi \; \6^2\,\phi 
        \,-\, {g^2\024} \;\phi^4 \quad 
\ee % 0.1
ist zwar h\"ubsch kurz und zeigt Feld--Inhalt und
Wechselwirkung an, aber ansonsten ist \eq{0.1} nur
ein plakatives, undurchf\"uhrbares Etwas.
  
Die eingebettete Theorie verordnet beobachtbaren Gr\"o\ss en 
ein hartes Le\-ben. Diesen Gr\"o\ss en ist auferlegt, 
endlich zu sein und einen angebbaren Zahlenwert zu haben. 
Sie d\"urfen folglich \hbox{ n i c h t } abh\"angen 
\vspace*{-4mm}

\begin{itemize}
\item von der Art der Einbettung (Regularisierung),
      nach Renormierung \,{\sl in}\, ihr und \\ sodann
      R\"uck\-g\"an\-gig\-machen \,{\sl von}\, ihr$\,$,
\item von den cutoff's der Regularisierung, und zwar
      weder von $\ln(\L)$ noch $\L^2$ o. \"a.$\,$, 
\item von etwaigen endlichen Parametern einer 
      Regularisierung (wie etwa $\L_1 / \L_2\,$)$\,$,
\item von der Skala $M$ (Renormierungspunkt), an welcher 
      die Kopplung definiert wird$\,$, 
\item von ggf. Eichfixierungsparametern$\,$,   
\item von der Art der Resummation der St\"orungsreihe. 
      Beispielsweise erfordert ein \glqq fal\-scher\grqq\ = 
      ungeschickter IR--Regulator lediglich, die 
      St\"orungsreihe so weit zu treiben ($\infty$ weit$\,$?), 
      da\ss\ sich alle Beitr\"age zu einem gew\"unschten 
      Term der asymptotischen Entwicklung 
      aufsammeln lassen$\,$.
\end{itemize}

Im folgenden werden nur Resultate produziert, welche l\"angst 
wohlbekannt sind, speziell jene in \cite{AZ}. Ein gewisser Wert 
liegt vielleicht darin, da\ss\ die Bekanntheiten auf ungewohnten 
Wegen (insbesondere mittels Pauli--Villars--Regularisierung)
erneut herauskommen. \anke Es schafft allemal Vertrauen, wenn ein 
paar Zweifel zerstreut werden k\"onnen.

\vfill

\newpage   %   <---------------

%%% 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{1.\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.6cm}
\section{Pauli--Villars}

Die auf Pauli und Villars \cite{PV} (kurz PV)
zur\"uckgehende Regularisierung ist eine sehr
an\-st\"an\-di\-ge Einbettung. Dem\-ge\-gen\"uber
mu\ss\ sich die dimensionale Regularisierung
(Dim.Reg.) die folgenden Anw\"urfe gefallen lassen\,: \\[1mm]
{\bf (a)\,} \parbox[t]{15.2cm}{ 
    sie erfa\ss t nur die 
    logarithmischen Singularit\"aten und ordnet 
    quadratischen ($\sim \L^2$) eine Null (!) zu. Mit 
    anderen Worten, Dim.Reg. 
    ist eine fragw\"urdige Einbettung weil mit Spr\"ungen 
    behaftet, unendlichen sogar. Nur jemand, der auf 
    {\sl anderem} Wege bereits {\sl wei\ss }, da\ss\ die 
    Spr\"unge an den physikalisch relevanten Stellen 
    (gen\"ugend rasch) verschwindende Faktoren erhalten 
    werden, darf Dim.Reg. benutzen. Furchtbar, nicht 
    wahr ?!} \\[2.6mm]
{\bf (b)\,} \parbox[t]{15.2cm}{
    sie \glqq verst\"ummelt die 
    Bose--Funktion\grqq \,: $(3-2\e )$--dimensionale 
    Integrale \"uber $n(p)$ geben $\cl O(\e )$--Zus\"atze 
    (siehe (c)) und auch Endliches. Demgegen\"uber 
    f\"uhren die Korrelatorterme bei PV nur zu 
    vernachl\"assigbaren $n(\b \L )$'s. Allerlei (aber 
    nicht alle) Eulerkonstanten, log's und zeta's werden 
    sich als Dim.Reg. Kunstprodukte erweisen.} \\[2.6mm]
{\bf (c)\,} \parbox[t]{15.2cm}{
    sie verlangt gro\ss e Sorgfalt bei Faktoren 
    $(1 + \cl O(\e ) )$, deren $\cl O(\e )$ via ${1\0\e}\cdot 
    (1 + \cl O(\e ))$ noch zum Leben erweckt werden k\"onnte 
    (und kann). Bei {\sl momentum cutoff} Regularisierung
    k\"onnte das Analogon $ \L^2 \cdot (1 + 1/\L^2)$ 
    lauten. Dies wird jedoch nicht eintreten \ --- \ wir
    achten darauf.} \\[2.6mm]
{\bf (d)\,} \parbox[t]{15.2cm}{
    sie erschwert (gegen\"uber PV) die 
    nat\"urliche {\sl cutoff}--Anschauung zum Verhalten 
    einzelner Betr\"age zu $p$.} \\[2.6mm]
{\bf (e)\,} \parbox[t]{15.2cm}{
    sie verletzt (sagt Flurnachbar Prof.~N.~Dragon) die 
    Lokalit\"at der Theorie (Lokalit\"at$\,\approx\, 
    $Mikro\-kau\-sa\-li\-t\"at). 
    Man ahnt, wie das gemeint ist. M\"oglicherweise kann
    {\bf (b)} als Beispiel dienen.} \\[4mm]
\noindent
Die etwaige Kritik an PV, sie verletze Eichsymmetrie und 
Ward--Identit\"aten trifft nicht\,: Itzykson und Zuber 
\cite{IZ} sind mal wieder besser als man glaubt,
insbesondere in \S ~8-4-2$\,$.

Pauli--Villars--Regularisierung hei\ss t zun\"achst, zur 
Greensfunktion Propagatoren gro\ss er Masse(n) derart zu 
addieren, da\ss\ das Resultat ($\glr G_0$) bei $P^2 \gg$ 
Masse(n) mit hinreichend hoher Potenz von $1/P^2$ abf\"allt. 
Um zur $\phi^4$--Theorie den Terminus \glqq hinreichend\grqq\ 
zu ergr\"unden, blicke man auf $\sum G_0 \sim P^4 G_0\,$ 
(power counting). Hierf\"ur (und auch im folgenden) gen\"ugt 
es offenbar, $G_0 \to 1/P^6$ bei $P\to\infty$ zu fordern$\,$:
\be{1.1}
  G_0 \;\; =\;\; {1\0 P^2}\; - \; {A \0 P^2 + \L^2} 
            \; + \; {B \0 P^2 + \G^2} \quad . 
\ee % 1.1
OBdA sei $\G > \L$. Unverz\"uglich bringen wir \eq{1.1} 
auf Hauptnenner und erkennen der Forderung wegen den 
Zwang zu
\be{1.2}
  A \; = \; {\G^2 \0 \G^2 - \L^2} \quad , \quad 
  B \; = \; {\L^2 \0 \G^2 - \L^2} \quad ,
\ee % 1.2
woraufhin 
\be{1.3}
   G_0 \;\; = \;\; { 1 \0 \; P^2 \,\( 1 + {P^2\0\L^2} \) 
   \,\( 1 + {P^2\0\G^2} \) \; }  \quad
\ee % 1.3
wird. $A$ und $B$ erf\"ullen die Relationen
\be{1.4}
  A-B=1 \quad , \quad 
  A\L^2 = B\G^2 \quad , \quad
  A\G^2 - B \L^2 = \G^2 + \L^2 \quad.
\ee % 1.4

\eq{1.1} wurde mit Euklidischen Impulsen ($P^2 = P_0^2 
+ \vc p^2\,$, alle reell) formuliert. Der Zusammenhang 
mit Minkowski--Impulsen ist  $P^2_{\rm Minko} = 
(i\o_n)^2 - \vc p^2 = - P^2\,$. Unter $\6^2$ wird im 
folgenden $-\6_0^2 - \D$ verstanden.

Obiges Festmachen einer Regularisierung am Propagator 
ist etwas arg technisch und somit ein wenig gef\"ahrlich. 
Lagrange--Dichte bitte\,! \,Jene zu Propagator $1/P^2$ ist 
${1\02} (\6 \phi )^2=-{1\02} \phi \6^2 \phi$. Und 
welches ist jene zu \eq{1.1} ?? \ 
Es gibt zwei m\"ogliche Antworten (zweite Antwort am Ende
des Abschnittes). Wir werden der folgenden ersten 
M\"oglichkeit den Vorzug geben\,:
\bea{1.5}
  \cl L  &\ueb{??}{=}& - {1\02} \phi \,(G_0^{-1} \phi )
                       -  {g^2\0 24} \phi^4 
  \,= \, - {1\02} \,\phi \!\int {d^4 P\0 (2\pi)^4}
              e^{iPX}\, P^2 \,\Big( 1 + {P^2\0\L^2} \Big)
              \,\Big( 1 + {P^2\0\G^2}\Big)
       \,\schl \phi (P)  -  {g^2\0 24} \phi^4 \nonu \\[1mm]
  &=& - {1\02} \;\phi \; \6^2\, \Big( 1 
     + {\6^2\0\L^2}\Big)\, \Big( 1 + {\6^2\0\G^2} \Big)\; 
     \phi \; - \; {g^2\0 24} \phi^4 \quad .
\eea % 1.5
Die runde Klammer nach erstem Gleichheitszeichen ist wie
in \cite{RS} gemeint, Fourier--isch n\"amlich. Aber
bei \eq{1.5} k\"onnen wir nicht bleiben (darum das $\ueb{??}{=}\,$). 
In der 
\glqq nackten\grqq\ Theorie mu\ss\ ein Massenterm angef\"ugt 
werden, \,d\,a\,m\,i\,t\, am Ende zur tats\"achlich masselosen 
$\phi^4$--Theorie \"ubergegangen werden kann. Die 
urspr\"ungliche (Index \glqq ur\grqq , nackte, unrenormierte) 
Lagrangian \,h\,a\,t\, Masse\,\footnote{
          \ Der bereits regularisierten Lagrangian einen
          Massenterm anzuf\"ugen, ist ersichtlich nicht 
          dasselbe wie etwa in jedem der Nenner von \eq{1.1}  
          ein $m_{\rm ur}^2$ zu addieren. Es d\"urfte eine Vielzahl 
          von PV--Versionen geben. Unsere wird sich
          jedenfalls als recht gescheit erweisen (man denke
          an Add-- und Subtraktion eines IR--Regulators).}.
Wir werden sehen. Also starten wir mit
\be{1.6}
 \cl L \;\;\ueb{?}{=}\;\; - {1\02} \,\phi \, \6^2 \( 1 + 
        {\6^2\0\L^2}\) \( 1 + {\6^2\0\G^2} \) \phi 
    \; - \; {1\02} \, m_{\rm ur}^2\, \phi^2
    \; - \; {g^2\0 24} \,\phi^4 \quad . \quad,
\ee  % 1.6
Die zu \eq{1.6} geh\"orige nackte Greensfunktion 
verallgemeinert \eq{1.3} und ist
\be{1.7}
  G_{\rm m} (P) \;\; \ueb{?}{=} \;\; { 1 \0 \, 
   m_{\rm ur}^2 \; 
  + \; P^2\, \( 1 + {P^2\0\L^2} \) \,
 \( 1 + {P^2\0\G^2} \) } \quad . \qquad 
\ee % 1.7
Die obigen Fragezeichen \"uber Gleichheitszeichen sollen
andeuten, da\ss\ selbst \eq{1.6} und \eq{1.7} noch
unzureichende Plagiate sind. Der Blick voraus auf
\eq{2.9} und \eq{2.2} zeigt es.

%--------------------

Wie angek\"undigt, sei auch noch kurz die zweite M\"oglichkeit
(Index $(b)\,$) bedacht, eine Lagrangian zu konstruieren. 
Sie besteht darin, separat jedem \eq{1.1}--Term ein Feld 
$\phi_j \; (\,j=0,1,2\,)\,$ zuzuordnen\,:
\be{1.8}
  \cl L_{\rm (b)} =  {1\02} (\6 \phi_0 )^2
      - {1\02A} \lk (\6 \phi_1 )^2 - \L^2 \phi_1^2 \rk
      + {1\02B} \lk (\6 \phi_2 )^2 - \G^2 \phi_2^2 \rk
   \; - \; {g^2\0 24} \( \sum_{j=0}^2 \phi_j \)^4 \;\; .
\ee % 1.8
Am Vertex verknoten sich vier Dreifach--Linien--Propagatoren. 
Wir f\"ugen einen Massenterm hinzu, lassen aber den
hierbei uninteressanten $\phi^{4}$--Term weg (darum der 
Index Null am $\cl L\,$). Das gibt\,: 
{\footnotesize %\small
\be{1.9} 
  \cl L_{{\rm (b)}, 0 } \,=\, {1\02} 
   \( \matrix{\phi_0 \cr \phi_1 \cr \phi_2 \cr} \)  
  \Bigg[ - \(\matrix{ 1 & 0 & 0 \cr
                       0 & {-1\0A} & 0 \cr
                       0 & 0 & {1\0B} \cr} \)  \6^2
          + \(\matrix{ 0 & 0 & 0 \cr
                       0 & {\L^2\0A} & 0 \cr
                       0 & 0 & {-\G^2\0B} \cr} \)  
     - m_{\rm ur}^2 \(\matrix{ 1 & 1 & 1 \cr
                                1 & 1 & 1 \cr
                                1 & 1 & 1 \cr} \) \Bigg]       
    \( \matrix{\phi_0 \cr \phi_1 \cr \phi_2 \cr} \) \;\; . \;\; 
    \rule[-7mm]{0pt}{0pt}
\ee % 1.9
}Die zugeh\"orige nackte Greensfunktion ist Matrix$\,$:
\be{1.10}
  G_{{\rm (b)}}^{-1} (P) \;\; = \;\;\(\matrix{ 
     m_{\rm ur}^2 + P^2 & m_{\rm ur}^2        
                     & m_{\rm ur}^2 \cr
     m_{\rm ur}^2  & m_{\rm ur}^2 - {\L^2+P^2 \0A} 
                     & m_{\rm ur}^2 \cr
     m_{\rm ur}^2  & m_{\rm ur}^2 
                     & m_{\rm ur}^2 
     + {\G^2+P^2\0B} \cr} \)  \quad . \qquad
\ee % 1.10
Ob sich \eq{1.7} aus dieser Matrixversion erhalten l\"a\ss t\,? 
\,Eine Dreifachlinie kommt stets nur in der Kombination 
$\sum_{i,j} \( G_{\rm (b)} \)_{i\, j}\,$ vor, weil sie am 
Linien--neutralem 4--Vertex enden k\"onnen mu\ss $\,$: \\[-.8cm]
\be{1.11}   \hspace{1cm}
 \sum_{i,j} \( G_{\rm (b)} \)_{i\, j} = 
    \hbox{\footnotesize $\( \matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr} \)$}
     \; G_{\rm (b)} (P) \;
    \hbox{\footnotesize $\( \matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr} \)$}
     \; = \; \ldots \; = \;  G_{\rm m} (P) \quad .
\ee % 1.11
Rechts steht bereits die Antwort. Um die Rechnung an der 
punktierten Stelle zu leisten, kann man sich den Vektor 
$\vc b \gll G_{\rm (b)}${\scriptsize 
$\( \matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr} \)$} aus dem Gleichungssystem
$G_{\rm (b)}^{-1} \vc b = ${\scriptsize $ \( \matrix{ 1 \cr
1 \cr 1 \cr} \)$} bestimmen und sodann \eq{1.11}. 
bilden.

%%% 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{2.\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.6cm}
\section{Counterterms}

Wir sind bei $T=0$. Eine Lagrange--Dichte \glqq wei\ss\
nichts von Temperatur\grqq . Sie legt den
Theorie--Inhalt eines Volumens $V$ fest (vor oder auch
nach dessen Ankopplung an W\"armebad). Theorie--Inhalt
$\to$ Spektrum. Alles \"uber Lagrangians (effektive ggf.
aus\-ge\-nom\-men) ist $T=0$--Physik. Aus einer e--mail
(8.~9.~97)$\,$: \\[3pt]
\rightline{\footnotesize\vtop{
   \hbox{As for the problems at finite temperature, I 
         strongly encourage you to compute the
         counterterms}
   \hbox{in the zero-temperature theory and to use the 
         same counterterms at finite temperature.} 
   \hbox{The presence of a finite temperature will itself 
         break scale invariance (except just at $T_c$).} 
   \hbox{\hspace{9.2cm} Good luck!}    \vspace{-.2cm}
   \hbox{\hspace{11.8cm} Michael Peskin }}} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Reihenfolge. Wie $Z$'s ins Spiel kommen} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$\bullet$ \ 
Regularisierung, $\cl L_{\rm ur} = \cl L$, \eq{1.6}, oder 
$=\cl L_{\rm (b)}\,$ (je mit Masse $m_{\rm ur}$), \nz
$\bullet$ \ 
Divergieren--Wollendes\footnote{ \ es sind
    nie \glqq Divergenzen\grqq \,! Die Theorie ist ja
    regularisiert. Vielmehr reden wir hier von Termen,
    welche erst mit $\G,\,\L\to\infty$ \"uber alle
    Grenzen anwachsen. Ab und zu nennen wir solche Terme
    \glqq riesig\grqq . Alles ist endlich, manches riesig,
    $g^2$ winzig. Auch 1/riesig ist winzig, aber ggf. 
    $\gg g^2\,$.}
in $Z$--Faktoren (sowie $\d m^2$) verstecken, \nz
$\bullet$ \ 
\parbox[t]{15.4cm}{
die Relationen zwischen ur--Gr\"o\ss en 
mit renormierten in $\cl L_{\rm ur}$ einsetzen. Es
entsteht $\cl L_{\rm ur} = \cl L_r +
\;\hbox{counterterms} \glr \cl L\;$ mit $\,\cl L_r \gll
{1\02} (\6\phi )^2 - {1\02} m^2 \phi^2 - (g^2 / 24 )
\phi^4\,$. Kein Index hei\ss t renormierte (= me\ss bare, mit
cutoff $\to \infty$ endlich bleibende) Gr\"o\ss e. } \nz
$\bullet$ \ 
$\cl L$ per St\"orungsrechnung \ $\folg$ \ $Z$'s, 
$\d m^2$ \ \ a n d \ any physics.

\vspace{.3cm}
Tun$\,$! Regularisierung im vorigen Abschnitt erledigt. 
$\cl L_{\rm ur}$ \ --- \ und schon wird ein Vers\"aumnis
erkennbar. Ob da nicht, wenigstens nachtr\"aglich, einige 
ur--Indizes anzubringen sind ?! Ja. Die gescheit
eingebettete (urige) Theorie hat Lagrangian \eq{1.6}. 
Ihr nackter, uriger Propagator ist \eq{1.7}$\,$. Ihren 
vollen Propagator nennen wir $G_{\rm ur}\,$. Mit $\L$, $\G$
endlich, und $g_{\rm ur}^2$ gen\"ugend winzig, hat die
Lagrangian
\be{2.1}
 \cl L_{\rm ur} = - {1\02} \;\phi_{\rm ur} 
     \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \)
     \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\; \phi_{\rm ur} \; - \;
     {1\02} m_{\rm ur}^2 \,\phi_{\rm ur}^2   \; - \; 
    {g_{\rm ur}^2\0 24} \phi_{\rm ur}^4 \quad ,  \quad
\ee % (2.1)
eine St\"orungsentwicklung und insbesondere eine
Selbstenergie $\P_{\rm ur} (P^2; \L ,\G )$. Via 
Dyson--Glei\-chung $G_{\rm ur} = G_{\rm m} 
- G_{\rm m} \P_{\rm ur} G_{\rm ur}$ entsteht
\be{2.2}
   G_{\rm ur} = {1 \0  m_{\rm ur}^2 + P^2 \( 1
      + {P^2\0\L^2}\) \( 1 + {P^2\0\G^2}\)
      + \P_{\rm ur} (P^2; \L ,\G ) }
      \;\;\;\;\glr\;\;   {1\0 F(P^2 )} \quad .
\ee % (2.2)
Gefahr bemerkt$\,$? \"Ublicherweise wird der Umstand,
da\ss\ eine Theorie regularisiert sei, so ganz beil\"aufig
in Worten angef\"ugt. Grunds\"atzlich$\,$: wir
\ m \"u s s e n \ bei Z--Produktion von \eq{2.2} ausgehen.
Wie harmlos die Gefahrenstelle ist, zeigt sich, bittesehr,
erst danach (n\"amlich in \eq{2.6}, \eq{2.7}\,). Wir sehen 
sie uns am Beispiel $\d m^2$ und $Z_\phi\,$ an.

Der \"ubliche Weg. Damit \eq{2.2} nach analytischer
Fortsetzung $i\o_n \to E + i\e$, d.h. mit $ P^2
= P^2_{\rm Eukli} = - P^2_{\rm Minko} =  - (i\o_n)^2
+ \vc p^2 \;\to\; \vc p^2 - E^2\,$, einen Pol bei
$E^2 = m^2 + \vc p^2$ {\sl bekommt} (wobei $m^2$ die
renormierte, me\ss bare, tats\"achliche Masse ist),
mu\ss\ in der Entwicklung von $F(P^2)$ um $P^2 = -m^2\,$,
\bea{2.3}
  F(P^2) &=& F(-m^2) + (P^2+m^2) F^\prime (-m^2) 
  + (P^2+m^2)^2 C(P^2) \\
  & & \hspace*{2cm} {\rm mit} \quad   C(P^2) = {1\02} 
  F''(-m^2) + \cl O (P^2+m^2) \quad , \quad \nonu
\eea
der erste Term verschwinden$\,$:
\be{2.4}
  m^2 \( 1 - {m^2\0\L^2} \) \( 1 - {m^2\0 \G^2} \) \;\; 
 \ueb{!}{=} \;\; m_{\rm ur}^2 + \P_{\rm ur} (-m^2;\L,\G)
\ee
Aaaha$\,$: mit oder ohne runde Klammern bleibt die linke 
Seite unter $\L,\,\G \to \infty$ endlich. Bei der
Kompensation von Riesigkeiten bleiben die beiden Terme
der rechten Seite unter sich. Beide runden Klammern
k\"onnen entfallen. Damit geht \eq{2.4} \"uber in
\be{2.5}
  m_{\rm ur}^2 = m^2 - \d m^2 \qquad \mbox{mit} \qquad
     \d m^2 \gll \P_{\rm ur} (-m^2; \L,\G) \quad .
\ee % (2.5)
Allerlei Vorzeichenunterschiede im Vergleich mit Literatur
beruhen nur auf unserer Euklidischen Version und m\"ogen
die Aufmerksamkeit erh\"ohen. Das Weglassen der runden
Klammern war ein partielles Ausf\"uhren von $\L,\,\G \to
\infty$. Solcherlei kommt noch \"ofter (z.B. im n\"achsten
Schritt).

F\"ur den zweiten Term in \eq{2.3} entnehmen wir aus 
\eq{2.2}, da\ss\
\be{2.6}
  F^\prime(-m^2) = \P_{\rm ur}^\prime (-m^2; \L ,\G )
  + 1  - 2 {m^2\0 \L^2} - 2 {m^2\0 \G^2}
  + 3 {m^4\0 \G^2\L^2} \quad ,
\ee % (2.6)
ist. Die Vernachl\"assigbarkeit der letzten drei Terme
ist offensichtlich. Aufregung umsonst (die unter \eq{2.2}
notierte). Resultat$\,$:
\be{2.7} \hskip -.1cm
  G_{\rm ur} = {Z_\phi \0 (P^2 + m^2)\,
    \lk 1 + (P^2+m^2) Z_\phi C(P^2) \rk } \quad
    \mbox{mit} \quad Z_\phi \gll {1\0 1
   + \P_{\rm ur}^\prime (-m^2; \L ,\G ) } \;\; .
\ee % (2.7)
Bei diesem Einstieg erscheint es wie ein notwendiges 
\"Ubel, ein ver\"andertes \glqq Gewicht\grqq\ 
(Wellenfunktionsrenormierung) des Propagator--Pols 
in Kauf nehmen zu m\"ussen. Es ist darum sehr sehr 
beruhigend, wenn man vorher (oder nachher) einmal 
jene Betrachtung (zum exakten Propagator mittels 
exakter Spektralfunktion) gesehen hat, bei welcher 
diese Gewichtsabnahme in Strenge zum Vorschein kommt\,: 
\,\S~7.1 in Peskin und Schoeder \cite{PS}.

Wie man auch noch das Divergieren--Wollen vierbeiniger
Greens (6--beinige sind {\sl superficially} endlich$\,$:
$D=4-E$) in ein $Z_g$ abdr\"angt, und da\ss\ man aus jeder
Linie artig je ein $\wu {Z_\phi}$ an $g_{\rm ur}^2$
heranholt, das sei hier getrost den Lehrb\"uchern
\"uberlassen. Die unphysikali\-sche (wiewohl urige)
Start--Theorie wollen wir baldigst verlassen. Einmal 
eingef\"uhrt, werden die Objekte $\d m^2$, $Z_\phi$, $Z_g$ 
(\glqq es gibt sie\grqq\ ist das Fazit der Urigkeiten) zu 
Bestandteil von $\cl L$ (siehe Reihenfolge und \eq{2.9}). 
Und mit $\cl L$, der renormierten und
counterterm--best\"uckten Lagrangian, werden tunlichst
alle Rechnungen angestellt, einschlie\ss lich der
Bestimmung von $\d m^2$, $Z_\phi$, $Z_g\,$. Zu bewahren
bleiben allein die folgenden drei Zusammenh\"ange$\,$:
\be{2.8}
  \phi_{\rm ur} = \wu {Z_\phi} \phi \quad , \quad 
  m^2_{\rm ur} = m^2 - \d m^2 \quad , \quad\; 
  g^2_{\rm ur} \; = \; {Z_g \0 Z_\phi^2}\; g^2  \;\quad . 
\ee % (2.8)
Die dritte Gleichung ist besonders wertvoll. $g_{\rm ur}^2$ 
h\"angt nicht von $\L$, $\G$ ab (sie \glqq wei\ss\ noch 
nichts\grqq\ vom sp\"ateren Menschenwerk der Einbettung).
Also macht die dritte Gleichung \eq{2.8} eine Aussage
\"uber die $\L$--$\G$--Abh\"angigkeit renormierter Objekte.

Setzt man die Zusammenh\"ange \eq{2.8} schlicht in \eq{2.1} 
ein ($\cl L$ \ i s t \ $\cl L_{\rm ur}$), dann entsteht
\be{2.9}
   \cl L = - {1\02} \, Z_\phi \;\phi 
     \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \)
     \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\; \phi \; - \;
     {1\02} \(m^2 - \d m^2 \) Z_\phi \,\phi^2  \; - \; 
    {g^2\0 24}\, Z_g \,\phi^4 \quad. 
\ee % (2.9)
Es ist Pauli und Villars hoch anzurechnen, da\ss\ mit ihrer
Regularisierung das Eingebettetsein einer Lagrangian auch 
explizit sichtbar wird.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Masselose $\phi^4$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Es ist anders als bei Eichbosonen mit ihren 
Ward--Identit\"aten. Wenn die Skalare der $\phi^4$ als 
Spielzeug f\"ur erstere herhalten sollen, dann m\"ussen 
wir (k\"unstlich sozusagen) f\"ur deren Masselosigkeit 
\ s o r g e n \ . Das geschieht durch Nullsetzen von 
$m^2$ in \eq{2.9}. Nur ein einziger Term entf\"allt
dort. \eq{2.5} reduziert sich auf
$m^2_{\rm ur} = - \d m^2$. Alsbald wird sich $\d m^2$
als \glqq riesig\grqq\ erweisen, also braucht die urige
Kunst--Theorie ein minus--riesiges Startmassenquadrat 
$m_{\rm ur}^2$. 

Mit Blick auf St\"orungsrechnung sollte $\cl L$ (zu
$m^2=0$) geeigneter aufgeschrieben werden. Da aus
St\"orungsentwicklung entstanden (egal ob nach
$g_{\rm ur}$ oder $g$), reduzieren sich bei Abschalten
der Kopplung $Z_\phi$ und $Z_g$ auf Eins, und
$\d m^2$ auf Null$\,$:
\bea{2.10}
 \cl L &=& \cl L_0 + \cl L_{\rm int} \nonu \\
  \cl L_0 &=&  - {1\02} \; \phi 
     \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \)
     \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\; \phi \nonu \\
  \cl L_{\rm int} &=& {1\02} \,\phi \lk \d m^2 Z_\phi 
       - (Z_\phi -1) \, \6^2 \,
   \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\L^2}$}\big)\,
   \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\G^2}$}\big)\,
       \rk \phi\;\; - \;\; {g^2 \0 24} Z_g \phi^4 \quad .
\eea % (2.10) 
Dies ist noch immer $\cl L_{\rm ur}$ \ -- \ nur anders 
aufgeschrieben. Nichts dagegen, den zwei Wechselwirkungen
nun je ein Diagramm--Symbol zu geben, etwa ein
eingekreistes Kreuz \cross \ f\"ur die eckig--geklammerte
Masseneinsetzung\footnote{ \ Diagrammatisch ersetzen sich
          in der eckigen Klammer die $\6^2$ durch $Q^2$.
          Sie wird dann ein $\ov{Y}(Q)$ in den Regeln
          bei Reinbach und Schulz \cite{RS}.},
und einen Dick--Boller--Vertex $\boll$
f\"ur den $Z_g$--verzierten 4--Vertex, siehe z.B. 
Peskin+Schroeder \cite{PS}, Figure 10.3.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Renormierungsbedingungen}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dies ist deshalb eine schwierige Materie, weil sich der
Sinn der Einstiegs--Gleichungen \eq{2.11} bis \eq{2.13}
erst enth\"ullt, wenn man {\sl mit ihnen} ein St\"uck weit 
gerechnet hat. Die (vorerst also nur verbal motivierbaren)
Renormierungsbedingungen werden es erlauben, die
counterterms $Z_\phi$, $Z_g$, $\d m^2$ eindeutig als Reihe
in $g^2$ Term f\"ur Term zu bestimmen. Erst danach ist
$\cl L$ ausreichend \glqq best\"uckt\grqq\ und bereit f\"ur
Herausmelken von physics aller Art, einschlie\ss lich 
thermischer.

Counterterm--Bestimmung ist St\"orungsrechnung an $\cl L$
und Physik aus $\cl L$ zu holen ebenfalls. An den eigenen 
Haaren aus dem Sumpf$\,$? Langsam. Um des Himmels willen 
wollen wir nicht mehr zur urigen Theorie zur\"uck. Die 
counters sind riesig werdende Zahlen (besser$\,$:
Funktionen von $g$ und $\L$, $\G$), und einige Integrale
bei Diagramm--Auswertung ebenfalls, und zwar zus\"atzlich.
Die Riesigkeiten haben sich zu kompensieren, wobei es
ausreicht, nur die anwachsenden Terme der
gro\ss --$\L$--Asymptotik sich wegfressen zu lassen. Na
also, wir wissen ja etwas. Um diese Philosophie ins
Konkrete zu \"ubersetzen (und zwar eindeutig), gen\"ugen
drei Forderungen. Die Theorie soll Ordnung f\"ur Ordnung
masselos bleiben (siehe \eq{2.11}). Wir d\"urfen auch
ruhig verlangen, da\ss\ der Propagator $G$ Ordnung f\"ur
Ordnung Residuum 1 hat und beh\"alt (siehe \eq{2.12}).
Wir bestimmen einfach die counters so, da\ss\ dem so ist
(man hat einige Freiheit in der tats\"achlichen
Durchf\"uhrung, vgl. Resummierung). Und dann ist da die
Kopplung $g^2$. Was soll das sein$\,$? Die mu\ss\ man
messen (siehe \eq{2.13}). Soso.

Aber nun wirds kriminell. Die Leute, welche mit bestimmten 
Ein-- und Ausgangsimpulsen (etwa alle vier von 
Gr\"o\-\ss en\-ord\-nung $M^2$) einen Zweiersto\ss\ 
verfolgen, die reden von einer anderen Kopplung als jene, 
die das Experiment bei ${M^{\prime}}^2$ ausf\"uhren. Die 
Zeiten der absoluten \glqq Elektronenladung\grqq\ die sind 
vorbei, weil die Zeiten eines Lebens ohne Dirac--See vorbei sind.
Abschirmeffekte (\cite{PS}, Figure 7.8) lassen sich aus einer
solchen Welt nicht wegschaffen (Elektronen nicht aus dem
Welt--Halbleiter herausholen). Ist da Kopplung, ist da
auch See--Effekt. Gott w\"urfelt nicht (QM), er bastelt
nicht (STM), er wurzelt nicht (Allg.Rel.), sehr
erstaunlich, wenn er besondere Vorliebe f\"ur Hosen
h\"atte (Strings), er renormiert wohl auch nicht, aber er
l\"a\ss t uns armselige Menschlein h\"angen in einer
\glqq effektiven Theorie\grqq , in einer
mittleren Skala, und baumelt mit der Planckschen in
gro\ss er Ferne. Schiebt sie mal sch\"on dort hin, eure
cutoffs. Tschja, Demut, nicht wahr, wird uns auferlegt,
wohl weil wir gegen diese im t\"aglichen Leben so sehr
versto\ss en.

Rein technisch gilt es vorauszuahnen, da\ss\ es genau
die Selbstenergie--Ableitung und der amputierte 4--Vertex
sein werden, welche einen $\ln (Q^2)$ enthalten. Und das
kann nicht sein$\,$: er braucht eine Skala, einen weiteren 
$\ln\,$. Zun\"achst wird das ein $\ln (\L^2 )$ sein. Aber 
nach Abdr\"angen solcher Riesigkeit in counters mu\ss\ 
etwas bleiben$\,$: $\ln (M^2)\,$. Ansonsten lassen wir uns
von Adam Riese beruhigen$\,$: drei unbekannte counters
\ --- \ drei Bedingungen.

Die drei Renormierungsbedingungen sind
dem Buch von Zinn--Justin \cite{ZJ} ent\-nom\-men$\,$:
Gln. (10.58--60) und (25.37). Das dortige $\G^{(2)}$
ist $\P + P^2$, und $\P$ nat\"urlich die Selbstenergie
(1PI), zu ermitteln per St\"orungsrechnung an \eq{2.10}.
Die drei Bedingungen lauten

\bea{2.11}
   & & \mbox{\rule[-3pt]{0pt}{1cm}} \\ \label{2.12}
   & & \mbox{\rule[-3pt]{0pt}{1cm}} \\ \label{2.13}
   & & \mbox{\rule[-3pt]{0pt}{1cm}} \hspace{7cm} .
\eea % (2.11), (2.12), (2.13)

\vspace{-3.92cm}
\hspace*{2.2cm} \fbox{\rule[-16pt]{0pt}{3.6cm}\quad\qquad
\vbox{
   \hbox{$\dis \P (\; Q^2=0 \; )\; =\; 0$}
   \vspace{.5cm}
   \hbox{$\dis \P^{\,\prime} (\; Q^2=M^2 \; )\; =\; 0 $}
   \vspace{.3cm}
   \hbox{$\dis \G^{(4)} (\; s=t=u=M^2 \; )\; =\; - {g^2 \0 24}$} 
   }\quad\qquad } \\[16pt]
Der Strich steht f\"ur Differentiation nach $Q^2$
(Euklidisch). $\G^{(4)}$ ist die beinamputierte 4--Punkt--Funktion, 
und $s=(\vc Q_1+\vc Q_2)^2$, $t=(\vc Q_1+\vc Q_3)^2$,
$u=(\vc Q_1+\vc Q_4)^2$ sind die Mandelstam--Variablen (alle
$\vc Q_j$ einlaufend). 

Zur Notation: wir schreiben Gro\ss buchstabe mit Pfeil 
(z.B. $\vc Q\,$) f\"ur euklidische 4--Vek\-toren und meinen
mit $PQ$ nur das Produkt der beiden Betr\"age. Bei
$Q^2 = \vc Q \vc Q = Q_0^2 + \vc q^2$ macht dies noch keinen
Unterschied zur herk\"ommlichen Bezeichnungsweise. Aber
es ist nun $\vc P \vc Q = P_0 Q_0 + \vc p \vc q\,\,$ 
\,n\,i\,c\,h\,t\, gleich dem Produkt $P Q$ der beiden Betr\"age.

\eq{2.13} \glqq definiert\grqq\ die Kopplung\footnote{ \ 
      Speaking loosely, we say that we are \glqq defining 
      the theory at the scale $M$\grqq , so Peskin und Schroeder,
      \cite{PS}, unter (12.30)$\,$. \,Nebenbei\,:
      \,In der ersten der 3 Bedingungen (12.30) 
      bei \cite{PS} sollte es \glqq at $p^2 = 0$\grqq\ 
      hei\ss en.}
bei Skala $M\,$. Die Kompensation riesiger Terme wird 
durch \eq{2.11} -- \eq{2.13} implizit erzwungen. Dies
einzusehen, lernt man durch Spielen$\,$:
\\[5pt]
\under{Beispiel 1} (billig) : \ \ $f(x,\L ) = g(x,\L ) 
- Z(\L )\;$. \ Die Bedingung $f(M,\L ) \;\ueb{!}{=}\; 0$ 
liefert $Z(\L )=g(M,\L )$ und somit $f(x,\L ) = g(x,\L ) 
- g(M,\L )\,$. Sind die riesigen Anteile in $g$ 
unabh\"angig von $x$, so bleibt $f$ endlich, wenn
$\L\to\infty$. Die Konstante $Z$ scrollt den Bildschirm
bis der Funktionsverlauf zu sehen ist.
\\[6pt]
\under{Beispiel 2} (bereits recht gute Simulation f\"ur den
n\"achsten subsection, $Z_1 \widehat{=} \d m^2$) : \\[2pt]
$ \P (x^2 ) = 2 \int_0^\L \! dy {y^3 \0 y^2 + x^2}
  + x^2 Z_2 - Z_1 \; = \; \L^2 + x^2 \,\ln (x^2 / \L^2 )
  + x^2 Z_2 - Z_1 - x^2 \,\ln (1 + x^2 / \L^2 )\;$, \\
und der letzte Term kann nat\"urlich im 
Vorwegausf\"uhrungs--Sinne entfallen. \\
\eq{2.11} : \ $Z_1 = \L^2 \;$ , \quad 
\eq{2.12} : \ $ Z_2 = - 1 - \ln (M^2 / \L^2 )\;$. \quad
Soweit conditions \ --- \ nun physics : \ \
$ \P (x^2 ) \; =  \; - x^2 + x^2 \,\ln (x^2 / M^2 ) 
\;\; =$ \ endlich (d.h. beschr\"ankt bei $\L\to\infty$).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Counterterms als Reihen in $g^2$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der nackte Propagator $G_0$ zu \eq{2.10} ist \eq{1.1}. Die 
counters setzen wir als Potenzreihen an$\,$: $\d m^2
= \d_2 + \d_4$ (Index = $g$--Potenz). Im Sinne einer
Annahme, deren Konsistenz sich alsbald erweisen wird,
gehen wir von $Z_g - 1 \sim g^2$ und $Z_\phi -1 \sim g^4$
aus. Damit ist klar, welche Diagramme (bei $T=0$) zu
studieren sind$\,$:
\bea{2.14}
   \P \; &=& \; - 2 \,\cross \hspace{.3cm}
     - 12 \hspace{.2cm}
          \vrule depth .2pt height .1pt width .45cm
          \hspace{-.33cm}\lower 1.8pt\hbox{$
          \bullet$}\hspace{-.32cm}\raise 4pt\hbox{$
          \bigcirc$}\hspace{.4cm}
      - 24 \hspace{.3cm}
           \vrule depth .3pt height 0pt width .45cm
           \hspace{-.44cm}\raise 2.5pt\hbox{$
           \bigcirc$}
           \hspace{-.32cm}\raise 9.5pt\scross\hspace{.4cm}
      - 144 \hspace{.4cm} 
           \vrule depth .3pt height 0pt width .5cm
           \hspace{-.46cm}\raise 2.4pt\hbox{$
           \bigcirc$}\hspace{-.42cm} \raise 13.4pt\hbox{$
           \bigcirc$}\hspace{.4cm}  
      - 96 \hspace{.3cm}
           \vrule depth -2.4pt height 2.7pt width .6cm
           \hspace{-.6cm}\bigcirc \hspace{.3cm}
      + \, \cl O(g^6 ) \;\; , \;\;  \\[10pt] \label{2.15}
   \G^{(4)} \; &=& \;  \,\boll \hspace{.3cm}
     + 12 \hspace{.23cm}
          \raise 1pt\hbox{$
          \cup$}\hspace{-.28cm}\lower 1pt\hbox{$
          \cap$}\hspace{.4cm}
     + 12 \hspace{.3cm} \raise 1pt\hbox{$
           \subset\hspace{-.38cm}\supset$}\hspace{.4cm}
     + 12 \hspace{.3cm} \raise 1pt\hbox{$
          \subset\hspace{-.38cm}\supset
          \hspace{-.13cm}\raise2pt\hbox{\tiny $
    \backslash$}\hspace{-.13cm}\raise 1pt\hbox{\tiny /}$}
    \hspace{.4cm}  + \, \cl O(g^6 ) \quad . \hspace{3.6cm}
\eea  % (2.14), (2.15)
Die IR--Divergenzen (diesesmal echte) im dritten und vierten
$\P$--Beitrag werden sich alsbald kompensieren und somit
keine IR--Regularisierung notwendig werden lassen. Von den
Beinen, wiewohl amputiert, mu\ss\ man noch wissen, da\ss\
jene an $\G^{(4)}$ einliefen und im mathematisch positivem
Sinne $\vc Q_1$ bis $\vc Q_4$ trugen (links oben $\vc Q_1$). Die
$\P$--Beine liefen durch (links ein, rechts aus).
 
Kombinatorische Faktoren sind in \eq{2.14}, \eq{2.15} so 
angegeben, da\ss\ der Rest den \cite{RS}--Regeln folgt.
Auf da\ss\ man (zu $\P\,$) diese Regeln noch am Werke sehe$\,$:
\bea{2.16}
   \P (Q) &=& - \,\bigg[ \;\d_2 + \d_4 - (Z_\phi -1 ) Q^2 
        \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\L^2}$}\big)\,
        \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\G^2}$}\big)\; \bigg] 
    - 12 \( - {g^2 Z_g \0 24} \) b_0  \nonu \\
      & & \hspace{-1.3cm}    
    - 24 \( - {g^2 \0 24} \) \( {1\0 2} \big[ \,\d_2\, 
         \big] \)  \eu_P G_0^2 
   - 144 \( - {g^2\0 24}\)^2 b_0 \eu_P G_0^2  
    - 96 \( - {g^2\0 24}\)^2 \chi (Q^2 ) \;\; . \quad    
\eea % (2.16)
Hierin ist
\be{2.17} 
  b_0 \gll \!\eu_P G_0 \; , 
  \;\eu_P \!\gll {1\0 (2\pi)^4} \!\int\!\! d^4 P \; , \;
  \chi (Q^2 ) = \!\eu_P \eu_K  G_0 (\vc Q -\vc P )
   \, G_0 (\vc P -\vc K )\, G_0(K) \; . \;
\ee % (2.17)
Bei $T\to 0$ geht die thermische Summe $\sum_P \gll
T\sum_n {1\0 (2\pi)^3} \int\!\! d^3 p$ direkt in
$\eu_P$ \"uber ($\o_n = P_0$, euklidisch). Also ist $b_0$ 
der $T\! = 0 $--Anteil von $b \gll \sum G_0\,$. Da\ss\
$\,b_0$ \glqq quadratisch divergent\grqq\ ist, zeigt der
Blick voraus auf \eq{2.22}\,. 

Die Bedingung \eq{2.11} ist Ordnung f\"ur Ordnung zu
erf\"ullen (hier in $g^2$ und $g^4$). In Ordnung
$g^2$ h\"angt $\P$ gar nicht von $Q^2$ ab. Also ist 
\eq{2.12} in dieser Ordnung trivial erf\"ullt. \eq{2.11}
besagt
\be{2.18}
 \P^{\rm in\; g^2} \;\;\ueb{!}{=}\;\; 0 \;\;\qquad 
 \folg \qquad \d_2 = {1\02}\, g^2\, b_0 \quad .
\ee % 2.18
Und das ist fein, denn mit diesem $\d_2$--Wert werden 
die beiden IR--Teufel, 24--er und 144--er Term, 
entgegengesetzt gleich (Vorhersage eingetroffen). Es bleibt
\be{2.19}
 \P^{\rm in\; g^4} = - \d_4 + {1\02}\, g^2 (Z_g -1) b_0
   + Q^2 (Z_\phi -1) 
        \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\L^2}$}\big)\,
        \big(\hbox{\small $1 + {Q^2\0\G^2}$}\big)\,
   - {1\06} \, g^4 \chi (Q^2) \quad 
\ee % 2.19
und ist diesesmal beiden $\P$--Bedingungen zu unterwefen$\,$: 
2 Gleichungen f\"ur die 2 Unbekannten $\d_4$ und $Z_\phi$, 
denn $Z_g$ wird sich aus der dritten Bedingung \eq{2.13} 
ergeben. Man ahnt, da\ss\ die drei Bedingungen in h\"oheren
Ordnungen wild verkoppelt und nichtlinear werden k\"onnen.
Hier bleibt die Sache jedoch einfach. Wir werfen zuerst \eq{2.19}
in die Ableitungs--Bedingung \eq{2.12}\,,
$$ \( Z_\phi -1 \) \( 1 + 2{M^2\0 \L^2} + 2{M^2\0 \G^2}
   + 3{M^4\0 \L^2\G^2} \) - {1\06} g^4 \chi^\prime (M^2 )
   \;\;\ueb{!}{=} \;\; 0 \quad , $$ 
vernachl\"assigen Winzigkeiten und erhalten 
\be{2.20}
  Z_\phi \; = \; 1 \; + \; {1\06}\, g^4\, \chi^\prime
  (M^2 )  \quad
\ee % 2.20
(Start--Annahme zu $Z_\phi$ erf\"ullt). Schlie\ss lich 
f\"uhrt \eq{2.11} in Ordnung $g^4$ auf
\be{2.21}
  \d_4 \; = \; {1\02}\, g^2 \( Z_g - 1 \) \, b_0 
  \; - \; {1\06}\, g^4 \, \chi (0) \quad .
\ee % 2.21
Die Dinge warten nun ersichtlich auf $Z_g$ und auf 
Auswertung von $b_0$ und $\chi (Q^2)\,$.

Wir beginnen mit $b_0$, weil es nur einen Zweizeiler
braucht und die PV--Einbettung illustriert$\,$:
\bea{2.22}
  b_0 &=& \eu_P G_0 = {1\016 \pi^4} \O_4 \int_0^\infty\!
     dP \; P^3 \( {1\0 P^2} - {A\0 P^2+\L^2}
     + {B\0 P^2+\G^2} \)    \hspace{2cm}  \nonu \\
      &=& {1\0 16 \pi^2} \int_0^\infty \! dr \; 
       \( {A\L^2 \0 r + \L^2} - {B\G^2 \0 r + \G^2} \)
   \;\; = \;\; {1\0 16 \pi^2} {\G^2\,\L^2 \0 \G^2 -\L^2}\;
         \ln \( {\G^2 \0 \L^2} \) \quad .
\eea % 2.22
Um die zweite Zeile zu erhalten, wurde aus \eq{A5} die 
4D Kugeloberfl\"ache $\O_4 = 2\pi^2$ eingesetzt (allgemein:
$\O_n=2 \pi^{n/2}/\G(n/2)\,$), $P^2=r$ substituiert, ein
$r$ in die runde Klammer geholt und diese mittels $A-B=1$
vereinfacht. Die Gleichheit von $A\L^2$ mit $B\G^2\,$,
s.~\eq{1.4}, enth\"ullt sodann die UV--Konvergenz des
Integrals. Mit $\G \sim \L \to \infty$ w\"achst $b_0$
quadratisch an.

Um zu $Z_g$ kl\"uger zu werden, ist $\G^{(4)}$ auszuwerten,
d.h. die loop--Integrale von \eq{2.15}. M\"oge die untere 
runde Linie im Loop \raise 1pt\hbox{$\cup$}\hspace{
   -.28cm}\lower 1pt\hbox{$\cap$}
nach rechts laufen und Impuls $\vc P$ tragen, dann ist an der
linkslaufenden oberen $\vc P-(\vc Q_1+\vc Q_2)\,$ anzubringen. 
Die $P$-Integration wird eine Funktion von $(\vc Q_1 + \vc Q_2)^2 
\glr Q^2$ liefern$\,$: 
\be{2.23}
 w_0 (Q^2) = \eu_P G_0 (P) G_0 (\vc P - \vc Q ) \;\; 
    \glr \;\;\; \mbox{\glqq Perle\grqq } \quad .
\ee % 2.23
Solche Perlen mit ihren paarigen Enden kann man
zu einer Kette aufreihen \ --- \ Perlenketten, 
W\"urstchenringe, der Appetit auf letztere hat einmal 
zum Buchstaben $w$ gef\"uhrt. $\G^{(4)}$ h\"angt
offenbar tats\"achlich nur von den Mandelstam--Variablen
ab$\,$:
\be{2.24}
 \G^{(4)} (\vc Q_1, \vc Q_2, \vc Q_3, \vc Q_4)  = 
    - {g^2 \0 24}\, Z_g + 12 \({g^2\024}\)^2
      \;\bigg( w_0 ( s ) + w_0 ( t ) + w_0 ( u )
      \bigg) \quad .
\ee % 2.24
Bitte jetzt keine Unterbrechung durch l\"angliches Integrieren. 
Also entwenden wir kurzerhand 
$w_0$ (in der relevanten Version) aus dem n\"achsten 
Abschnitt\,: 
$$   \qquad
     w_0 (Q^2) = {1\0 16 \pi^2} \, \( {\rm LN} - \ln (Q^2 ) 
    \,\) \;\; + \;\; \cl O\( {Q^2 \0\L^2} \) 
    \hbox{\hspace*{16mm} $\equiv \;\;$ \eq{2.44} siehe unten} $$
(wobei LN eine Bildung aus $\L$, $\G$ ist, welche bei 
$\G \sim \L \to \infty$ logarithmisch anw\"achst, s.
\eq{2.46}), setzen $w_0$ in obiges $\G^{(4)}$ ein und
sodann dieses in die dritte Bedingung \eq{2.13}$\,$,
$$  - {g^2\024}\, Z_g + {g^4\024}\, {3\0 32\pi^2} 
    \( {\rm LN} - \ln (M^2) \) \;\;\;\ueb{!}{=}\;\;
    - {g^2\024} \quad ,  $$
und erhalten $Z_g$ zu
\be{2.25}
  Z_g \; = \; 1 + {3\, g^2 \0 32 \pi^2} \( {\rm LN} - 
          \ln (M^2) \) \; + \; \cl O (g^4) \quad .
\ee % 2.25

Die drei Renormierungsbedingungen sind abgearbeitet. Nur
noch Auswertung der Funktion $\chi(Q^2)$ aus \eq{2.17}
steht aus. Ist nicht das zugeh\"orige {\sl setting sun}
Diagramm eine Perle, von deren 4 Beinen zwei entfernte 
miteinander verbunden wurden$\,$?! Gewi\ss , \eq{2.17} 
zeigt es$\,$:
\be{2.26}
   \chi (Q^2)\; = \;\eu_P G_0 (\vc Q - \vc P)\; 
   w_0 ( P^2 ) \quad .
\ee % 2.26
Einmal mehr wollen wir jetzt nicht in Integrationsdetails
ertrinken. Sie seien im Anhang B abgelagert. Von dort
stammen also die folgenden Resultate$\,$:
\bea{2.27}
\chi (Q^2 ) \, &=& \,\chi (0)\; + \;\chi_1 (Q^2)\;
     + \;\chi_2(Q^2) \qquad \mbox{mit} \\
      \label{2.28}
 \chi_1 (Q^2) \, &=& \, \eu_P \, w_0 (P^2)
    \( {1\0 (\vc P - \vc Q )^2} - {1\0 P^2} \)  \\
      \label{2.29}
    &=& \; {2 \0 (32\pi^2)^2 }\, \( \, Q^2 \,\ln
    \( Q^2 \) \, - \,  Q^2\, \lk {\rm LN} + {3\02} 
   \rk \) \quad , \\
      \label{2.30}
  \chi_2 (Q^2) \, &=& \, \eu_P \, w_0 (P^2) \, \(
    {A\0 P^2 +\L^2} - {B\0 P^2 +\G^2} \;\;
     - \;\; \mbox{dito}_{
     \hbox{\footnotesize $P \to \vc P - \vc Q$}} \,
       \) \\    \label{2.31}
   &=& \; {2\0 (32 \pi^2 )^2} \; c_2 \; Q^2 \; + \;
       \cl O \( {Q^4 \0 \L^2} \) \quad , \quad
       c_2 \; = \; \cl O(1) \quad .
\eea % 2.27 bis 2.31
Die drei Anteile in \eq{2.27} sind nach abnehmender 
Gr\"o\ss e geordnet. $\chi(0)$ divergiert quadratisch, 
$\chi_1$ logarithmisch und $\chi_2$ 
gar nicht. Mit der Auswertung von $\chi(0)$ lassen 
wir uns Zeit, bis dieser nur in $\d m^2$ vorkommende 
Term von selber stirbt (an cancellation: siehe \eq{4.22} bis
\eq{4.24}\,)\,. Auch $\chi_2 (Q^2)\,$ macht Schwierigkeiten 
(im Anhang B)\,. Aber es gen\"ugt die Struktur \eq{2.31}.
Weshalb wir den Koeffizienten $c_2$ f\"ur den Druck $p$
bis mit $g^4$ gar nicht auszuwerten brauchen, steht im 
Text zwischen \eq{3.8} und \eq{3.9}. In $\chi(0)$ sowie 
in $\chi_2$ ist die klein--$Q^2$--Version von \eq{2.44} 
unzureichend, weil Beitr\"age von $P^2 \sim \L^2$ 
wesentlich werden. Ganz anders steht es um $\chi_1(Q^2)\,$: 
es ist mit \eq{2.44} zufrieden und \"uberhaupt ein liebes 
M\"auschen. Mit \eq{2.27} bis \eq{2.31}, d.h. mit
$\chi'(Q^2)= \6_{Q^2} \lk  \chi_1(Q^2) + \chi_2(Q^2)\rk$ 
ergibt sich
\be{2.32}
   \chi^\prime (M^2 ) = {2 \0 (32\pi^2)^2 }\, \(\;
   \ln (M^2 ) - {\rm LN} - {1\02} + c_2 \;\) \quad .
\ee % 2.32

\noindent
Die Resultate dieses l\"anglichen Abschnitts verdienen
eine kurze Zusammenfassung$\,$:
\vspace{.2cm}
\be{2.33}
\fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{3.4cm}\vbox{
\hbox{$\dis \d m^2 \; = \; {1\02}\, g^2\, Z_g\, b_0  
       \; - \; {1\06}\, g^4\, \chi (0) \; + \; \cl O(g^6) $} 
\hbox{ $\;\,\dis Z_g \; = \; 1 + {3\, g^2 \0 32 \pi^2} \,
    \bigg( {\rm LN} - \ln (M^2) \bigg) \; + \; \cl O (g^4) $}
\hbox{ $\;\,\dis Z_\phi \; = \; 1 \; + \; {1\03} \, 
         \( {g^2 \0 32 \pi^2} \)^2 \, \( \ln (M^2) 
         - {\rm LN} - {1\02} + c_2 \,\) \; + \; \cl O(g^6) $} 
}\quad} \qquad
\ee % 2.33

\nz
Die Riesigkeit aller drei Counterterme versteckt sich in LN 
(logarithmisch) und $b_0$ (quadratisch). Sp\"ater werden
wir von $Z_\phi$ nur die 1 ben\"otigen \ --- \ aber hier
wollten wir unbedingt wissen, wie die erste Korrektur
aussieht und wie sie \glqq divergiert\grqq . Es ist der
Wechselwirkungsterm $\cl L_{\rm int}$ in der  Lagrangian
\eq{2.10}\,, welcher auf die eingerahmten Bestimmungsst\"ucke
gewartet hatte.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Eine Perle bei $\, T=0$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die \"Uberschrift verweist schlicht auf $w_0 (Q^2)\,$.
Wir haben das Integral \eq{2.23} auszuwerten und mindestens
die Klein--$Q^2$--Asymptotik \eq{2.44} herzuleiten (um das 
geheimnisvolle LN endlich kennenzulernen). \eq{2.44} wird
sogar ausreichen, wenn sp\"ater das Basketballdiagramm 
\basket zu schlachten sein wird.

$G_0$ enth\"alt 3 Terme, $w_0$ also 9. Um rentabel mit
diesen umzugehen, definieren wir einen Operator $\Vau_t$
(den \glqq Villars--Einbetter\grqq )$\,$:
\be{2.34}
  \Vau_t\; f(t) \;\gll\; f(0) - A\; f(\L^2) + B\; 
  f(\G^2) \quad , 
\ee % 2.34
so da\ss\ 
\be{2.35}
  G_0 = \Vau_t\; {1\0 t + P^2}
  \quad \mbox{und} \quad
  w_0 (Q^2) = \eu_P \Vau_t\,\Vau_\tau \;
   {1\0 t + P^2}\; {1\0 \tau + (\vc P- \vc Q)^2 } \quad .
\ee % 2.35
Es ist $\Vau_t\; 1 = 1-A+B = 0\,$. Und falls 
$f(t,\tau) = f(\tau,t)\,$, dann
\bea{2.36}
  \Vau_t\,\Vau_\tau\, f(t,\tau) &=& f(0,0) - 2A\,
    f(\L^2,0)  + 2B\, f(\G^2,0) \nonu \\
  &+& A^2\, f(\L^2,\L^2) + B^2\, f(\G^2,\G^2) 
  - 2AB\, f(\L^2,\G^2) \quad . \quad
\eea % 2.36
Zu \eq{2.35} ist Winkelmittelung keine schlechte Idee.
Hier aber empfiehlt sich die Feynman--Parametrisierung
\be{2.37}
 \raise 7pt\vtop{\hbox{\small Wenn $ab$ positiv,}
  \vspace{-.2cm} \hbox{\qquad \ \ \small {\bf nur}
  dann}} \hspace{.7cm} {1\0 ab} \; = \;\int_0^1\! dx \;
   {1\0 \lk\, ax+b\, (1-x) \,\rki^2} \; = \;\int_0^\infty
   \! dv \; {1\0 \lk\, a + b\, v \,\rki^2} \quad ,
\ee % 2.37
und zwar ausnahmsweise die \"ubliche mittlere Version von
\eq{2.37}\,:
\be{2.38}
   w_0 (Q^2)\; = \;\int_0^1\! dx \; \eu_P \,\Vau_t\,
   \Vau_\tau \; {1\0 \lk\, (t+P^2) x +
   (\tau + (\vc P - \vc Q )^2\,(1-x) \,\rki^2 } \quad .
\ee % 2.38
Verschiebung $\vc P \to \vc P + (1-x)\vc Q$ unter dem 
$P$--Integral tilgt aus der eckigen Klammer die Skalarprodukte. 
Sie wird zu $\lk P^2 + tx + \tau (1-x) + Q^2 x(1-x)\rk\,$, und
wir erhalten
\be{2.39}
  w_0 (Q^2)\; = \; {1\0 16\pi^2} \int_0^1\! dx \;\Vau_t\,
            \Vau_\tau \, \int_0^N\! dr\; { r \0
  \lk r + tx + \tau (1-x) + Q^2 x(1-x) \rki^2 } \;\; , \quad
\ee % 2.39
wobei $N \to \infty$ auf $\Vau$--Anwendungen warten mu\ss .
\be{2.40}
  w_0 (Q^2)\; = {1\0 16\pi^2} \;\Vau_t\,\Vau_\tau 
    \,\int_0^1\! dx \lk \ln \( { N \0 
    tx + \tau (1-x) + Q^2 x(1-x)} \) - 1 \rk \quad .
\ee % 2.40
Hieran sieht man sch\"on, wie die Regularisierung greift.
Wegen $\Vau_t\, 1 = 0$ k\"onnen wir in der eckigen Klammer
$\,\ln(N) \,$ weglassen, ebenso die $-1\,$, und schlie\ss lich
auch noch $\,\ln (x(1-x))\,$ addieren. Es ensteht
\be{2.41}
   w_0(Q^2) = - {1\016\pi^2} \,\Vau_t\,\Vau_\tau \,
   f(t,\tau) \quad \mbox{mit} \quad f(t,\tau)
   = \int_0^1\! dx\; \ln \( {t\0 1-x} + {\tau\0x}
   + Q^2 \) \;\; . \quad
\ee % 2.41
Substitution $x \to 1-x$ zeigt, da\ss\ obige Funktion $f$ 
unter $t\!\gdw\!\tau$ symmetrisch ist, so da\ss\ wir $w_0$
mittels \eq{2.36} auswerten d\"urfen. 

Erstaunlicherweise werden wir $w_0(Q^2)$ nur bei kleinem
Argument $Q^2$ (klein gegen $\L^2$, $\G^2\,$) explizit 
ben\"otigen. Im Anhang E und F zeigt sich dies. Die
in \eq{2.36} vorkommenden Argumente $t$ und $\tau$
sind entweder beide Null oder wenigstens eines hat
Ordnung $\cl O (\L^2)\,$. Im letzteren Falle k\"onnen
wir rechts in \eq{2.41} jenes $\,+\, Q^2\,$ streichen. 
Fazit\,:
\bea{2.42}
  f(0,0) &=& \,\ln\(Q^2\) \qquad {\rm und \;ansonsten} 
  \qquad f(t,\tau) \; =\; g (t,\tau) +  \cl O \( {Q^2\0 
   \L^2} \) \quad\qquad \nonu \\
\hspace*{-3mm}{\rm mit} \hspace*{8mm}
   g (t,\tau) &=& \int_0^1\! dx\; \ln \( {t\0 1-x} 
   + {\tau \0 x} \) \,\; = \,\;   { t\;\ln(t ) 
   - \tau\;\ln(\tau ) \0 t-\tau} \, + 1 \;\; . \quad  
\eea % 2.42 
Hieraus ergeben sich die f\"ur \eq{2.36} ben\"otigten 
speziellen $g$--Werte 
\bea{2.43}
  g (\L^2,0) &=& \ln (\L^2 ) + 1 \quad , \quad
  g (\L^2,\L^2) \;=\; \ln (\L^2) + 2 \quad ,  \nonu \\
  g (\L^2,\G^2) &=& A\,\ln (\G^2) - B\,\ln (\L^2)
  + 1 \;\; . \quad  
\eea % 2.43
Die linke Gleichung \eq{2.41} wird mit \eq{2.36},
\eq{2.42} und \eq{2.43}, mit etwas Rechnung und
Ausnutzen von $A-B=1$ schlie\ss lich zu 
\be{2.44}
   w_0 (Q^2) = {1\0 16 \pi^2} \, \(\, {\rm LN} - \ln (Q^2 )
  \,\) \;\; + \;\; \cl O \( {Q^2 \0\L^2} \) \;\; , \quad.
\ee % 2.44
Dabei kommt nat\"urlich auch die Konstante LN explizit
heraus. Wir geben ihr drei verschiedene Gew\"ander$\,$:
\bea{2.45}  \!\!
   {\rm LN} &=& \ln (\L^2 ) \, \lk 2A - A^2 - 2 A B^2 \rk
    -  \,\ln (\G^2 ) \, \lk 2B + B^2 - 2 A^2 B \rk
          - 2 AB \;\; , \qquad \\
   &=& \ln\( \G \L \) - 2AB + \( A+B\) \( 2AB-1\) 
              \ln\( {\G\0\L} \) \;\; ,  \nonu \\  \label{2.46}
   &=& {\G^4 \( \G^2 - 3 \L^2 \) \0 \( \G^2 - \L^2 \)^3 }
       \ln \( \L^2 \) + {\L^4 \( \L^2 - 3 \G^2 \)
                     \0 \( \L^2 - \G^2 \)^3 }
      \ln \( \G^2 \)  - 2 {\G^2 \L^2
                      \0 \( \G^2 -\L^2 \)^2 } \;\; . \qquad
\eea  % 2.45 und 2.46
Wie erwartet, ist LN unter $\L$--$\G$--Vertauschung 
invariant. LN enth\"alt sowohl logarithmisch 
\glqq divergente\grqq\ als auch beschr\"ankt bleibende 
Terme (letztere zeigt die mittlere Zeile besonders 
deutlich). Seine Grenzf\"alle sind 
\be{2.47}
   {\rm LN} \to \ln \( \L^2 \) \quad
    \big(\,\G^2 \to \infty\,\big)  \qquad {\rm und}
  \qquad {\rm LN} \to \ln \( \L^2 \) - {5\06} \quad
    \big(\, \G^2 \to \L^2\,\big)  \quad .
\ee % 2.47
Die beiden cutoff's $\L$ und $\G$ aber lieber allgemein
zu halten, das finden wir besonders sinnig$\,$: soo 
viel redundante \glqq Information\grqq\ hat sich aus 
Physik fernzuhalten$\,$!

Ganz nebenbei sei angemerkt, da\ss\ $w_0(Q^2)$ in Strenge
explizit ausintegriert werden kann. Hier sei nur das
Detail
\be{2.48}
  f(\L^2,\G^2) = \ln (\G\L ) \; - \; {\G^2-\L^2\0Q^2}\, 
   \ln \( {\G\0\L}\) \; + \; {W\0 2 Q^2 } \, 
   \ln \( { Q^2 + \G^2 + \L^2 + W \0 
            Q^2 + \G^2 + \L^2 - W } \) \quad  \\
\ee  % 2.48
notiert, wobei $ W \gll \wu { \( Q^2 + \G^2 + \L^2 \)^2 
- 4\G^2\L^2 }$ ist. $\,f(\L^2,0) = \,\ln(\L^2+Q^2) 
+ {\L^2 \0 Q^2}\,\ln( 1 + {Q^2\0\L^2} )$ folgt aus \eq{2.48} per
$\G \to 0\,$, und nat\"urlich ist $f(0,0)=\ln(Q^2)\,$.  

F\"ur den Fall, da\ss\ das Argument $Q^2$ in der N\"ahe 
von $\L^2,\,\G^2$ liegt, werden wir an zwei sp"ateren Stellen 
nur noch die Gr\"o\ss enordnung von $w_0$ (n\"amlich 1) 
ben\"otigen. Dies kann man aus \eq{2.48} ergr\"unden. Aber
wir gehen besser von \eq{2.41} aus, ziehen die 
$\Vau$--Operatoren unter das Integral, benutzen dort 
\eq{2.36} und schreiben
\be{2.49}
  w_0(Q^2) = {-1\08\pi^2} \!\int_0^1 \! dx \;\, 
   \hbox{\scriptsize Integrand\,}(x)
  = {-1\08\pi^2} \!\int_0^{1/2} \!\!\! dx \, 
     \lk \hbox{\scriptsize Integrand\,}(x) +
         \hbox{\scriptsize Integrand\,}(1-x) \rk \; . \;
\ee % 2.49
Die eckige Klammer ist eine Linearkombination von Logarithmen.
Weil $1-2A+2B + (A-B)^2 =0$ ist, d\"urfen wir von jedem
dieser Logarithmen ein $\ln(Q^2)$ subtrahieren. Addieren
wir auch noch je ein $\ln(x)$ so bleibt
\be{2.50}
  w_0(Q^2) = {1\08\pi^2} \!\int_0^{1/2} \!\!\! dx \;\,
    \ln(x) \lb -A+B + (A-B)^2 \rb + \cl O(1) 
   \; =\; \cl O(1) \;\; , \quad
\ee % 2.50
Es spielt schon keine Rolle mehr, da\ss\ die geschwungene 
Klammer Null ist.

Abschlie\ss end interessiert uns noch, wie wohl
$\,w_0(Q^2)\,$ bei gro\ss en $Q^2$ abf\"allt: 
$\,Q^2 \gg \L^2\,,\;\G^2\,$. Statt sich hierzu an \eq{2.48}
zu qu\"alen, blicken wir besser auf \eq{2.35} zur\"uck. 
Im euklidischen $\vc P$--Raum sind zwei Bereiche relevant.
Solange $P^2 \ll Q^2$ ist, kann der zweite Nenner zu
$\,\tau+Q^2\,$ vereinfacht werden. Aber es kann auch
$\vc P$ nahe $\vc Q$ liegen. Per $\,\vc P \to \vc P+\vc Q\,$
wird klar, da\ss\ sich dann der erste Nenner zu $\,t+Q^2\,$
vereinfacht. Dies erkl\"art den Faktor 2 in
\be{2.51}
   w_0(Q^2) \;\to\; 2 \int_P \!\Vau_t {1\0t+P^2} \,\; 
   \Vau_\tau {1\0 \tau + Q^2} \,\;=\,\; 2 \,G_0(Q^2) \int_P \! 
    G_0(P^2) \;\; . \quad
\ee % 2.51
Das $P$--Integral ist $b_0\,$, siehe \eq{2.22}. Und wie sich 
$\,G_0(Q^2)\,$ bei $\,Q^2\!\to\!\infty\,$ vereinfacht, ist
\eq{1.3} direkt anzusehen. Der asymptotisch f\"uhrende
Term ist also 
\be{2.52}
     w_0(Q^2) \;\to\; 2 \, b_0 \,\G^2 \L^2 \; {1\0 Q^6}
    \qquad \( \, Q^2 \to \infty\,\) \;\; . \quad
\ee % 2.52

Soweit waren die Bem\"uhungen auf Temperatur Null
beschr\"ankt und insofern etwas langweilig (?!). Falls
hier jemand \glqq die Kunst des Integrierens\grqq\
anklingen h\"orte$\,$: das war noch gar nichts.

%%% 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{3.\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.6cm}
\section{Der Druck $\; p\;$ bis mit $\; g^4$}

Die Thermodynamik des masselosen $\phi^4$--Systems wurde 
bisher, soweit bekannt, nur in dimensionaler 
Regularisierung behandelt, in 1994 von Arnold und
Zhai \cite{AZ} bis $g^4$, sp\"ater bis $g^5$ und 
$g^6\ln(g)$ und schlie\ss lich neuerlich von Gynther et.~al.
bis $g^6$ in \cite{GLS}. Das Resultat in \cite{AZ} enth\"alt 
Ableitungen der Zetafunktion sowie die Euler--Konstante. 
Das macht ein wenig mi\ss trauisch (es wird sich doch nicht 
etwa um Kunstprodukte der Methode handeln). Noch mehr irritiert 
der Umstand, da\ss\ in diesen Rechnungen die quadratisch 
divergente Startmasse $-\d m^2$ gar nicht erst in 
Erscheinung tritt. Wer da aber noch lernt, der sucht 
Vertrauen und will \ s e h e n , wie es \ 
\hbox{ w i r k l i c h }  zugeht, wenn die
Renormierungsprozedur vonstatten geht.

Eine Einf\"uhrung in Feldtheorie bei Temperatur 
(Matsubara--Kontur) ist nicht Gegenstand dieser Notizen. 
Kapitel 16 in \cite{ST} kann als solche dienen. Einschl\"agige 
\glqq Sonderbl\"atter\grqq\ finden sich auf der {\sl home page} 
\,www.itp.uni-hannover.de/{\boldmath$
\tilde{\phantom{a}}$}hschulz\,.

Hier bringen wir unverz\"uglich die bis mit $g^4$ 
relevanten Null--Beiner zu Papier und \"ubersetzen sie mit 
Diagramm--Regeln in Beitr\"age zum Druck $p = - F / V = 
\ln(Z) / (\b V)$. Aber es ist die Gr\"o\ss e $\ln(Z) = 
- \b F \,\glr\, f\,$,  zu welcher die Diagrammregeln
\cite{RS} Beitr\"age liefern. $F$ ist die Freie Energie
und $T=1/\b$ die Temperatur. So wie die $\phi^4$--Theorie
ihre Lagrangian hat (noch bevor sie an den Ofen gehalten
wird), so hat das W\"armebad seine Temperatur (noch bevor
es mit irgendeinem bekannten Spektrum Entartungsgrade
austauscht). Temperatur ist der mikrokanonisch per 
$1/\6_E S(E, V, N)$ berechenbare Parameter des (eines) 
$\infty$ gro\ss en Reservoir--Systems (aber \glqq 
Ofen\grqq\ war auch nicht \"ubel. Bald kommt der Winter, 
22.~9.~97).

Um IR--Singularit\"aten zu kontrollieren, braucht
die Lagrangian \eq{2.10} der masselosen $\phi^4$
einen Regulator, welcher zu $\cl L_0$ addiert
und von $\cl L_{\rm int}$ wieder subtrahiert wird$\,$:
Resummation der St\"orungsreihe. Der Regulator ist
ein Massenterm. Bis mit $g^4$ wird sich eine 
konstante \glqq thermische Masse\grqq\ $m^2$ als 
ausreichend erweisen (zum allgemeinen Fall eines
Impuls--abh\"angigen Regulators siehe \cite{RS}).
$m^2$ wird in \eq{3.7} festgelegt werden. Die
re\-gu\-lier\-te Lagrange--Dichte ist
\bea{3.1}
 \cl L &=& \cl L_0 + \cl L_{\rm int} \quad , \quad
  \cl L_0 \; = \; - {1\02} \; \phi
     \; \6^2\, \( 1 + {\6^2\0\L^2} \)
     \, \( 1 + {\6^2\0\G^2} \)\, \phi 
     \; - \; {1\02}\, m^2\,\phi^2 \quad ,  \quad
     \\ \label{3.2}
  \cl L_{\rm int} &=& {1\02} \,\phi \lk \d m^2 Z_\phi 
       - (Z_\phi -1) \, \6^2 \,
   \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\L^2}$}\big)\,
   \big(\hbox{\small $1 + {\6^2\0\G^2}$}\big)\,
    \, + \; m^2 \; \rk \phi\;\; 
   - \;\; {g^2 \0 24} Z_g \phi^4 \quad . \quad
\eea % 3.1 und 3.2
Vergleich von \eq{3.1} mit \eq{1.6}, \eq{1.7} zeigt,
wie die nackte Greensfunktion aussieht, d.h. jene zu
$\cl L_0\,$. In \eq{1.7} ist lediglich der Index
\glqq ur\grqq\ zu streichen$\,$:
\be{3.3}
  G_{\rm m} (P) \;\; = \;\; { 1 \0 \, m^2 \; 
  + \; P^2\,\( 1 + {P^2\0\L^2} \)\,\( 1 
  + {P^2\0\G^2} \)} \quad . 
\ee % 3.3

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Diagramme der Thermodynamik}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Diagramme bestehen aus Linien und Vertizes. Nat\"urlich
stehen Linien im folgenden f\"ur den massiven Propagator
\eq{3.3}. Wir bleiben auch bei einem Kreuzchen $\cross$ 
f\"ur die nun um $+\, m^2$ erweiterte eckige Klammer in
$\cl L_{\rm int}\,$, \eq{3.2} (siehe auch \eq{2.14} und 
Text unter \eq{2.10}). In dieser 
Notation und mit der Konsistenz--Annahme $m^2 \sim g^2$ 
(sowie $Z_g-1 \sim g^2, \; Z_\phi-1 \sim g^4$ im Hinterkopf) 
wird klar, da\ss\ bis mit $g^4$ die folgenden
Diagramme zum Druck beitragen$\,$:
\be{3.4}
  p \; = \; p_0 + {1\0\b V} \; \( \hspace{.5cm}
 {\unitlength1cm \begin{picture}(10.3,2.1) 
% erste Zeile
  \put(2.9,1.4){\circle{1}} \put(3.19,1.3){\ocross}
  \put(4.2,1.25){$+ \;\;\; 3$} \put(5.9,1.4){\circle{1}}
  \put(6.9,1.4){\circle{1}}    \put(6.4,1.4){\circle*{.3}} 
% zweite Zeile
  \put(-.4,-.15){$+ \;\; 36$} \put(1.3,0){\circle{1}}  
  \put(2.3,0){\circle{1}}     \put(3.3,0){\circle{1}}  
  \put(4.2,-.15){$ + \;\; 12$}  
  \put(5.9,0){\circle{1}}     \put(6.9,0){\circle{1}}  
  \put(7.19,-.1){\ocross}     \put(8,-.15){$+$} 
  \put(9.4,0){\circle{1}}
  \put(8.71,-.1){\ocross}     \put(9.69,-.1){\ocross}
% dritte Zeile
  \put(3,-1.55){$+ \;\;\; 12$} \put(5,-1.4){\circle{1}}
  \put(5.5,-1.4){\circle{1}}
\end{picture} } \)
\ee % 3.4
Verdient das Basketballdiagramm eine Zeile f\"ur
sich$\,$? Nein, aber es wird ohnehin noch Seiten 
einnehmen (und es hat auf der Zeitachse schon Wochen 
verschlungen). 

Die drei Diagramme der mittleren Zeile sind besonders 
angenehm. Weil jeweils auch ein anderer $g^2$--Vertex
vorhanden ist, d\"urfen ihre Kreuzchen auf ihren 
$g^2$--Anteil reduziert werden, d.h. auf $\d_2 + m^2 
= g^2 b_0/2 + m^2\,$, siehe \eq{2.18}. Die Regeln 
verlangen einen Faktor 1/2 pro Kreuzchen, einen {\sl 
overall factor} $\,\b V$ und thermische \glqq 
Summation\grqq\ \"uber innere Impulse. Der am gleichen
Vertex endende {\sl loop} (der \glqq einfache Loop\grqq )
ist also
\be{3.5}
   b\gll \sum_P G_m (P) \qquad  \mbox{mit} \qquad
   \sum_P \gll T \sum_n \int \! {d^3 p \0 (2\pi)^3}
   \;\;\; \vtop{\hbox{$\rightharpoonup$} \vspace{-.5cm}
            \hbox{$\leftharpoondown$}} \;\;\;
   {1\0 \b V} \sum_n \sum_{\vcsm p} \quad ,
\ee % 3.5
und die Diagramme \eq{3.4} der mittleren Zeile geben
\bea{3.6}
  p_{\rm \; mittlere\; Zeile} & = &
  36 \( - {g^2\0 24} \)^2 b^2 \sum G_m^2
    + 12 \( - {g^2\0 24} \) \, b \, {1\02} \lk \d_2 
    + m^2 \rk \sum G_m^2  \nonu \\
  &  & {} + {1\04} \lk \d_2 + m^2 \rki^2 \sum G_m^2
      \nonu \\
  & = & {1\04} \( m^2 - {1\02} \, g^2 \lk b - b_0 
        \rk \)^{\dis 2} \; \sum_P G_m^2 (P) \quad .
\eea % 3.6
Die Bildung $\sum G_m^2$ w\"urde nach Auswertung
die st\"orungstheoretische Ordnung ($g^4$ in \eq{3.6})
erniedrigen (und $g^3$ geben). Genau dies ist aber 
verboten, sofern die St\"orungsreihe unter Auswertung 
direkt in die klein--$g$ asymptotische Entwicklung von 
$p$ \"ubergehen soll (mehr hierzu in \cite{RS}). Also
treffen wir nun \ d i e \  gescheite Wahl f\"ur den
bislang nicht festgelegten Spielzeugparameter $m\;$:
\be{3.7}
   m^2 \;\; = \;\; {1\02}\; g^2 \; \lk \; b\; - \; b_0 \;
  \rk \;\; \glr \;\; {1\02}\; g^2 \;  b_T  \quad .
\ee % 3.7
$b_0$ ist der $T\!\to \!0$--Limes von $b$. Also ist $m^2$
in der Tat eine rein thermische Masse. Da\ss\ sich in der
eckigen Klammer auch gleich noch quadratische Riesigkeiten 
(von denen in Dim.Reg. nichts zu sehen ist) wegheben, das 
gef\"allt. Mit der Wahl \eq{3.7} entschwindet die
mittlere Zeile aus \eq{3.4}. Und das gef\"allt ebenfalls.

Der erste Term in \eq{3.4} ist der Druck $p_0$ des
$\cl L_0$--Systems, also der Druck von freien Skalaren
mit Masse $m$. Man erh\"alt ihn durch Ausintegration des 
Funktionalintegrals f\"ur die Zustandssumme (s.$\,$Anhang 
A von \cite{vari}) als $p_0 = {1\02} \sum \ln (G_m) +
\mbox{\footnotesize const}\,$. Dies gen\"ugt bereits, um
$\6_m p_0 = - m \, b$ einzusehen. Andererseits mu\ss\
$p_0$ bei $m\to 0$ in den Druck einer halben
Hohlraumstrahlung $p_{\rm \, hohl} = \pi^2 T^4 / 90\,$
\"ubergehen. Sofern wir also $b$ als Funkton von $m$ in
den Griff bekommen, ist nur noch Aufleiten angezeigt$\,$:
\be{3.8}
  p_0 = {\pi^2 T^4 \0 90} + \( \, - \, m \, b 
        \)^{\rm auf} \quad ,
\ee % 3.8
wobei mit $(-mb)^{\rm auf}$ die Stammfunktion von $-mb$
gemeint ist, welche mit $m\to0$ verschwindet.

Wie jetzt die verbliebenen Druck--Beitr\"age zu Papier
kommen, kann als \glqq gebremstes Verfahren\grqq\ 
bezeichnet werden$\,$: langsam und schrittweise. Wie sich 
n\"amlich die counter\-term--Riesigkeiten mopsig machen und 
Term f\"ur Term die per Diagramm--Aus\-wer\-tung 
entstehenden \glqq Divergenzen\grqq\ vertilgen \ --- \ 
nun, das gilt es zu genie\ss en. Die folgenden 
Formelzeilen m\"ogen ohne Worte verst\"andlich sein, 
ausgenommen der Schritt vom zweiten zum dritten 
Gleichheitszeichen in \eq{3.9}. Dort wird erstens 
$\d m^2 Z_\phi$ auf $\d m^2$ reduziert (weil 
Unterschied$\sim g^6$) und zweitens der Term 
$-{1\02}(Z_\phi -1)\sum G_m \lk P^2 (\;\; ) (\;\; ) \rk 
= -{1\02}(Z_\phi -1) \( - m^2 b + \sum_P 1 \)$ 
einfach weggelassen. Oh. $m^2 (Z_\phi -1)$ ist $\sim g^6$, 
und der andere Anteil enth\"alt keine Temperatur. 
Tats\"achlich war unsere PV--Regularisierung \eq{1.1} 
unzureichend. Weitere \glqq Geist\grqq$\!$--Propagatoren 
waren erforderlich, um auch $\sum 1$ einzubetten. Hier 
sei jedoch darauf verzichtet, reine $T\!=\!0$--Anteile 
in der Freien Energie zu studieren (Energieskala--Verschiebungen, 
Renormierung der kosmologischen Konstanten). Wir 
lassen sie einfach weg. Auf diese unh\"ofliche Weise 
hat sich nun $Z_\phi$ aus unseren Betrachtungen 
verabschiedet\,:
\bea{3.9}
  p & = & p_0 + {1\0\b V} \; \( 
 {\unitlength1cm \begin{picture}(9.4,0.6) 
  \put(0.9,0.1){\circle{1}} \put(1.19,0){\ocross}
  \put(2.2,-0.05){$+ \;\;\; 3$} \put(3.9,0.1){\circle{1}}
  \put(4.9,0.1){\circle{1}}    \put(4.4,0.1){\circle*{.3}} 
   %  Basket
  \put(6,-0.05){$+ \;\;\; 12$} \put(8,0.1){\circle{1}}
  \put(8.5,0.1){\circle{1}}
\end{picture} } \) \quad  \nonu \\
  & = & {\pi^2T^4\0 90} + \( - m b \)^{\rm auf} 
    + {1\02} \sum_P G_m(P) \lk \d m^2 Z_\phi + m^2 
       - (Z_\phi -1) P^2
     \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\L^2}$}\big)\,
     \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\G^2}$}\big)\, \rk 
        \nonu \\
  &  & {}  + 3 \( - {g^2\024} \) Z_g \, b^2 + {12\0 \b V}
     \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc  \quad \nonu \\
  & = & {\pi^2T^4\0 90} \; - \;\( m b \)^{\rm auf} 
     \; + \; {1\02} m^2 b \; + \; {1\02} \d m^2 b 
     \; - \; {1\08} g^2 Z_g b^2 \; + \; 12 {1\0 \b V }
     \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc \quad \nonu \\   
   & = & {\pi^2T^4\0 90} \; - \; {1\02} m^2 b_0 \; 
     - \;\( m b_T \)^{\rm auf} \; + \; {1\02} m^2 b_0 \; 
     + \; {1\02} m^2 b_T \; + \; {1\02} \d m^2 b_0 \; 
         \nonu \\
   &   &{} + \; {1\02} \lk {1\02} g^2 Z_g b_0 
                   - {1\06} g^4 \chi (0) \rk b_T \; 
     - {1\08} g^2 Z_g \( b_0^2 + 2 b_0 b_T + b_T^2 \) \;
     + \; 12 {1\0 \b V }\bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc
\eea % 3.9
Ersichtlich wurde die erste Zeile von \eq{2.33} benutzt. 
Im n\"achsten Schritt werden nun alle restlichen $T\!
=\!0$--Terme weggelassen. Die zwei Terme $\sim Z_g b_0 
b_T$ in \eq{3.9} kompensieren sich, und zwar samt der in 
ihnen enthaltenen $\L^2 \( 1 + \cl O( \L^{-2})\)$--Gefahr$\,$! 
\be{3.10} \hspace{-.1cm}
\fbox{$\;\;$\rule[-.1cm]{0pt}{.8cm}\vbox{\hbox{$\dis 
   p = {\pi^2T^4\0 90} \; - \; \( m b_T \)^{\rm auf} \;
   + \; {1\02} m^2 b_T \; - \; {1\012} g^4 \chi (0)\, b_T
   - {1\08} g^2 Z_g\, b_T^2 \; + \; 12 {1\0 \b V }
       \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc$}}$\;\;$} \;\;
\ee % 3.10
Die thermische Gr\"o\ss e $b_T$, auf welche nun alles 
wartet, wird einen $g^0$--Beitrag haben. Quadratische 
Riesigkeiten verbergen sich in $\chi(0)$ und im 
Basketball, logarithmische in allen Termen (au\ss er 
nat\"urlich dem ersten).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Der einfache Loop :
            \ $b_T \; = \; b-b_0$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der folgende Unterabschnitt handelt von Frequenzsummen,
asymptotischer Entwicklung und Integrierkunst. Die
Spezialit\"aten, welche der PV--Regularisierung eigen 
sind, halten wir f\"ur wichtig. Sie sind m\"oglicherweise 
neu und geh\"oren somit ({\sl mainly}) in den {\sl main text}. 
Der letzte Integral--Klumpen (er hei\ss t $c_T$) wird aber 
regularisierungs--unabh\"angig sein und in den 
Anhang B verfrachtet werden. Das Resultat dieses
Unterabschnitts findet sich eingerahmt an dessen Ende.

Ein paar Terme der asymptotischen Entwicklung zu 
produzieren, eines gegebenen Ausdrucks und hinsichtlich 
eines kleinen Parameters, das ist das, was die Leute 
immer nicht k\"onnen. Der interessierende Ausdruck ist 
$b_T$. Der kleine Parameter ist $m^2$. $b_0$ stand in 
\eq{2.22}. 
\bea{3.11}
   b_T \; &=& \; \sum_P G_m - \eu_P G_0 
       \; = \; \sum_P G_0 - \eu_P G_0 \; 
            + \; \sum_P \lk G_m - G_0 \rk \nonu \\
       \; &=& \; \sum_P^{\rm ohne} G_0 \;
       \;\; + \;\; \sum_P \lk G_m - G_0 \rk \qquad , \qquad
       \sum_P^{\rm ohne} \gll \sum_P -\int_P  \;\; . \quad
\eea % 3.11
Mit $m\to 0$ verschwindet der zweite Term. Falls es einen
$m^0$--Term gibt, ist es also der erste. Generell sei eine
Summe mit Index \glqq ohne\grqq\ als die Differenz rechts
in \eq{3.11} definiert. Enth\"alt aber der Summand (hier $G_0$)
neben $\o_n=2\pi n T$ keine weitere Temperatur $T$, so darf
der Index auch als \glqq ohne $T=0$--Term\grqq\ gelesen werden.

Zu Frequenzsummen gibt es ein \glqq Sonderblatt\grqq\ 
(ungek\"urzt im Anhang G wiedergegeben), aus welchem wir
\be{3.12}
   T\sum_n {1\0 x^2 + \o_n^2} 
   \;\; = \;\; {1\0 2\pi i} \grint dz \; 
          {n(z)_{\rm ignore\; poles} \0 z^2 - x^2 }
   \;\; = \;\; {1\0 2x} + { n(x) \0 x }  
% \;\; = \;\, {1\0 2x }\; {\ch (\b x/2 )\0\sh (\b x /2 )}
   \quad . \quad
\ee % 3.12
\"ubernehmen. $n(x) = 1 / ( e^{\b x} -1)$ ist die 
Bose--Funktion. Der wegzulassende $T\!=\!0$--Term ist 
$1/(2x)$ im dritten Ausdruck. Jenes Euklidische $P^2$ 
in $G_0$ ist per $P^2 = \vc p^2 + \o_n^2\,$ mit 
Matsubara--Frequenzen $\;\o_n = 2\pi n T\,$ zu 
best\"ucken. Also nimmt $x$ der Reihe nach die Werte
$p=|\vc p|$, $\wu {p^2 + \L^2}$ und $\wu {p^2 + \G^2}$ 
an$\,$:
\bea{3.13}
      \sum_P^{\rm ohne} G_0 
    &=& \; \int\! { d^3p \0 (2\pi)^3 } \(\; {\, n(p)\0 p} 
   \; - \; A \; { \; n \(\wu {p^2+\L^2}\) 
                 \0 \wu {p^2+\L^2} }
   \; + \; B \; { \; n \(\wu {p^2+\G^2}\) 
                 \0 \wu {p^2+\G^2} } \; \) \nonu \\ 
   &=& \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty\! dp \; p \, n(p)
        \; + \; \cl O\( e^{-\b \L } \) \; = \; 
    {\, T^2 \0 12} \; + \; \cl O\( e^{-\b \L } \) \quad .
\eea % 3.13
Da ist er, der vorhergeahnte $m^0$--Term. 
Bose--Funktionen von Riesenargument k\"onnen nat\"urlich 
im Vorwegausf\"uhrungs--Sinne wegfallen. Dies ist (wie
schon irgendwo in der Einleitung bemerkt) eine sehr
gesunde Eigenschaft der PV--Einbettung. Uninteressante
Vorfaktoren wie $\sim \wu \L$ etc. sind \"ubrigens
im Argument der obigen zwei $\cl O(\; )$ unterschlagen.

Nach dem asymptotisch f\"uhrenden Term kommt ein 
n\"achster. Ihn pr\"aparieren zu wollen, hei\ss t 
einfach, nach der Asymptotik der Differenz 
$\, b_T - T^2/12\,$ zu fragen$\,$:  
\be{3.14}
  b_T \; - \, {T^2\012} \; = \; \sum_P \lk \;
   {1\0 m^2 + P^2  
     \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\L^2}$}\big)\,
     \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\G^2}$}\big)\, } 
   \; - \; { 1\0 P^2
     \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\L^2}$}\big)\,
     \big(\hbox{\small $1 + {P^2\0\G^2}$}\big)\, } 
   \; \rk \quad . 
\ee % 3.14
F\"ur die thermische Summe w\"urden wir gern erneut
\eq{3.12} benutzen und sind darum an Partialbruchzerlegung
interessiert. Jene f\"ur den rechten Bruch ist \eq{1.1}.
Auch f\"ur den linken Bruch gibt es eine,
\be{3.15}
  { \G^2\, \L^2 \0 m^2 \L^2 \G^2 + P^2 
   \( \L^2 + P^2 \) \(\G^2 + P^2\) }\;\; = \;\;
 {1^\prime \0 m^{\prime\, 2} + P^2 }\; - \;
  { A^\prime \0 \L^{\prime\, 2 } + P^2 } \; + \;
  { B^\prime \0 \G^{\prime\, 2 } + P^2 } \quad ,
\ee % 3.15
wobei die gestrichenen Massenquadrate im Nenner die 
L\"osungen der kubischen Gleichung $m^2 \L^2 \G^2 - x 
(\L^2-x) (\G^2-x) = 0$ sind. Da\ss\ es drei reelle solche 
L\"osungen gibt, wird anhand einer Verlaufsskizze klar.
Bringt man die rechte Seite von \eq{3.15} auf Hauptnenner,
so mu\ss\ der Z\"ahler dem der linken Seite 
identisch gleich sein, $=\G^2 \L^2$ also. Hieraus erh\"alt
man die Koeffizienten
\bea{3.16}
  1^\prime &=& {\G^2 \L^2 \0 \(\L^{\prime\, 2} - 
  m^{\prime\, 2}\) \(\G^{\prime\, 2} - m^{\prime\, 2}\)}
  \;\; , \;\;
  A^\prime = {\G^2 \L^2 \0 \(\L^{\prime\, 2} - 
  m^{\prime\, 2}\) \(\G^{\prime\, 2} - \L^{\prime\, 2}\)}
  \;\; , \nonu \\[6pt]   
  B^\prime &=& {\G^2 \L^2 \0 \(\G^{\prime\, 2} - 
  \L^{\prime\, 2}\) \(\G^{\prime\, 2} - m^{\prime\, 2}\)}
  \qquad \Rightarrow \qquad 
  \raise 4pt\vtop{
    \hbox{$A^\prime - B^\prime = 1^\prime$ \ \ und} 
    \vspace{-.04cm}
    \hbox{$\L^{\prime\, 2} A^\prime - \G^{\prime\, 2} 
           B^\prime = m^{\prime\, 2} 1^\prime$}} 
    \quad . \qquad
\eea % 3.16
Man mache sich irgendwie klar, da\ss\ die gestrichenen
Massen gr\"o\ss enordungsm\"a\ss ig in der N\"ahe der 
ungestrichenen liegen. Ehe wer 12 Stunden am L\"osen 
einer kubischen Gleichung absitzt, rechne er besser erst 
einmal weiter. Vielleicht (Prinzip Hoffnung) werden die 
Details gar nicht ben\"otigt. 

Die thermische Summation $\sum_P$ in \eq{3.14} zerf\"allt 
wieder in ihren $T\!=\!0$--Teil {\small $\int_P$} und 
den Rest\,:
\bea{3.17}
  b_T \; - \, {T^2\012} \; &=& \; c_0 \; + \; c_T 
  \qquad \mbox{mit} \quad c_T = \sum_P^{\rm ohne}
  \Big[ \;\; \mbox{\footnotesize Klammer wie in \eq{3.18}} \;\; \Big]
  \quad \mbox{und} \quad \qquad \\ \label{3.18}
  c_0 \; = \; \eu_P \quad & & \hspace{-1.2cm} \lk 
   {1^\prime \0 m^{\prime\, 2} + P^2 } - 
  { A^\prime \0 \L^{\prime\, 2 } + P^2 } + 
  { B^\prime \0 \G^{\prime\, 2 } + P^2 } - 
  {1 \0 P^2 }  +
  { A \0 \L^2 + P^2 } - 
  { B \0 \G^2 + P^2 } \rk \; . \;\;
\eea % 3.17 und 3.18
Der Blick auf diese Partialbuch--Version macht nun
klar, da\ss\ der thermische Teil $c_T$ keine 
Regulatorterme braucht. Er w\"urde sie nur ins 
$e^{-\b \L}$--Jenseits verbannen. Kurz, der Summand
von $c_T$ ist jener von \eq{3.14} zu $\G,\L \to\infty$.
Kubischer Beigeschmack bleibt also nur an \eq{3.18}
h\"angen. Und dies integrieren wir erst einmal aus,
n\"amlich mittels$\,$:
\be{3.19}
  \eu_P \; {1\0 a^2 + P^2 } \; = \; 
  {1\0 16 \pi^2} \int_0^N\! dr \; 
  { r \0 a^2 + r } \; = \; {1\0 16 \pi^2} \lk 
  N - a^2 \ln \( { N \0 a^2 } \)  \rk \quad .
\ee % 3.19
Dank der Relationen \eq{3.16} entfallen in \eq{3.18}
sowohl die $N$-- als auch die $a^2 \ln (N)$--Terme,
und wir kommen an bei
\bea{3.20}
 c_0 &=& {1\0 16 \pi^2} \, \lk \;
       1^\prime\, m^{\prime\, 2}\, \ln \( m^{\prime\, 2} \)
   \; - \;  A^\prime\,\L^{\prime\, 2}\,\ln \( \L^{\prime\, 2} \)
   \; + \;  B^\prime\, \G^{\prime\, 2}\,\ln \( \G^{\prime\, 2} \)
      \qquad \right. \nonu \\
   & & \hspace{4.2cm} \left. 
       \; + \;\; A\;\, \L^2 \,\;\ln \( \L^2 \) 
       \,\; - \,\; B\;\, \G^2 \,\;\ln \( \G^2 \) \;\; 
       \rk \quad . \qquad\quad    
\eea % 3.20
Falls nun (gleich zeigt es sich) der relative Unterschied
zwischen gestrichenen und ungestri\-che\-nen Massen nur
$\sim \cl O( m^2 /\L^2 )$ ist, dann k\"onnen im ersten Term 
von  \eq{3.20} die Striche entfallen. Und im zweiten
sowie dritten Term braucht jedes Strichm\"annchen
nur seine erste Korrektur. 

An der kubischen Gleichung $m^2 \L^2 \G^2 - x (\L^2-x) 
(\G^2-x) = 0$ St\"orungsrechnung erster Ordnung 
zu treiben (statt sie zu l\"osen), ist ein billiges 
Unterfangen. Wir bedienen sie mit den Ans\"atzen 
$x=m^2 + \eta$, $x=\L^2 + \eta$, $x=\G^2 + \eta$, 
unterstellen je (Konsistenzannahme), da\ss\ $\eta$ 
eine Ordnung kleiner als der f\"uhrende Term ist, 
und erhalten
\be{3.21}
  m^{\prime\, 2} = m^2 \,\lk 1 + \cl O\( {m^2\0 \L^2}\)\rk
    \quad , \quad
  \L^{\prime\, 2} = \L^2 \; - \; m^2 \, A
    \quad , \quad
  \G^{\prime\, 2} = \G^2 \; + \; m^2 \, B \quad .
\ee % 3.21
Die Koeffizienten \eq{3.16} lassen sich nun zu
\be{3.22}
  1^\prime = 1 + \cl O\( {m^2\0 \L^2} \) 
     \;\;\; , \;\;\;
  A^\prime = A + m^2 \, {2A\0 \L^2}\, (1 - B^2 )
     \;\;\; , \;\;\;
  B^\prime = B + m^2 \, {2B\0 \G^2}\, (1 - A^2 ) \quad
\ee % 3.22
vereinfachen. Mit diesen Ausdr\"ucken in \eq{3.20} zu
gehen (also dort alles wegzulassen, was $\sim 1/\L^2$
abf\"allt), erscheint gef\"ahrlich, weil ja $c_0$ nicht
Resultat ist sondern nur Bestandteil des Faktors $b_T$.
Die Frage, ob im Druck \eq{3.10} endliche Reste aus $\L^2
\cdot \cl O(1/\L^2)$ entstehen k\"onnen, bekommt jedoch eine
klar abschl\"agige Antwort. Entweder hat dort $b_T$ keinen
$\L^2$--Vorfaktor oder es reduziert sich wegen
voranstehendem $g^4$ auf $T^2/12\,$. Gefahr
hinwegdiskutiert. Resultat$\,$:
\be{3.23}
  c_0 \; = \; {m^2 \0 16 \pi^2} \; \( \;\; 2\;
  \ln \( m \)  \; + \; 1 \; - \; {\rm LN} \;\; \)  
  \quad .
\ee % 3.23
Jaja, nach allerlei Kleinarbeit an \eq{3.20} mittels
\eq{3.21}, \eq{3.22} kommt tats\"achlich das be\-reits
be\-kann\-te LN--Gespenst erneut zum Vorschein (aber 
wir k\"onnen doch hier nicht aus jedem traumatischen
Erlebnis eine bunte Illustrierte machen).

Noch ist der Loop $b_T$ nicht komplett, denn es fehlt
der Beitrag $c_T$, siehe \eq{3.17} und Text unter \eq{3.18}.
Mittels \eq{3.12} ist die Frequenzsumme kein Problem$\,$:
\be{3.24} \!
  c_T = \sum_P^{\rm ohne} \!\lk { 1 \0 m^2 + P^2 } 
     \, - \, { 1\0 P^2 } \!\rk\! 
     \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \!\! dp \, p^2 \,
    \(\, {\, n \( \wu {m^2+p^2} \) \0 \wu {m^2+p^2} }
     \, - \, {n(p)\0 p} \,\) \,\; . \quad 
\ee % 3.24
An genau dieser Stelle zweigen wir ab in den Anhang C
(und wiederholen \eq{3.24} dort). $c_T$ enth\"alt
keine UV--cutoff's mehr. Aber einfach gestaltet
sich die Auswertung keineswegs. Sie liefert $c_T$
bis mit $g^2\,$. Das Resultat ist \eq{C17}, n\"amlich
\be{3.25}
  c_T \; = \; - \, {m\, T\04\,\pi} + {m^2\016\,\pi^2}
    \, \lk 1 - 2\,\g + 2\,\ln \( { 4\,\pi\, T \0 m } \) 
   \rk \quad . \quad
\ee % 3.25

Nun sind nur noch $c_0$ und $c_T$ in \eq{3.17}
einzusetzen$\,$:
\be{3.26}
\fbox{\quad\rule[-.3cm]{0pt}{1cm}\vbox{
\hbox{$\dis 
  b_T \; = \; {\, T^2 \0 12} \; - \; { m\, T\0 4\,
  \pi} \; + \; {m^2 \0 16 \pi^2 } \;  \(\; 
       2 \,\ln \Big( 4\,\pi\, T \) \; - \; {\rm LN}
       \; + \; 2 \; - \; 2\, \g \;\Big)$}
}\quad} \quad
\ee % 3.26
Zwischen $c_0 $ und $c_T$ hatten sich zuletzt zwei
$\ln (m)$--Terme kompensiert. Die klein--$m$ Asymptotik 
von $b_T$ besteht also nur aus Potenzen (es mu\ss te 
keineswegs so ausgehen). Obiger $\ln \( T \)$ sucht nach 
einer Dimensionskorrektur und findet sie in LN. 

Irgendwie ist es am\"usant, nun einmal nachzusehen, wie
wohl der thermische Loop bei den Dim.Reg.--Leuten zu
Papier kommt. Gleichung (2.12) bei \cite{AZ} (Terme zu 
Ver\-gleichs\-zwecken leicht umgestellt) sieht so aus$\,$:
\be{3.27}
   {\sum_P}^{\,\e} {1\0 m^2 + P^2}
   \; = \; {T^2\0 12} \( 1 + \e \iota_\e \) 
    - {m T\0 4\pi} + {m^2 \0 16\pi^2 } \lk 2\,\ln \( 
     4\pi T \) - {1\0\e} - 2 \ln\(\ov{\mu}\) - 2 \g \rk
\ee % 3.27
${\sum_P}^{\!\!\!\e}$ steht hier f\"ur die thermische Summe in 
$1+(3-2\e)$ Dimensionen.  
Die linke Seite ist $b$ (nicht $b_T$). Also \ f e h l t \
rechts der quadratische Riese $b_0\,$. $\iota_\e$ ist
ein bekannter endlicher Zusatz, welcher wegen sp\"aterem
${1\0\e}(1 + \e \iota_\e)$ nicht vergessen werden darf
(\cite{AZ} betonen das, danke). Arnold und Zhai's $\cl O$--Angabe 
braucht Vieles$\,$: $\cl O\({m^4/T^2}\, ,\, \e m T \, ,\e^2 T^2\)\,$.
Statt des LN in \eq{3.26} steht ${1\0\e} + ${\footnotesize
Endliches} in \eq{3.27}$\,$. Naja, wenigstens sind 
logarithmische Riesen keine Nullen.

Mit \eq{3.26} ist auch die thermische Masse $m$ 
spezifiziert. Vorsicht$\,$! $\, b_T$ ist Funktion von 
$m^2\,$, und somit ist $m^2 = g^2 b_T/2$ eine f\"ur $m$ 
zu l\"osende Gleichung. Allerdings zeigt sich alsbald
im n\"achsten Unterabschnitt, da\ss\ bereits der erste 
Term in
\be{3.28}
   m^2 \;\;  = \;\; { g^2\, T^2 \0 24 } \;\; + \;\; 
   \cl O(g^3 ) \quad
\ee % 3.28

\vspace{-1.1cm} \nz  v\"ollig ausreicht. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.3cm}
\subsection{Zwischenbilanz}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der vorige Unterabschnitt hat uns mit $b_T$ die eine von 
zwei Gr\"o\ss en beschert, welche im vorl\"aufigen 
Resultat \eq{3.10} f\"ur den Druck ben\"otigt werden. 
Auch ohne die zweite Gr\"o\ss e, den Basketball ($\sim 
g^4$), kommen wir mit $b_T$--Kenntnis ein gutes St\"uck 
weiter, n\"amlich bis $g^3\,$. In Ordung $g^4$ bekommen 
wir eine Vorstellung davon, was der Basketball \glqq zu 
leisten haben wird\grqq , ein Wahrnehmungsraster sozusagen.

Erst einmal schreiben wir uns \eq{3.10} erneut auf$\,$:
\be{3.29}
  p  = {\pi^2T^4\0 90} - \( m b_T \)^{\rm auf}
    +  {m^2\02} b_T -  {g^2\08} b_T^2 
    - {g^4\012} \chi (0)\, b_T
    - {g^2\08} (Z_g - 1)\, b_T^2 
    + {g^4\0 48} I_{\rm ball} \;\;\; .
\ee % 3.29
Lediglich wurde $Z_g$ in $1 + (Z_g -1)$ aufgespalten
und f\"ur den Basketball die Notation
\be{3.30}
  12\, {1\0 \b V } \bigcirc\hspace{-.35cm}\bigcirc
  \;\; \glr \;\; 12\;\( - {g^2\0 24}\)^2\; I_{\rm ball}
   \;\; = \;\; {g^4\0 48} \; I_{\rm ball}
\ee % 3.30
aus \cite{AZ} \"ubernommen. Die letzten drei Druck--Terme 
haben $g^4$--Faktoren, so da\ss\ dort nur $b_T = T^2/12$
eingeht. Variiert man $m$, so sp\"uren das nur drei 
Terme$\,$:
\bea{3.31}
  p(m^2) &=& - \( m b_T \)^{\rm auf}
    +  {1\02} m^2 b_T -  {1\08} g^2\, b_T^2 \; + \;
    \mbox{const}_m \qquad\quad \nonu \\
       \Rightarrow \qquad\quad
  p^\prime (m^2) &=& {1\02m} \( m^2 - {g^2\02} b_T \) 
     {1\02} \6_m b_T \quad .
\eea % 3.31
Diese Variation ist k\"unstlich, denn nach dem bisherigen
Gang der Dinge ist $p$ nur dann der (richtige) Druck, wenn
in \eq{3.29} die L\"osung von $m^2 = g^2 b_T/2$ eingesetzt 
wird. \eq{3.31} hilft aber bei der Frage, ob die
N\"aherung $m^2 \approx m_0^2 \gll g^2 T^2 /24$ ausreicht. 
Die Funktion $p(m^2)$ hat laut \eq{3.31} an der \glqq 
wahren\grqq\ Stelle $m^2 = g^2 b_T/2$ ein Extremum.
Folglich gibt es in der Entwicklung
\be{3.32}
  p(m_0^2) \; = \; p(m^2) + (m_0^2 - m^2)\, 
  p^\prime (m^2) + \cl O(g^6 ) 
  \; = \; p(m^2 ) \; + \; \cl O(g^6) \quad 
\ee % 3.32
keinen linearen Term. Man sieht es nun$\,$: im Druck bis 
mit $g^4$ darf $m^2 = g^2 T^2/24$ gesetzt werden.

Im n\"achsten Teilschritt setzen wir $b_T$ aus 
\eq{3.26} und
\be{3.33}
  \( m\, b_T \)^{\rm auf} = {m^2 T^2 \0 24} 
   - {m^3 T \0 12\pi} + {m^4 \0 64 \pi^2} \cl K
  \quad , \;\;\; \cl K \gll \, 2\,\ln
  \( 4\pi T\) - {\rm LN} + 2 - 2\g  \quad
\ee % 3.33
in \eq{3.29} ein und sortieren nach $g$--Potenzen. 
$m^2$ \ i s t \ jetzt $g^2T^2/24$, so da\ss\
sich ein $m^3T$-- gegen einen $g^2mT^3$--Term k\"urzt, und
ein $m^4 \cl K$ gegen einen $g^2 m^2 T^2 \cl K\;$:
\bea{3.34}
  p &=& {\pi^2T^4\0 90} - {g^2\0 8} \({T^2\012}\)^2
     + {m^3 T \0 12\pi } \; + \; p_4 
       \qquad \qquad \mbox{mit}  \\  \label{3.35}
  p_4 &=& - {g^2\08} \({mT\04\pi}\)^2 
        - {m^4 \0 64 \pi^2} \cl K
        - {g^2\0 8}  (Z_g - 1) \( {T^2\012} \)^2
        - {g^4\012} \chi(0) {T^2\012}
        + \, {g^4 \0 48}\, I_{\rm ball} \;\; . \quad
\eea % 3.34 und 3.35
Nie wei\ss\ man, wie man es aufschreiben soll. Ohne $p_4$ 
macht jedenfalls \eq{3.34} den Druck bis mit $g^3$ explizit. 
Darin ist der zweite Term das Resultat erster Ordnung 
St\"orungsrechnung \ --- \ welche oft qualitativ recht gute 
Aussagen macht. Man spekuliere, da\ss\ bei einer gewissen 
st\"arkeren Kopplung das System \glqq klumpt\grqq. 
Druck $\to 0$ signalisiert einen Phasen\"ubergang.

Der Druck hat bis mit $g^3$ ersichtlich keine Erinnerung
mehr an Regularisierungsdetails (siehe Einleitung).
\eq{3.34} ist auch unabh\"angig von der Wahl des 
Renormierungspunktes, aber in einer arg trivialen Weise.
Diese Abh\"angigkeit wird n\"amlich (wie wir noch sehen
werden) im Sinne $g^2 \to g^2 + g^4\, f(M^2) $ erst in
Ordnung $g^4$ sichtbar. Kein Wunder.

In $p_4$ hingegen, da tummelt sich in der Tat das ganze 
Gelichter$\,$: LN--Gespenst, $\ln (T)$, $M^2$--Skala und 
ein ganz falscher Hund, der vorletzte Term ($\sim \L^2
T^2)\,$. Wir setzen in \eq{3.35} zuerst $m^2 = g^2 T^2/24$
ein, dann $\cl K$ und schlie\ss lich $(Z_g -1)$ aus der
zweiten Zeile von \eq{2.33}. Sodann spalten wir aus den
ersten drei Termen einen gemeinsamen Faktor $\mho$ ab (er
steht unten mit im eingerahmten Block \eq{3.36})$\,$:
erster Term $= - \mho\cdot 36$, zweiter Term $= - \mho
\cdot3\cl K $, dritter Term $= -\mho\cdot 9\lk {\rm LN}
- \ln (M^2)\rk\,$. Der $\chi(0)$--Term $\sim \L^2$ hat
Kompensation ganz besonders n\"otig, also schreiben wir
ihn besonders nahe an $I_{\rm ball}$. Damit bekommt der
$g^4$--Anteil des Druckes die folgende vorl\"aufige
Gestalt$\,$:
\pagebreak[3]
\be{3.36}  
  \parbox{14cm}{ 
  \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{4.2cm}
  \vbox{
  \hbox{$\dis p_4 \,\; = \,\; \mho \;\bigg( \,
        - 6\,\ln \( 4 \pi T \) + 3\,\ln \( M^2 \) $}
      \vspace{.2cm}
  \hbox{$\dis \hspace{2.1cm} + \; 6\,\ln \( M^2 \) 
         - 6\,{\rm LN} - 42 + 6\,\g \; \bigg) \;\; 
         + \; {g^4 \0 48} \; \bigg( \; I_{\rm ball} 
         - {T^2\03}\, \chi(0) \; \bigg) $}
      \vspace{.4cm}
  \hbox{$\dis {\rm mit} \;\qquad \mho \; \gll\; 
         {g^4\0 48} \; \( {1\04\pi}\, {T^2\012} 
         \)^2 \quad .$}  }\quad} }
\ee  % 3.36

Einen Rahmen verdient dieses Zwischenresultat wohl kaum, 
aber vielleicht freut es sich dar\"uber. Die Logarithmen 
wurden so in Zeilen verteilt, da\ss\ die 
dimensionsm\"a\ss ige Kompensation sichtbar wird. Die 
zweite Klammer mit $I_{\rm ball}$ mu\ss\ also separat 
dimensionsm\"a\ss ig in Ordnung sein. Sie sollte einen 
Faktor so absondern, da\ss\ sich auch dort ein $\mho$ 
bildet. Sodann mu\ss\ sie $+\, 6\,$LN liefern (auf da\ss\
sich Divergenzen wegfressen), sowie  $ - \, 12\,\ln \( 4 
\pi T \)$, damit alle bereits vorhandenen 
$\ln (M^2)$'s wieder ein Zuhause finden. Das war das 
Wahr\-neh\-mungs\-ras\-ter. 

Wegen $D=4-E = 4$ f\"ur Null--Beiner, wird $I_{\rm ball}$
sogar einen $\L^4$--Term enthalten, der sich aber
(erwartungsgem\"a\ss ) als $T$--unabh\"angig (somit
wegla\ss bar) herausstellen wird. Irgendwann in der
Anfangsphase der Bem\"uhungen gab es einmal ein Dilemma.
Die Eigenschaften des Basketballs waren aus 
Grob\"uberlegungen klar, aber kein kompensierender 
$g^4 \L^2 T^2$ fand sich in den einfacheren Beitr\"agen.
Messerscharf war dimensionsm\"a\ss ig zu schlie\ss en 
gewesen, da\ss\ dieser in $\d m^2$ zu stecken habe$\,$: 
alle $\d m^2$--Beitr\"age sind $\sim \L^2$, und andere
counters nicht. Der Fehler$\,$: das {\sl setting sun} 
Diagramm sa\ss\ in der falschen $\ln (\L )$--Schublade.
Anf\"anger sind schwankende Gestalten. 

\glqq Anf\"anger\grqq\ oder {\sl fishing for
compliments}$\,$? In Sachen Feldtheorie bei Temperatur
gibt es am Ort einen ganzen Sack Erfahrung \cite{amort}.
Jedoch wurde fast ausschlie\ss lich die thermische
Selbstenergie $\P$ (Polarisationsfunktion) untersucht,
eine dynamische Gr\"o\ss e also. \"Uber Ordnung $g^3$
(der asymptotischen Entwicklung von $\P$) sind diese
Rechnungen nicht nennenswert hinausgekommen. Aber bis
zu dieser Ordnung ist die Renormierungsprozedur trivial
\ --- \ doch Anf\"anger.

%%% 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{4.\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.6cm}
\section{Basketball--Diagramm}

Der Basketball ist eine Kette aus zwei Perlen. 
Der erste Schritt, der diagrammatische, ist 
mit Blick auf
\be{4.1} 
  \parbox{3cm}{
  \vbox{\vspace{.1cm}
  \hbox{\footnotesize Wie ein 4--Vektor $Q$}
    \vspace{-.15cm}
  \hbox{\footnotesize im Uhrzeigersinn}
    \vspace{-.15cm}
  \hbox{\footnotesize durch eine Perlenkette l\"auft}}}
 \hspace{1cm} \parbox{7cm}{
 {\unitlength.5cm \begin{picture}(10,4.5) 
% Halbkreise
  \put(5.5,2.5){\oval(.98,.98)[l]} 
  \put(6.5,2.5){\oval(.98,.98)[r]} 
  \put(5.5,2.5){\oval(3,3)[l]} 
  \put(6.5,2.5){\oval(3,3)[r]} 
  \put(5.5,1.5){\oval(.98,.98)[r]} 
  \put(6.5,1.5){\oval(.98,.98)[l]} 
  \put(5.5,3.5){\oval(.98,.98)[r]} 
  \put(6.5,3.5){\oval(.98,.98)[l]} 
% Q Richtung
  \put(5.0,.2){\Large $\longleftarrow$}
  \put(5.8,0){\scriptsize $Q$}
% Beschriftung
  \put(1.8,2.26){\footnotesize $P-Q$} 
  \put(5.2,2.26){\footnotesize $P$} 
  \put(6.2,2.26){\footnotesize $K$} 
  \put(8.2,2.26){\footnotesize $K-Q$} 
% arrows
  \put(4.0,2.3){\footnotesize $\downarrow$} 
  \put(4.6,2.3){\footnotesize $\uparrow$} 
  \put(7.0,2.3){\footnotesize $\downarrow$} 
  \put(7.6,2.3){\footnotesize $\uparrow$} \end{picture}}}
\ee % 4.1
sehr einfach$\,$: \"uber das $Q$--Argument zweier 
Funktionen $w(Q^2)$ ist thermisch zu summieren.
Mit \eq{3.30} und den Diagrammregeln entsteht direkt
\be{4.2}
  I_{\rm ball} \;\; = \;\; \sum_Q \; w(Q^2)\; w(Q^2) 
  \quad .
\ee % 4.2
Im Unterschied zu \eq{2.23} befinden wir uns aber 
jetzt in einem wohltemperierten 
$\phi^4$--Ba\-de\-was\-ser, 
und die \glqq Perle bei $T\neq 0$\grqq\ ist
\be{4.3}
  w(Q^2) \; = \;\sum_P G_0 (P) G_0 (\vc P - \vc Q )  
  \; = \; w_0 (Q^2) \; + \; w_T (Q^2) \qquad 
\ee % 4.3
\be{4.4}
 \mbox{mit} \qquad w_T (Q^2) \; = \; \sum_P^{\rm ohne} 
    G_0 (P) G_0 (\vc P - \vc Q ) \quad .
\ee % 4.4
Damit zerf\"allt $I_{\rm ball}$ in drei Anteile
\be{4.5}
   I_{\rm ball} \;\; = \;\; I_{00} \;\; + \;\;
   I_{0T} \;\; + \;\; I_{TT}  \qquad ,
\ee % 4.5      
\be{4.6}
  I_{00} \; = \; \sum_Q w_0^2 \qquad , \qquad
  I_{0T} \; = \; 2 \sum_Q w_0 \, w_T \qquad , \qquad
  I_{TT} \; = \; \sum_Q w_T^2 \quad .
\ee % 4.6 
Man kann jetzt sehen, was zu tun sein wird. Zuerst 
m\"ussen wir die Integranden kennen. $w_0 (Q^2)$
ist aus \S~2.5 bekannt, aber die Funktion $w_T (Q^2)$
wird noch zu studieren sein (s.~\S~4.1). Jede der  
drei $Q$--Summen in \eq{4.6} werden wir dann gem\"a\ss\
\be{4.7}
   \sum_Q \,\; = \,\;\eu_Q \,\; + \,\;\sum_Q^{\rm ohne}
   \qquad {\rm in} \qquad I_{\ldots}\, = \,
   I^{^{\int}}_{\ldots} \, + \, I^{^{\rm ohne}}_{\ldots}  \quad 
\ee % 4.7
zerlegen. Man blicke voraus auf \eq{4.18}, \eq{4.22} und
\eq{4.28}. Die oberen $I$--Indices $\int$ und \glqq ohne\grqq\ 
beziehen sich auf die abschlie\ss enden $Q$--Summationen 
in \eq{4.6}. Wegen $T$--Abh\"angigkeit der Summanden von 
$I_{0T}$ und $I_{TT}$ hat hier der $I$--Index $\int$ nichts 
mehr mit Pr\"aparieren eines $T\!=\!0$--Anteils zu tun. 

Mit der Aufspaltung \eq{4.7} weichen wir hier bereits ein 
wenig von Arnold und Zhai's Vorgehen \cite{AZ} ab (dort wird 
z.B. einmal der Term $Q_0=0$ aus der Frequenzsumme abgespalten, 
hier nicht). Nichtsdestoweniger war der Umstand  
au\ss erordentlich hilfreich (z.B. bei IR--Gefahr--Erkennung), 
da\ss\ \cite{AZ}'s Basketball--Auswertung in Dim.Reg. bereits 
vorlag. Auch wird neidlos anerkannt, da\ss\ das, was die 
Br\"uder da an manchen Stellen ($I_{TT}$) machen, verdammt 
gut ist. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.5cm}
\subsection{Eine Perle in der S\"udsee : \ $w_T(Q^2)$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die S\"udsee ist ein W\"armebad bei Temperatur $T\,$.
Nach Blick auf \eq{2.35} und \eq{4.4} schreiben wir den 
Ausgangspunkt in der Form 
\be{4.8}
  w_T (Q^2) = \sum_P^{\rm ohne} \Vau_t\,\Vau_\tau \;
   {1\0 t + P^2}\; {1\0 \tau + (\vc P- \vc Q)^2 } \quad . \quad
\ee % 4.8
auf. Die generelle \glqq ohne\grqq\--Definition
$\sum_P^{\rm ohne} = \sum_P - \int_P$ ist nun ernst 
zu nehmen, denn der Summand h\"angt auch \"uber 
$Q_0 = \o^Q_n = 2\pi n^Q T\,$ von $T$ ab. Unter $\sum_P$
ist $P_0=\o_n$, aber unter $\int_P$ wird $P_0$ zur 
Integrationsvariablen, die wir $p_0$ nennen. 
% Ferner sei $\kappa \gll |\vc p - \vc q |\,$. 
Das gibt
\bea{4.9}
  w_T (Q^2) &=& {1\0 (2\pi)^3}\!\int \! d^3p \,\Vau_t\,\Vau_\tau \;
   \Bigg[ \; T\sum_n \;\, {1\0 t- (i\o_n)^2 + \vc p^2} \;\;
         {1\0 \tau - (i\o_n - i\o_n^Q )^2 +  \kappa^2} 
     \nonu \\ & & \hspace*{-3mm}
   - {1\0 2\pi} \int \! dp_0 \; {1\0 t + p_0^2 + \vc p^2} \;\;
         {1\0 \tau +  ( p_0 - \o_n^Q )^2 +  \kappa^2} \;\Bigg]
   \quad , \quad \kappa \gll |\vc p - \vc q |  \quad . \quad
\eea % 4.9
Im ersten Term der eckigen Klammer lesen wir das Produkt der
beiden Br\"uche als $F(i\o_n)$ und ziehen f\"ur die Summe 
\eq{G2} mit $\eta=1$ zu Rate\,:
\bea{4.10}
  \hbox{1. Term} &=& {-1 \0 2\pi i} \lk \grint dz\; F(z)\; n(z) 
  \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}} \quad , \hspace*{8mm}
  \unitlength 1cm
  \begin{picture}(4,.2)
  \put(0,.2){\circle{.6}} \put(.6,.1){$=$}  
  \put(1.6,.2){\oval(.6,.6)[l]} \put(1.6,-.1){\line(0,1){.6}}
  \put(1.9,.1){$+$}
  \put(2.5,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(2.5,-.1){\line(0,1){.6}}
  \put(.02,.48){\vector(-1,0){.1}}
  \put(1.6,.2){\vector(0,1){.1}}
  \put(2.5,.2){\vector(0,-1){.1}}
  \end{picture}  \nonu \\
  &=&  {-1 \0 2\pi i} \lk \int_{\;
        \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
         \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
           \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
         \end{picture}  }
         dz\; \Big( F(z)\; n(z) 
       - F(-z)\;n(-z) \Big) \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}}
        \nonu \\
  & & \hspace*{-17mm} =  \;\, {-1 \0 2\pi i} 
         \lk \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
         \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
           \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
         \end{picture}  }
         dz\; \Big( F(z) + F(-z) \Big) \; n(z) 
         \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}} \!\!\!\!
        - \, {1\02\pi i} \int_{\;
        \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
         \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
           \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
         \end{picture}  } dz\; F(-z) \;\; . \qquad
\eea % 4.10
Der Halbkreis im letzten Integral hat Null--Beitrag. Substitution 
$z=-ip_0$ l\"a\ss t dieses Integral zu ${1\02\pi} \int \! dp_0 \; 
F(ip_0)$ werden. Und nun sieht man, da\ss\ es den zweiten Term
in der eckigen Klammer von \eq{4.9} perfekt kompensiert. Aus
\eq{4.9} wird damit
\bea{4.11}
  w_T (Q^2) &=& {1\0 (2\pi)^3}\!\int \! d^3p \,\Vau_t\,\Vau_\tau \;
        {-1\02\pi i} \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
         \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
           \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
         \end{picture}  }
         dz\; n(z)_{{\rm ohne \; Pole}} \; \cdot \nonu \\
   & &  \cdot \;  {1\0 t+p^2 -z^2} \;
       \Bigg( \; {1\0 \tau + \kappa^2 - (z-i\o_n^Q)^2 } 
     \; + \; {\rm dito}_{\o_n^Q \to -\,\o_n^Q} \Bigg) \quad . \quad
\eea % 4.11
Was hier soeben in \eq{4.10} und \eq{4.11} passierte, hatte
nur wenig mit der konkreten Funktion $F(z)$ zu tun. Die 
Verallgemeinerung lautet
\be{4.12}
    \sum_P^{\rm ohne} f(P_0,\vc p ) \, = 
      \int \! {d^3p\0(2\pi)^3} \;\({-1\02\pi i}\) 
     \lk \int_{\; \unitlength .8cm 
    \begin{picture}(.3,.8)
     \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
       \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
     \end{picture}  }
     dz\; \Big( F(z) + F(-z) \Big) \; n(z) 
     \rki_{{\rm ohne} \; n-{\rm Pole}}^{\lower 1mm\hbox{\small
       $F(z) = f(-iz,\vc p)$}} \hspace*{-12mm} . \;\;
\ee % 4.12

Die $z$--Integration in \eq{4.11} erledigt nun der
Residuensatz. Per $\vc p \to \vc q - \vc p$ unter $\int \! d^3p$ 
kann in einzelnen Termen des Resultates $p$ in $\kappa$ (und 
zugleich $\kappa$ in $p$) verwandelt werden. Ebenso sind $t$ 
und $\tau$ austauschbar. Ferner ist $n(i\o_n^Q + \ldots ) = 
n(\ldots )\,$. Und schlie\ss lich hat man
\bea{4.13}
   w_T (Q^2) \!\!&=&\!\! {1\0 (2\pi)^3}\!\int \!\! d^3p 
   \;\Vau_t\,\Vau_\tau \;  \Bigg( {n( \wu{\tau+p^2} ) \0 
     \wu{\tau+p^2} }\; {1\0 t + \kappa^2 
     - (\wu{\tau+p^2} -i\o_n^Q )^2 } \; + \; 
   {\rm dito}_{\o_n^Q \to -\,\o_n^Q} \Bigg) \nonu \\[3mm]
   \!\!&=&\!\! 
   {1\0 (2\pi)^3}\!\int \! d^3p \; {n(p)\0p} \;\Vau_t\: \Bigg(
     {1\0 t + q^2 - 2\vc p \vc q - (i\o_n^Q)^2 +2p\, i \o_n^Q }
     \; + \; {\rm dito}_{\hbox{$\ldots$} } \Bigg) \quad . \quad
\eea  % 4.13
auf dem Papier. Die zweite Zeile entsteht, weil bei Anwenden
von $\Vau_\tau$ \"uber zweiten und dritten Term von \eq{2.34} 
Regulatoren in das Argument der Bose--Funktion gelangen und
dadurch vernachl\"assigbar nur $\cl O(e^{-\b \L})$ beitragen\,:
$\Vau_\tau$ anzuwenden hei\ss t hier also $\tau=0$ zu setzen.

Die in $\int\! d^3p$ enthaltene Winkelintegration 
wird Logarithmen geben. Aber eine gescheite 
Integraldarstellung w\"are uns lieber. Wir substituieren 
$-2\vc p \vc q = 2pqu\,$, k\"urzen den Rest im obigen 
Nenner mit $x$ ab und nutzen
\bea{4.14}
  2pq \int_{-1}^1 \! du \; f(2pqu + x) &=& 
  \int_{-2pq}^{2pq} \!\! du \; f(u+x) \; = \; 
  \( \int_{-2pq}^\infty - \int_{2pq}^\infty \) du\, 
  f(x+u) \hspace{1.7cm} \nonu \\ 
         & & \hspace{-5cm} \; = \; 
  \int_0^\infty\! du \; \big[ f(u+x-2pq)
      - f(u+x+2pq) \big] \; = \; \cl A_q \,
      \int_0^\infty \! du \; f(u+x-2pq) \quad ,
\eea % 4.14
aus, wobei der Operator $\cl A_q$ bez\"uglich $q$
antisymmetrisiert$\,$:
\bea{4.15}
   \cl A_q \; f(q) \; &\gll& \; f(q)\; -\; f(-q) 
       \quad , \\
   \cl A_q \;\cl A_p\; f(q,p) &=& f(q,p) - f(-q,p)
   - f(q,-p) + f(-q,-p) \quad . \nonu
\eea % 4.15
Die beiden Integrale bis $\infty$ in der ersten Zeile
von \eq{4.14} m\"ussen separat existieren (sonst 
w\"are der Schritt zur dritten verboten). Im 
vorliegenden Falle sichert dies der Villars--Operator
$\Vau_t$ ab. Mit \eq{4.14}, \eq{4.15} nimmt $w_T$ 
die Form
\be{4.16}
  w_T(Q^2) =  
  {1\0 8 \pi^2\, q } \int_0^\infty \! dp \; n(p) \;
  \;\cl A_q \,\cl A_p \int_0^\infty \! du \;\Vau_t 
  \; {1\0 u + t - (i \o_n^Q - p )^2 + (p-q)^2 } 
  \quad 
\ee % 4.16
an. Nicht klagen bitte$\,$: das ist einfach. Man ahnt
nun recht gut, wie $w_T$ bei gro\ss em Argument $Q^2$
faktorisieren wird. Dann m\"ochten n\"amlich die \glqq
festgehaltenen\grqq\ $p$'s im Nenner entfallen. Aber 
Vorsicht, es ist $\cl A_p\, 1 = 0\,$, so da\ss\ zuvor 
$\cl A_p$ anzuwenden und auf Hauptnenner zu bringen ist.
Letzterer erlaubt $p\to 0$, aber der Z\"ahler ist 
$\sim p\,$. Wird auch noch $\cl A_q$ angewendet und 
das $u$--Integral ausgef\"uhrt, so entsteht 
schlie\ss lich
\be{4.17}
  w_T (Q^2) \; \to \; w_T^{\rm as} (Q^2) \qquad {\rm mit} 
  \qquad  w_T^{\rm as} (Q^2) \; = \; {\, T^2\0 6}\; G_0 (Q^2)
  \;\; .\quad
\ee % 4.17

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.5cm}
\subsection{\boldmath$\dis I_{TT} = \sum_Q \, w_T \, w_T$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der \"Ubersicht halber und, um rasch zum Ball--Resultat
zu gelangen, bleiben die folgenden drei Abschnitte von
Detailrechnungen verschont. Die teils anstrengende
Integrierarbeit ist in den Anh\"angen D, E und F expliziert. 
Hier findet sich, was die \"Uberschriften versprechen, 
jeweils alsbald weiter unten eingerahmt. 
\be{4.18}
  I_{TT} = I^{^{\int}}_{TT} + I^{^{\rm ohne}}_{TT}
  \;\; , \;\; 
  I^{^{\int}}_{TT} = \eu_Q w_T w_T \quad , \quad
  I^{^{\rm ohne}}_{TT} = \sum_Q^{\rm ohne} w_T w_T \quad .
\ee % 4.18
Der erste Anteil enth\"alt die Pauli--Villars--Regulatoren
und divergiert mit diesen logarithmisch. \eq{D23}\,:
\be{4.19}
  I^{^{\int}}_{TT} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2\;
  \lk\; 4\; {\rm LN} - 8 \;\ln(4\pi T)\, + 8\, z_3 + 
  {76\0 15} \rk  \quad {\rm mit} \quad    
  z_3 \; \gll \; {\zeta^\prime (-3) \0 \zeta (-3)} \;\; , \quad 
\ee % 4.19
Bez\"uglich \glqq LN\grqq\ sei an \eq{2.45} und 
\eq{2.46} erinnert. 

Wie bei Arnold-Zhai \cite{AZ} braucht der Anteil 
$I^{^{\rm ohne}}_{TT}$ keine Regulatorterme. Bei seiner 
Auswertung gehen wir im Anhang D eigene Wege (u.a. ohne den 
$Q_0\!=\!0$--Terms aus Frequenzsumme abzuspalten). Das 
Resultat ist nat\"urlich mit jenem in \cite{AZ} identisch.
\eq{D56}\,:
\be{4.20}
  I^{^{\rm ohne}}_{TT} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2
  \; \lk\; 24\, z_1 - 24\, z_3 - {168\0 15} \;\rk 
  \qquad {\rm mit} \qquad  
  z_1 \; \gll \; {\zeta^\prime (-1) \0 \zeta (-1)} \;\; . \quad 
\ee % 4.20
Resultat :
\be{4.21}
  \parbox{14cm}{\hspace*{1cm} 
  \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{1.5cm}
  \hbox{$\dis 
   I_{TT} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \; \lk
      4\; {\rm LN} - 8\;\ln(4\pi T)\, + 24\, z_1 - 16\, z_3
      - {92\0 15} \;\rk \quad
  $}}\quad .} 
\ee % 4.21

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.5cm}
\subsection{\boldmath$\dis I_{0T} = 2\,\sum_Q \, w_0 \, w_T$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\be{4.22}
  I_{0T} = I^{^{\int}}_{0T} + I^{^{\rm ohne}}_{0T}
  \quad , \quad
  I^{^{\int}}_{0T} = 2\, \eu_Q w_0 w_T
  \quad , \quad
  I^{^{\rm ohne}}_{0T} = 2\,\sum_Q^{\rm ohne} w_0 w_T 
  \quad .
\ee % 4.22
W\"ahrend sich hierin $I^{^{\rm ohne}}_{0T}$ durchaus
anst\"andig verh\"alt, siehe \eq{4.26},
spaltet $I^{^{\int}}_{0T}$ auf in einen $T^4$--Term
(anst\"andig) und einen $\L^2 T^2$--Term, und dieser 
ist genau so unanst\"andig wie der in \eq{3.36} subtrahierte 
${T^2\0 3} \chi (0)$--Term. Was treiben die beiden 
miteinander$\,$? \,{\sl cancellation}\,! \,Dieses Detail ist
erstaunlich einfach einzusehen, n\"amlich indem man 
bez\"uglich $\L \to \infty$ den asymptotisch f\"uhrenden
Anteil von $I^{^{\int}}_{0T}$ pr\"apariert. Dazu skalieren
wir per $Q\to \L Q$ und blicken auf $I^{^{\int}}_{0T}
= 2\,\L^4 \int_Q \! w_0(\L^2 Q^2 ) \,w_T (\L^2 Q^2)\,$.
Im relevanten $Q^2$--Bereich ist hierin nach \eq{2.50}  
$w_0(\L^2Q^2)=\cl O(1)\,$, w\"ahrend gem\"a\ss\ \eq{4.17} 
$w_T(\L^2Q^2)$ asymptotisch das gew\"unschte $1/\L^2$ 
vorzeigt. Es ist also 
\be{4.23}
  I^{^{\int\;,\;\L^2{\rm Term}}}_{0T} = 2 \!\int_Q \!
    w_0(Q^2) \,w_T^{\rm as} (Q^2) =   
   2 \!\int_Q w_0 (Q^2) \, {T^2\0 6} G_0 (Q^2)
   \; = \; {T^2 \0 3} \, \chi (0) \;\; , \quad
\ee % 4.23
wobei wir zur Identifizierung ganz rechts lediglich 
\eq{2.26} bei $\vc Q=0$ angesehen haben. 

Es zeigt sich, da\ss\ keiner der anderen $I$--Anteile 
einen $\L^2$--Term hat. In \eq{3.36} geh\"oren also die 
folgenden beiden zusammen\,:
\be{4.24}
   I^{^{\int}}_{0T} - {\, T^2\0 3} \chi (0)
    \; = \; 2 \eu_Q w_0 (Q^2) \,\lk w_T (Q^2) - w_T^{\rm as} 
            (Q^2) \rk \,\glr \;\D^{^{\int}} \quad . \quad
\ee % 4.24
Die Auswertung von $\D^{^{\int}}$ f\"uhrt im Anhang E auf
\be{4.25}
   I^{^{\int}}_{0T} - {\, T^2\0 3} \chi(0)
     = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \;
  \lk\; - {12\0 5}\; {\rm LN} + {24\0 5}\;\ln(4\pi T)\,
    - {24\0 5}\, z_3  - {18\0 5} \;\rk \;\; . \quad
\ee % 4.25
F\"ur den \glqq anst\"andigen\grqq\ Anteil $I^{^{\rm ohne}}_{0T}$
wird im Anhang E
\be{4.26}
  I^{^{\rm ohne}}_{0T} = \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2
  \; \lk\; 4\; {\rm LN} - 8\;\ln(4\pi T)\, + 8\, z_3
  + {136\0 15} \;\rk \quad ,
\ee % 4.26
erhalten, s.~\eq{E14}. Zusammen mit \eq{4.25} kommen wir an 
beim Resultat
\be{4.27}
  \parbox{14cm}{ 
  \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{1.5cm}
  \hbox{$\dis 
   {I_{0T}} - {\, T^2 \0 3} \chi (0) \; = \;
   \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \;
  \lk\; {8\0 5}\; {\rm LN} - {16\0 5}\;\ln(4\pi T)\,
  + {16\0 5}\, z_3 + {82\0 15} \;\rk  \quad
  $}}\quad .}
\ee % 4.27

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.5cm}
\subsection{\boldmath$\dis I_{00} = \sum_Q \, w_0 \, w_0$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\be{4.28}
  I_{00} = I^{^{\int}}_{00} + I^{^{\rm ohne}}_{00}
  \quad , \quad
  I^{^{\int}}_{00} = \eu_Q w_0 w_0 \quad , \quad
  I^{^{\rm ohne}}_{00} = \sum_Q^{\rm ohne} w_0 w_0 \quad .
\ee % 4.28
Wie schon einmal erw\"ahnt, enth\"alt der Anteil
$I^{^{\int}}_{00}$ keine Temperatur mehr. Er entf\"allt 
also (siehe Kommentare vor \eq{3.9}). Wie der 
verbleibende Beitrag aussieht, zeigt
\be{4.29}
  \parbox{14cm}{ 
  \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{1.5cm}
  \hbox{$\dis 
  I_{00} = \;\(\lower 4pt\vbox{
                 \hbox{\scriptsize Temperatur--}
                 \vspace{-.2cm}
                 \hbox{\scriptsize unabh\"angiges}}\)
   \; + \; \({1\04\pi}\, {\, T^2\0 12}\)^2 \;
   \lk\; {2\0 5}\; {\rm LN} - {4\0 5}\;\ln(4\pi T)\,
   + {4\0 5}\, z_3  + {16\0 15} \;\rk \quad
  $}}\quad . }
\ee % 4.29


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.5cm}
\subsection{Ball--Resultat und Vergleich mit Dim.Reg.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die erste Erfreulichkeit, welche wir in den drei
eingerahmten Zwischenresultaten erkennen, ist der
Vorfaktor. Zusammen mit $g^4/48$ in \eq{3.36} gibt
er den Eimer--Faktor $\mho$, s.~\eq{3.36}. Aber wirklich 
spannend wird die Angelegenheit bei Erinnerung der anderen
Details des unter \eq{3.36} beschworenen
Wahrnehmungsrasters. Addieren wir also die drei
$I$--Beitr\"age mit Gem\"ut$\,$:
\bea{4.30}
  {g^4\0 49} \; 
  I_{TT} & = & \mho \; \lk
     4\; {\rm LN} - 8\;\ln(4\pi T)\, + 24\, z_1 - 16\, z_3
     - {92\0 15} \;\rk \quad , \quad \nonu \\
  {g^4\0 48} \; 
  \(\, I_{0T} - {\, T^2 \0 3} \chi (0) \,\) & = &
     \mho \;
     \lk\; {8\0 5}\; {\rm LN} - {16\0 5}\;\ln(4\pi T)\,
     + {16\0 5}\, z_3 + {82\0 15} \;\rk \quad , \quad  \nonu \\
  {g^4\0 48} \;
  I_{00} & = &  \mho \;
      \lk\; {2\0 5}\; {\rm LN} - {4\0 5}\;\ln(4\pi T)\,
     + {4\0 5}\, z_3  + {16\0 15} \;\rk 
       \quad , \quad  \nonu \\
         & & \hspace{-5.3cm} 
         \vrule depth 0pt height .3pt width 15.3cm
        \nonu \\[6pt]
  {g^4\0 48} \; 
  \(\, I_{\rm ball} \; - \; {T^3\0 3} \chi(0) \,\) 
  & = & \mho \; \lk\; 6 \; {\rm LN} - 12\;\ln(4\pi T)\, 
        + 24\, z_1 - 12\, z_3
        + {2\0 5} \;\rk \quad . \quad
\eea % 4.30
Die richtige Anzahl Divergenzenfresser ($6\, {\rm LN}$) 
ist ebenso herausgekommen, wie die richtige Anzahl von 
$\ln(4\pi T)$--Termen. Was braucht man (vorerst) mehr zum 
Gl\"uck. Mit \eq{3.36} und \eq{4.30} liegt das
Endresultat f\"ur den Druck jetzt nat\"urlich vor. Wir
geben ihm zu Beginn des n\"achsten Abschnitts einen
w\"urdigen Rahmen. 
 
Wie der Mensch ist, schielt er nun auf anderer Leute
Resultate. Andere Leute haben ausschlie\ss lich 
dimensional regularisiert. Folglich wissen sie nichts
von einem Term $\chi (0) \sim \L^2\,$. Ferner haben sie 
ihre Skala $\ov{\mu}$, welche $\ln (T)$ braucht, auf 
etwas andere Weise ins Spiel gebracht. Die Anzahlen ihrer
$1/\e$ Divergenzen sollten allerdings perfekt mit unseren
Anzahlen von LN's \"ubereinstimmen. Die Diskrepanzen
liegen im Endlichen. Last not least, erst in me\ss baren
physikalischen Gr\"o\ss en (d.h. Term f\"ur Term der 
asymptotischen Entwicklung f\"ur den Druck) haben sich
solche endlichen Diskrepanzen gef\"alligst (auf
wundersame Weise) in Nichts aufzul\"osen. Mal sehen.

Die Basketball--Resultate finden sich bei \cite{AZ} in den 
Gleichungen (2.35), (D.20), (D.21) und (2.36), wobei 
(D.20) zum Vergleich einen Faktor 2 braucht$\,$:
\bea{4.31}
  {g^4\0 48} \; 
  I^{^{\rm dim.reg.}}_{TT} & = & \mho \; \lk
     4\; {1\0 \e} + 24\, {\bf L} + 40\, z_1 - 16\, z_3
     + {268\0 15} \;\rk   \nonu \\
  {g^4\0 48} \; 
  I^{^{\rm dim.reg.}}_{0T} & = &  \mho \;
     \lk\; {8\0 5}\; {1\0 \e} + {48\0 5}\, {\bf L}
     + 8\, z_1 + {8\0 5}\, z_3 + {206\0 15} \;\rk
     \quad \nonu \\
  {g^4\0 48} \; 
  I^{^{\rm dim.reg.}}_{00} & = &  \mho \;
      \lk\; {2\0 5}\; {1\0 \e} + {12\0 5}\, {\bf L}
     + {12\0 5}\, z_3  + {72\0 15} \;\rk 
       \hspace{1.2cm} , \quad 
       {\bf L} \gll \ln \( {\ov{\mu} \0 4\pi T} \) 
       \nonu \\ & & \hspace{-3cm} 
       \vrule depth 0pt height .3pt width 14.8cm
       \nonu \\[6pt]
  {g^4\0 48} \; 
  I^{^{\rm dim.reg.}}_{\rm ball} & = & \mho \;
      \lk\; 6 \; {1\0 \e} + 36\, {\bf L} + 48\, z_1
      - 12\, z_3 + {182\0 5} \;\rk \quad , \quad
\eea % 4.31
Es steht bestens um die Anzahlen von ${1\0\e}$'s \ --- \ 
wie erforderlich sogar termweise. Aber ansonsten sehen 
wir uns einer Zahlenmystik ausgeliefert. 

Besonders beunruhigen k\"onnte der Unterschied 
36$\neq$12 in den Logarithmen von $4\pi T\,$. Tats\"achlich 
(private Historie) lag im PV--Fall zuerst \eq{4.30} vor,
noch bevor klar wurde, da\ss\ dies \ a u c h \ stimmt. 
Aus dieser Historie stammt die ph\"anomenologische 
Gleichung \hbox{\glqq LN}$ - 2\,\ln(4\pi T) \; \gdw \; 
{1\0\e} + 6\,{\bf L} + 4 \, z_1 + 6\;$\hbox{\grqq }$\!$,
welche \eq{4.31} in \eq{4.30} \"ubersetzt, Dim.Reg.
in PV also. Sie \"ubersetzt auch separat $I_{TT}$,
\eq{4.21}, in Arnodl-Zhai's (2.35). Diese \glqq Regel\grqq\ 
hat m\"oglicherweise keinen tieferen Sinn, es sei denn man 
kriecht (was wir hier nicht tun wollen) in technische 
Details hinein, um die Entstehung des Unterschieds 
zwischen den beiden Regularisierungen genauer zu 
begreifen. Grob$\,$: Dim.Reg. hat Bose--Funktion kaputt 
gemacht.

Zur Dimensionalen Regularisierung ist das zugeh\"orige
\glqq Wahrnehmungsraster\grqq\ nachzutragen. Arnold-Zhai's $b$
hatten wir schon in \eq{3.27} zum Vergleich angesehen.
F\"ur das dortige Subjekt $\iota_\e$ haben wir inzwischen 
die geeignete Notation beieinander$\,$: 
$\iota_\e = 2 {\bf L} + 2\, z_1 + 2\,$. Die Terme bis
mit $g^3$ stimmen mit jenen in \eq{3.34} \"uberein. Und 
das \"Aquivalent von \eq{3.36} lautet$\,$:
\be{4.32}
  p_4^{\rm dim.reg.} = \mho \, \lk - 6 {1\0\e} - 18\, {\bf L}
   - 24\, z_1 + 6\,\g - 60 \rk + {g^4\0 48}\, 
  I_{\rm ball} \quad .
\ee % 4.32
Es hat nat\"urlich die richtige ${1\0\e}$--Anzahl, zum
Gefressen--Werden durch \eq{4.31}. {\bf L} ist bereits
inclusive Skala $\ov{\mu}$ definiert. Woher $z_1$ ? \ --- \
ausschlie\ss lich \"uber das Subjekt $\iota_\e$, und
dieses vom Bose--Kaputtmachen. Bose in $I_{\rm ball}$
kaputt und \glqq entsprechend kaputt\grqq\ in den anderen
Termen. \"Ubrigens bleibt $\iota_\e$ ausschlie\ss lich
via ${1\0\e} \( 1 + \e \iota_\e \)$ am Leben. Die oben
im Text genannte \glqq Regel\grqq\ ist f\"ur das
Gesamtresultat nun falsch.

Wenn denn also \ --- \ wie sich gleich zeigt \ --- \
der Druck zu beiden Einbettungsarten gar schlicht der 
selbe ist, dann sollte (wird) sich ein Zusammenhang 
zwischen Skala $M$ und Subjekt Nummer zwei, $\ov{\mu}$,
dingfest machen lassen. Man blicke ruhig nach unten 
auf \eq{5.3}. Selbstverst\"andlich kann die
$M$--$\ov{\mu}$--Beziehung auch dadurch erhalten werden, 
da\ss\ man mit dimensional gerechneten
$T\!=\!0$--Gr\"o\ss en die Renormierungsbedingungen
\eq{2.11}--\eq{2.13} bedient. Der Test wurde 
durchgef\"uhrt, \eq{5.3} stimmt.

%%% 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{5.\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.6cm}
\section{Unabh\"angigkeit vom Renormierungspunkt $M$}

Das Endresultat f\"ur den Druck, gerechnet in
Pauli--Villars--Regularisierung bis mit $g^4$, war 
im vorigen Abschnitt mit \eq{4.30} bereits erreicht.
Lediglich der letzte Schritt fehlte, n\"amlich die 
Druck--Gleichung \eq{3.36} mit $I_{\rm ball}$ auch 
wirklich zu best\"ucken. Eine gewisse Feierlichkeit 
ist jetzt angezeigt$\,$:
\bea{5.1}
  \parbox{14.3cm}{  
  \fbox{\quad\rule[-.6cm]{0pt}{2.7cm} \vbox{ 
  \hbox{ \ $\ \dis
     p \; = \; {\pi^2T^4\0 90} \; - \; {g^2\0 8} 
     \({T^2\012}\)^2 \; + \; {m^3 T \0 12\pi}$}     
    \vspace{.2cm}
  \hbox{ \ $\dis \qquad
     + \; \mho \, \lk \; 18\;\ln \( {M \0 4\pi T}\) 
     \; - \; 18 \; + \; 6\,\g \; + \; 24\, z_1 \; 
     - \; 12 z_3 \; - \; {118\0 5} \;\rk 
     \qquad $}}}\quad .}
\eea % 5.1

In der Einleitung war das schwere Leben von 
Me\ss gr\"o\ss en beschrieben worden. Zweites und drittes
Erfordernis (Unabh\"angigkeit von cutoffs und von
endlichen Details der Einbettung) sind bereits erf\"ullt.
Der Druck darf auch nicht (erstes Erfordernis) bei PV
oder Dim.Reg. verschieden herauskommen. Also stellen wir
\eq{5.1} Arnold und Zhai's Resultat gegen\"uber. Es
folgt per Einsetzen von \eq{4.31} in \eq{4.32}$\,$:
\bea{5.2}
  p^{\rm dim.reg.} \; &=& \; {\pi^2T^4\0 90} \;
        - \; {g^2\0 8} \({T^2\012}\)^2 
        + {m^3 T \0 12\pi } \; + \; \nonu \\
    & & {} + \; \mho \, \lk \; 18\, 
         \ln \( {\ov{\mu} \0 4\pi T}\)
       + 6\,\g + 24\, z_1 - 12 z_3 - {118\0 5} \;\rk 
   \;\;\; .
\eea  % 5.2
Genau hinsehen, bitte. In \eq{5.1} scheint eine
$- 18$ \"uberz\"ahlig zu sein. Und \eq{5.2} hat
im Logarithmus einen anderen Skalenparameter stehen. 
Die \"Ubereinstimmung wird also perfekt, wenn man 
identifiziert
\be{5.3}
    M \; = \; \ov{\mu} \; \cdot \; e \qquad.
\ee % 5.3
Und das wars dann, siehe Komentar am Ende des vorigen 
Abschnitts. Der Druck ist unabh\"angig von der Art der 
Einbettung bei Durchf\"uhrung der Feldtheorie. Ein wenig 
darf allerdings erstaunen, da\ss\  mit all ihren 
M\"angeln (siehe \S~1) sogar auch die Dim.Reg. etwas 
Richtiges geliefert hat. Mit \eq{5.1} ist im \"ubrigen
klar, da\ss\ auch bei Pauli-Villars Euler--Konstante und
logarithmische Zetafunktions--Ableitungen im Endresultat 
stehen bleiben (in irgendeinem Lehrbuch stand 
Gegenteiliges zu lesen) und nicht etwa nur 
Dim.Reg.--Kunstprodukte sind.

Die \"Uberschrift dieses Abschnitts verweist nat\"urlich 
auf das vierte Erfordernis. Der Druck $p$ (Term f\"ur
Term seiner asymptotischen Entwicklung) darf auch nicht 
von der Skala $M$ abh\"angen, an welcher in \S~2.3 \glqq 
die Theorie definiert\grqq\ wurde. Im Resultat \eq{5.1}
erscheint dieser Parameter $M$ explizit (\glqq welches 
$M$ ??!\grqq$\!$) \ --- \ aber auch die Kopplung $g$
h\"angt von ihrer \glqq Definition\grqq\ bei $M$ ab.
Gr\"o\ss en, welche vom \glqq Theorie--Definieren\grqq\
noch \  n i c h t s \ wissen, fanden sich zuletzt
in \S~2.1$\,$. $g_{\rm ur}^2$ wu\ss te nichts. Die
interessante dritte Gleichung in \eq{2.8} lautet
mit \eq{2.33}
\be{5.4}
  g_{\rm ur}^2 \; = \; 
  {Z_g \0 Z_\phi^2}\; g^2  \; = \; 
 { 1 + {3\, g^2 \0 32 \pi^2} \, \bigg( {\rm LN} - 
     \ln (M^2) \bigg) \; + \; \cl O (g^4) \; \0
     1 \; + \; \cl O(g^4) } \; g^2(M) \quad . 
\ee % 5.4
Nun ist hierin $g_{\rm ur}$ unbekannt, wiewohl
$M$--unabh\"angig. Und das gen\"ugt. Wir wollen ja nur 
sehen, da\ss\ jedes \ U m s t e i g e n \ von der 
einen $g$--Definition (bei $M$) zu einer anderen 
(bei $M^\prime$) keinen Einflu\ss\ auf 
Me\ss gr\"o\ss en hat. Die $M$--Unabh\"angigkeit 
von $g_{\rm ur}$ ist also als
\be{5.5}
  { 1 + {3\, g^2(M) \0 32 \pi^2} \, 
   \bigg( {\rm LN} - \,\ln (M^2) \bigg)  \0
     1 \; + \; \cl O(g^4) } \,\; g^2(M) 
        \;\;\; \ueb{!}{=} \;\;\; 
  { 1 + {3\, g^2(M^\prime ) \0 32 \pi^2} \, 
   \bigg( {\rm LN} - \,\ln ( M^{\prime\, 2} )\bigg)
   \0 1 \; + \; \cl O(g^4) } \,\; g^2(M^\prime )  \quad .
\ee % 5.5
zu formulieren. \eq{5.5} l\"a\ss t sich bequem 
aufl\"osen nach 
\be{5.6}
  g^2 (M^\prime ) \; = g^2 (M) + {3 \0 32 \pi^2} \; 
  g^4 (M) \;\ln \( { M^{\prime \,2} \0 M^2} \) \; 
  + \; \cl O \( g^6 (M) \)  \quad ,
\ee % 5.6
wobei sich (wie erhofft) die LN--Riesigkeiten 
davongestohlen haben (in $\cl O(g^6)$ verfl\"uchtigt). 
Letzteres geschah im Iterationssinne per
\bean
  g^4 - g^{\prime\; 4} &=& \( g^2 - g^{\prime\; 2} \)\; 
  \(g^2 + g^{\prime\; 2} \) \; = \; \cl O(g^6) 
  \qquad , \quad \mbox{aber} \quad \nonu \\
  g^4 \ell - g^{\prime\; 4} \ell^\prime &=&
    {g^4 + g^{\prime\; 4}\0 2} \(\ell - \ell^\prime \) 
    \; + \; {g^4 - g^{\prime\; 4}\0 2} \(\ell + \ell^\prime \) 
    \; = \;  g^4 \( \ell - \ell^\prime \) \; + \; \cl O(g^6) 
   \quad .  \nonu
\eea 
mit $\ell=\ln(M^2)$, $\ell'=\ln(M'^2)\,$. Die Aufl\"osung von 
\eq{5.6} nach $g^2(M)$ gibt nat\"urlich erneut \eq{5.6}, 
aber zu $M \gdw M^\prime\,$. Und in $g^4$ ist das 
$M$--Argument irrelevant. 

Irgendwelche Leute aus Thailand werfen nun ein paper 
auf den Markt (zum Druck des $\phi^4$--Systems), 
welches von einer ganz anderen Theorie--Definition 
ausgeht. Sie haben n\"amlich die Bedingungen 
(2.11--13) mit einem Parameter $M^\prime$ best\"uckt. 
Da die Leute rechnen k\"onnen, sind sie bei \glqq 
fast\grqq\ \eq{5.1} angekommen. Die beiden relevanten 
Terme von \eq{5.1} lauten bei ihnen n\"amlich \\[-5mm]
\be{5.7} \hspace*{2cm}
   - \; {g^2 (M^\prime ) \0 8} \({T^2\012}\)^2 
  \; + \; 9 \;\mho \;\ln \( M^{\prime\; 2}\) 
  \quad . 
\ee % 5.7
Der dritte Term $\sim m^3$ ist bereits uninteressant, 
weil er unter \eq{5.6} wegen 
$$ g^3 \; = \; \lk g^2 + \cl O(g^4) \rki^{3/2} \; = \;
   g^3 \big( 1 + \cl O(g^2) \big) \; = \; g^3 + \cl O(g^5) $$ 
bis mit $g^4$ keine \"Anderung produziert. Um nun mit 
\glqq unserer\grqq\ Druckformel \eq{5.1} zu vergleichen, 
rechnen wir \eq{5.7} mittels \eq{5.6} auf 
$M$--Abh\"angigkeit um. Dabei kommt der Eimer-Faktor 
per ${1\08} \({T^2\0 12}\)^2 {3\0 32\pi^2}\; g^4 = 
9\,\mho$ ins Spiel. Resultat
\be{5.8}
  \mbox{(5.7)} \; = \;  - \, {g^2(M) \0 8} 
    \( {T^2 \0 12} \)^2  + \, 9 \;\mho\,
   \lk - \,\ln (M^{\prime\; 2}) + \,\ln (M^2) \rk \;
   + \, 9 \;\mho\,\;\ln (M^{\prime\; 2})  \quad .
\ee % 5.8
Ist es \"uberdeutlich zu erkennen ?! \eq{5.7} 
(zuz\"uglich der unver\"anderten Terme) \ i s t \ 
\eq{5.1} ! \ An welcher Stelle $M$ auch immer man seine 
Theorie definiert, man erh\"alt das \ 
\hbox{g l e i c  h e} \ Resultat. Das ist sch\"on$\,$: 
\qquad \lower 1.6mm\hbox{{\lsl Feldtheorie funktioniert\,.}} 
\\[2.2mm]
Die im \S~2.3 noch etwas willk\"urliche erscheinende
Prozedur bekommt ihren vollen Sinn. 

Umsteigen von einer Skala der Theorie--Definition zu 
einer anderen ist Gegenstand der Renormierungsgruppe.
Der Anhang \glqq gruppe\grqq\ klingt irgendwie arg
hochtrabend. Selbst\-ver\-st\"andlich kann man mehrere
solche Umsteigereien hintereinander ausf\"uhren, 
ebenso wie Drehungen oder Lorentz--Transformationen.

F\"ur die Experten scheint Obiges zu den 
Trivialit\"aten zu geh\"oren. Jedenfalls meinen Arnold 
und Zhai in ihren Schlu\ss kommentaren nicht mehr dieses 
sch\"one Tats\"achlich--Funktionieren von Feldtheorie. 
Sie spielen vielmehr nur herum mit Fragen, wie gut 
etwa Einzelterme der asymptotischen Entwicklung bereits
zu wie--guten numerischen Resultaten f\"uhren. Aber das 
interessiert die wahren Theoretiker in Hannover 
eigentlich kaum noch.  

Eine restliche Frage k\"onnte offen geblieben sein.
Irgendwer mu\ss\ irgendwie einmal aus Experiment auf
\ e i n \ $g^2(M)$ geschlossen haben, mit Zahlenwert und
unter Angabe von $M$. Wie mag das zu tun sein\,? \,In
\eq{2.13} (der dritten Bedingung) waren Quadrate von
Summen Euklidischer Impulse auf $M^2 \; >\; 0\,$ gesetzt
wurden. Bei realen masselosen Teilchen (on shell) w\"are
hingegen $ (Q_1^{\rm eu} + Q_2^{\rm eu})^2 = (\vc q_1
+ \vc q_2)^2 - (E_1+E_2)^2 = (\vc q_1 + \vc q_2)^2
- (q_1 +q_2)^2 = 2\vc q_1 \vc q_2 - 2q_1q_2 \le 0\,$.
\,\glqq {\sl on shell (but unphysical)}\grqq\ steht bei
Itzykson und Zuber \cite{IZ} vor Gleichung (8-35), und diese 
ist \eq{2.13}. Die Antwort\footnote{ \ Dankenswerterweise
hat Prof. N. Dragon mit der Antwort ausgeholfen.} f\"allt
umwerfend einfach aus$\,$: Man gebe sich einen Wert $M$
vor, woraufhin die counters \eq{2.33} als Funktionen von
$g^2$ festliegen. Nun rechne man mit Lagrangian \eq{2.10}
eine geeignete Me\ss gr\"o\ss e aus und entnehme $g^2$
aus Vergleich mit Experiment. Dies \ i s t \ $g^2(M)$.
Punkt.

%%% 6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{6.\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.6cm}
\section{Callan--Symanzik}

Die \"Uberschrift \cite{CS} f\"uhrt in eine Materie voller
Eigenartigkeiten und voller Wortgeklingel. Wir n\"ahern 
uns mit gro\ss er Skepsis. Was man zu einer Physik per 
St\"orungsrechnung in Erfahrung bringen kann, d\"urfte
in den vorangegangenen Abschnitten bereits stehen. Was
denn noch$\,$??! Die Koeffizienten in der 
Callan--Symanzik--Gleichung gewinnt man aus Bisherigem. 
Und bei L\"osen der CS--Gleichung, kommen Dinge
heraus, die wir schon kennen. Im Kreise herum$\,$?

Als erstes setzen wir $g^2 \glr \l$ (reine Notation), um 
besser mit Literatur vergleichen zu k\"onnen. Die 
Lagranian $\cl L$ (nichts wissend von Temperatur) ist 
\eq{2.10}, best\"uckt mit bekannten counterterms (nicht 
enthaltend die Temperatur). Den amputierten $n$--beinigen
Vertex nennen wir $\G^{(n)}$. Bei $T=0$ h\"angt $\G^{(n)}$
\ --- \ ausgewertet zu $\cl L$ bis zu einer bestimmten
Ordnung in $\l$ \ --- \  ab von einem Satz $\lb Q_i \rb$ 
einlaufender Impulse, von $M$ (via counters) und von $\l$
(bei $T\neq 0$ \"uberdies von $T$). $\G^{(n)}$ ist endlich 
($\gll$ nicht--riesig). Dieser $n$--st\"umpfige Klumpen
hat sein Gegenst\"uck $\G^{(n)}_{\rm ur}$ in der urigen 
Theorie. Letzteres ist riesig, unme\ss bar und 
unphysikalisch, aber eines hat es$\,$: Unkenntnis von 
$M$. Stattdessen enth\"alt es cutoffs $\L$. Vor 
Amputation hatte es keine $\wu {Z_{\phi}}$--Faktoren
aus den $n$ Beinen abbekommen. Bei $T=0$ gilt also
\be{6.1}
  \G^{(n)}_{\rm ur} \( \lb Q_i \rb ,\L ,\l_{\rm ur}\)
  \; = \; Z_\phi^{-n/2} \( \L / M , \l \) \; \cdot    
   \G^{(n)} \( \lb Q_i \rb , M , \l \) \quad .
\ee % 6.1
OK, das ist vielleicht recht schlau. $Z_\phi$ ist
dimensionslos, weshalb die Abh\"angigkeit von $\L$ 
und $M$ als Verh\"altnis geschrieben werden durfte.
Nat\"urlich l\"auft der Index $i$ von 1 bis $n$.
Gibt es mehrere cutoffs, so stehe $\L$ f\"ur den
Satz derselben.

Vielleicht ist eine R\"uckerinnerung angezeigt, wie wir 
in den Abschnitten 2 (Counters) und 3 (Druck) gearbeitet 
hatten. Zun\"achst erscheinen die Einbettungsparameter 
$\G$, $\L$ an allen Ecken und Enden. Viel von diesen 
Abh\"angigkeiten wurde dann im 
Limes--Vorwegausf\"uhrungs--Sinne unterdr\"uckt. Nur
Divergieren--Wollendes war zu pr\"aparieren (in den
$Z$'s) beziehungsweise zu kompensieren im Druck. Statt 
Druck stehen in \eq{6.1} die ebenfalls 
endlich--zu--bleiben--habenden $\G^{(n)}\,$. 
Enth\"alt eine Gr\"o\ss e keine $\L$'s mehr 
(Druck, $\G^{(n)}\,$, CS--Gleichung \eq{6.5}), so ist
der Limes \ a u s g e f \"u h r t.

In \eq{6.1} haben wir zun\"achst an $n \ge 4$ 
Bein--St\"umpfe gedacht. Die Frage, was denn $\G^{(2)}$ 
zu sein habe, \ d a m i t \  \eq{6.1} auch zu $n=2$ gilt, 
ist durchaus etwas nervig und f\"uhrt in \S~2.1 
zur\"uck$\,$: \eq{2.2} $=$ \eq{2.7}. Bei Abschalten der 
Kopplung reduziert sich \eq{2.7} auf $G_0 = 1/\lk P^2 
(\;\; )\; (\;\; ) \rk$ (jetzt vorsichtshalber wieder mit 
den regulierenden Klammern). Mit Wieder--Einschalten der 
Kopplung nimmt einerseits $Z_\phi$ Terme auf. 
Unabh\"angig davon (!) generiert andererseits die 
St\"orungsrechnung an \eq{2.10} additive Zus\"atze 
im $G_0$--Nenner. Diese Zus\"atze bilden $\P$ (die 
Dyson--Gleichung lautet $G = G_0 - G_0 \P G$). Also 
haben wir zu setzen
\bea{6.2}
  G_{\rm ur} &=& {1 \0  m_{\rm ur}^2 + P^2 \( 1
      + {P^2\0\L^2}\) \( 1 + {P^2\0\G^2}\)
      + \P_{\rm ur} (P^2; \L ,\G , \l_{\rm ur} ) } 
         \nonu \\[4pt]
  & & \hspace{1.5cm} = \;\; { Z_\phi 
            \( \L / M , \G / M , \l \) \0
      P^2 \( 1 + {P^2\0\L^2}\) \( 1 + {P^2\0\G^2}\)
      + \P (P^2, M , \l ) } \; = \; Z_\phi \; G \quad ,
\eea % 6.2
Der Vergleich mit \eq{6.1} zu $n=2$ zeigt, da\ss\ die 
obigen beiden \ N e n n e r \ mit $\G^{(2)}_{\rm ur}$ bzw. 
$\G^{(2)}$ zu identifizieren sind. \"Ubrigens kennt man 
solche $\G^{(2)}$ auch als jene, die das 1PI--erzeugende 
Funktional produziert (aber wer wagte denn, vorweg zu 
behaupten, da\ss\ es die selben seien).  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.4cm}
\subsection{Herleitung der CS--Gleichung \ ($T=0$) }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der erste Schritt in Richtung Nutzen von \eq{6.1} ist 
ganz klar. Keine der Gr\"o\ss en auf der linken Seite 
von \eq{6.1} (auch $\l_{\rm ur}$ nicht) \glqq wei\ss\ 
von $M$\grqq . Was wir wissen ist, da\ss\ sich diese 
$M$--Unabh\"angigkeit auf der rechten Seite von \eq{6.1} 
erst dadurch ergibt, da\ss\ auch $\l$ mit $M$ variiert$
\,$: \glqq implizite \hbox{Abh\"angigkeit\grqq $\!$.} Um 
bei Differentiation nach $M$ links eine Null aufschreiben 
zu d\"urfen, mu\ss\ also die \hbox{\glqq totale} 
Ableitung\grqq\ $d_M$ genommen werden ($\gll$ jene, welche 
auch die $M$--Abh\"angigkeit von $\l$ \hbox{\glqq 
sieht\grqq\ $\!\,$)}\footnote{ $ $ Ein Dankesch\"on an 
      den Herrn Collins \cite{colli}, \S~7.3.1\,.
      Der CS--Paragraph 12.2 bei Peskin und Schroeder 
      \cite{PS} w\"are mittels $d_M$ viel klarer ausgefallen. }.
Es ist auch sicherlich gescheit, die Gleichung $0=d_M
$\eq{6.1} mit einem Faktor so zu multiplizieren, 
da\ss\ sich $f^{-\a} \6 f^\a = \a \6 \,\ln (f)$ 
ausnutzen l\"a\ss t$\,$:
\be{6.3}
  0 \, = \, Z_\phi^{n/2} \, M \, d_M \;\eq{6.1}
    \, = \, \lk \, M \6_M + \lb M d_M \l \rb \, 
   \6_\l - n \lb {1\02} M d_M\;\ln \( Z_\phi\)\rb
   \,\rk \G^{(n)} \quad .
\ee % 6.3
Die beiden geschwungenen Klammern bekommen nun
erst einmal ihre \"ublichen Namen,
\be{6.4}
   M d_M \l \;\; \glr \;\; \b (\l ) \;\;\quad , 
   \;\;\quad {1\02} M d_M\;\ln \( Z_\phi\) \;\; 
   \glr \;\; \g (\l) \quad ,
\ee % 6.4
und die CS--Gleichung ihre elegante Form
\be{6.5}
  \bigg[\; M \6_M \; + \; \b (\l) \,\6_\l \; - \; n 
  \g (\l ) \;\bigg] \;\G^{(n)} \;\; = \;\; 0 \quad .
\ee % 6.5
Vielleicht hat es keiner bemerkt \ --- \
wo hierbei geschummelt wurde$\,$: bei Verf\"ugen der 
nur--von--$\l$--Abh\"angigkeit der Koeffizienten in 
\eq{6.4}. Ein Problem bereitet $\b(\l)$ dann nicht, wenn 
man darauf vertraut, da\ss\ es in beliebig hohen Ordnungen 
ebenso zugeht wie in \eq{5.6}$\,$: $\l (M)$ enth\"alt 
keine cutoffs mehr, sondern neben $M$ nur noch endliche 
Parameter, welche f\"ur Dimensionslosigkeit sorgen. Dies 
ist letztlich das Resultat des Renormierbarkeits-proofs, 
siehe Literatur. Wenn die dimensionslose, endliche Funktion
$\l =\l (M)$ nach $M$ aufgel\"ost werden kann, dann 
k\"onnen wir die dimensionslose, endliche Bildung 
$M d_M \l$ als Funktion von $\l$ auffassen. Jetzt blicken 
wir auf die CS--Gleichung \eq{6.5}. Auch die L\"osung 
$\G^{(n)}$ ist mit obigem gut--geh--Argument endlich 
(niemand hatte protestiert, als rechts in \eq{6.1} kein 
Argument $\L$ mehr erschien). Aber nun gibt es in \eq{6.5}
bis auf $\g\,\G^{(n)}$ nur noch endliche Terme. Folglich 
gibt es kein $\L$ in $\g$, und ergo kann es nur von $\l$ 
abh\"angen. Punkt. Mit den Geschichten in \cite{PS} (Ende von 
\S~12.2) kann jetzt wer vielleicht etwas anfangen. 
Immerhin, $Z_\phi$ enth\"alt Riesigkeiten, aber $\g(\l)$ 
nicht mehr.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.4cm}
\subsection{F\"uhrende Terme der Koeffizienten }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Um $\b (\l)$ und $\g (\l)$ ein paar $\l$--Ordnungen weit
auszuwerten, greifen wir nat\"urlich (!) nach ihren
Definitionen \eq{6.4}\footnote{ $ $ Es 
    erstaunt ein wenig, da\ss\ in \cite{PS} 
    etwas anderes getan wird und da\ss\ dies tats\"achlich 
    \ a u c h \ geht. Peskin und
    Schroeder \cite{PS} schreiben erneut Diagramme der 2-- und 
    4--Beiner auf, lassen die CS--Operation \eq{6.5} auf sie los 
    und erhalten Gleichungen f\"ur $\b$ und $\g$. OK. 
    Vorteil$\,$: eine nicht--\glqq ur\grqq ige Methode, 
    Nachteil$\,$: erneute Diagrammatik.}.
Um $\b(\l)$ per $Md_M\l$ zu erhalten, wenden wir $Md_M$
auf \eq{5.4} an, d.h. auf $\l_{\rm ur} = \l Z_g /Z_\phi^2\,$.
Das gibt drei Terme,
\be{6.6}
  0 \;\; = \;\; \b \, {Z_g \0 Z_\phi^2} 
    \; + \; {\l \0 Z_\phi^2} \, M d_M Z_g 
    \; - \; 2\, {\l Z_g \0 Z_\phi^3} \, M d_M Z_\phi
    \quad ,
\ee % 6.6
und aus unserer $Z$--Kenntnis \eq{2.33} erg\"anzen wir
dies um
\bea{6.7}
  M d_M Z_g & = & Md_M \( {3 \, \l \0 32 \pi^2} 
        \lk {\rm LN} - 2\,\ln (M) \rk 
        \; + \; \cl O(\l^2 ) \) \nonu\\
    & = & {3 \, \b \0 32 \pi^2 } 
        \lk {\rm LN} - 2\,\ln (M) \rk
        \; - \; { 3 \, \l \0 16 \pi^2} 
        \; + \; \cl O (\l^2 )  \\[6pt] \label{6.8}
  M d_M Z_\phi & = & M d_M \, \cl O(\l^2) \; = \; \cl O(\l^2) 
\eea % 6.7 und 6.8
Ersichtlich kann $Md_M$--Operation die $\l$--Ordnung 
aufrechterhalten (if $\ln(M)$ behind), so da\ss\ wir 
in \eq{6.8} sehr kurz bleiben konnten. Wir wollten 
wissen, ob unser Informationsstand mehr als den 
f\"uhrenden $\b$--Term zu bestimmen erlaubt
$$ \bigg( \;\; 
        \mbox{\eq{6.7}, \eq{6.8} in \eq{6.6} gibt}
   \quad 0 = {\b\, Z_g\0 Z_\phi^2} 
      - { 3\,\l^2 \0 16\pi^2 Z_\phi^2}
      + { 3\,\b\,\l \0 32 \pi^2 Z_\phi^2} 
     \lk {\rm LN} - 2 \ln(M) \rk \; + \; \cl O(\l^3) 
     \;\; \bigg) \; , $$ 
aber die Antwort ist Nein$\,$:
\be{6.9} 
   \b(\l) \;\; = \;\; { 3 \0 16 \pi^2} \; \l^2 
   \;\; + \;\; \cl O(\l^3) \;\; = \;\;
   { 3 \0 16 \pi^2} \; g^4 
   \;\; + \;\; \cl O(g^6)  \quad .
\ee % 6.9

\eq{6.4} verkn\"upft $\g(\l) = {1\02} M d_M \ln (Z_\phi )$
direkt mit $Z_\phi$, \eq{2.33}, und wir wissen nun schon, 
wie sich die $\l$--Ordnung aufrecht erh\"alt$\,$:
\bea{6.10}
 \g(\l) &=& {1\0 2 Z_\phi} \, M d_M \, \( \; {1\03} 
      \({\l \0 32\pi^2}\)^2 \, \lk 
      \ln(M^2) - {\rm LN} - {1\02} + c_2 \rk \; 
      + \; \cl O(\l^3) \) \nonu \\
     &=& {1\03} \({\l \0 32 \pi^2}\)^2 \;\; + \;\; 
  \cl O (\l^3 ) \;\; = \;\; {1\03} \({g^2 \0 32 \pi^2}\)^2 
  \;\; + \;\; \cl O (g^6)  \quad .
\eea % 6.10 
$Z_\phi$ war riesig, $\g(\l)$ ist es nicht mehr.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.4cm}
\subsection{L\"osung der CS--Gleichung \ ($T=0$) }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$\big[\; M \6_M + \b (\l) \6_\l - n \g (\l ) \big] \, 
\G^{(n)} = 0$ ist eine homogene\footnote{ $ $ Zu 
     massiver $\phi^4$--Theorie ist sie inhomogen, siehe
     z.B. Cheng and Li \cite{cl}, Gleichung (3.51), wird
     aber homogen {\sl in the deep Euclidean region}$\,$:
     ibid. Gl. (3.57)}
lineare (!) partielle Dgl in zwei Dimensionen. Der 
Koeffizient an $\6_\l$ h\"angt nur von $\l$ ab, jener an
$\6_M$ nur von $M$. Ist das aber einfach$\,$! Wer in 
Hannover durch die \glqq Rechenmethoden\grqq\ gegangen ist, 
der l\"ost so etwas zu Fu\ss .

Der genannte Fu\ss g\"anger hat die folgenden drei 
Ideen$\,$: 
\\[3pt]
1. {\scriptsize\bf ( neue Variable )} \ 
Sicherlich kann man eine neue Variable (die 
Stammfunktion von $1/M$ ist $t=\ln(M)$ ) so einf\"uhren, 
da\ss\ die erste Operation ein $\6_t$ wird. Dann entsteht 
eine spezielle zeitabh\"angige Schr\"odinger--Gleichung 
mit $t$--unabh\"angigem Hamiltonian. Anfangswert--Problem 
abstrakt l\"osbar per $e$--Funktion.
\\[3pt]
2. {\scriptsize\bf ( neue Funktion ) } \ 
Der Zusatzterm $\g\,\G^{(n)}$ (man denke an $i\p 
\psi= (H+ {\rm const}\,)\psi$) re--skaliert nur und kann 
mit Abspalten einer $e$--Funktion beseitigt werden. 
\\[3pt]
3. {\scriptsize\bf ( schwingende Saite )} \ 
Auch der $\6_\l$--Term mu\ss\ sich irgendwie in ein 
$\6_x$ verwandeln lassen (Stammfunktion von $1/\b(\l)\,
$?!). Also entsteht\footnote{ $ $ Das ist bereits 
      nur noch ein Halbschritt zur schwingenden 
      Saite$\,$ $\lk \6_t + \6_x \rk 
      \lk \6_t - \6_x \rk y(t,x)=0\,$.}
$\lk \6_t + \6_x \rk f(t,x)=0$. Und hiervon ist die 
allgemeine L\"osung $f(t,x)=\,$eine beliebige Funktion 
von $(t-x) \glr \bel \, (x-t)$. Fein. Alles im Griff.
Aber soweit nur \glqq ideell\grqq\ $\!$.

Der Variablensatz $\lb Q_i \rb$ spielt nicht mit in der 
CS--Gleichung (ist nur Parameter), also$\,$: 
$\G^{(n)}(M,\l)$. Die Assoziationen mit 
Schr\"odinger--Gleichung lassen wir wieder beiseite (es 
lohnt nicht). Konkret beginnen wir mit der \glqq 
Beseitigung\grqq\ des $-n\g$--Terms. Da $\g(\l)$, sollte 
dies der $\6_\l$ Term bewerkstelligen. Wir brauchen die 
Stammfunktion nicht nur von $1/\b$ sondern auch von 
$\g/\b$ und schreiben solcherlei salopp als 
\be{6.11}
   \int_{\l_0}^\l \! d\l^\prime \;\,
        {\g(\l^\prime)\0 \b(\l^\prime) } \;\;\;\; \glr 
   \;\;\;\int^\l {\g\0 \b} \qquad \mbox{und} \qquad
   \int_{\l_0}^\l \! d\l^\prime \;
        {1 \0 \b(\l^\prime) } \;\;\;\; \glr 
   \;\;\;\int^\l { 1 \0 \b} \quad .
\ee  % 6.11
Die Rest--Funktion $f$ nach Abspalten des geeigneten
Exponenten (siehe unten) definieren wir nun gleich als 
abh\"angend von \ d e n \ geeigneten neuen Variablen 
$t$ und $x\,$:
\be{6.12}
   \G^{(n)}(M,\l) \,\; = \,\; e^{ n \int^\l {\g \0 \b }}
   \,\;\; f \Big( \; t = \,\ln (M)\; ,\; x 
   = \int^\l {1\0 \b} \,\;\Big) \quad .
\ee % 6.12
Anwenden des CS--Operators auf \eq{6.12} gibt nun in der
Tat $(\6_t + \6_x) f(t,x)=0$. Somit ist 
$f(t,x)=\bel \, (x-t)$, und
\be{6.13}
   \G^{(n)}(M,\l) \; = \; e^{ n \int^\l {\g \0 \b } }
   \,\;\; \bel \; \Big( \;\;\int^\l \, {1\0 \b}  
   - \;\ln \( M \) \,\;\Big) \quad 
\ee % 6.13
ist die allgemeine L\"osung der Callan--Symanzik--Gleichung 
(der masselosen $\phi^4$--Theorie bei Temperatur Null). 

Bei \eq{6.13} sind wir ohne besondere M\"uhen angekommen. 
Aber nun h\"aufen sich Fragen. Was all das soll, ist 
wohl die schlimmste. Mit einer beliebigen Funktion
kann man nicht leben. K\"onnten wir $\G^{(n)}$ exakt
ausrechnen, gut, dann w\"are auch \bel bekannt. Aber dann
w\"urde sich niemand mehr f\"ur letztere interessieren. 
Die einzige Weisheit in \eq{6.13} scheint in dem speziellen
Argument von \bel zu liegen. Wir k\"onnen das 
Variablen--Paar $M, \, \l$, so ver\"anderen, da\ss\ sich 
\bel$\,$ gerade \ n i c h t \ \"andert. Wir gehen dann auf
einer Linie im $\l$ \"uber $M$ Diagramm spazieren, 
auf einer \"Aqui--\bel--Linie sozusagen. Die Linie
beginne an jener Stelle $M$ zu welcher der zugeh\"orige
Wert $\l$ irgendwie experimentell ermittelt sei. Andere
Punkte $\ov{\l}$, $\ov{M}$ auf der Linie folgen dann aus
\be{6.14}
  \int^\l \, {1\0 \b} - \;\ln \( M \) \; = \;
  \int^{\ov{\l} ( \ov{M}, M, \l )} \, {1\0 \b}
   - \;\ln \( \ov{M} \) \quad .
\ee % 6.14
Ersichtlich kann \eq{6.14} unverz\"uglich umgeschrieben
werden auf
\be{6.15}
  \int_\l^{\ov{\l} ( \ov{M}, M, \l )} {1\0 \b}
  \; = \;\,\ln \( {\ov{M} \0 M} \) \quad ,
\ee % 6.15
woraufhin nun wohl in das \"ubliche Geplapper einzustimmen 
ist, $\ov{\l}$ sei die \glqq {\sl running coup\-ling}\grqq . 
Soso. Da runnt sie also dahin auf der \"Aqui--\bel--Linie.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.4cm}
\subsection{\glqq running coupling\grqq \ = \ bei 
            $\ov{M}$ definierte Kopplung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Bei aller seelischer Zerrissenheit um das Thema dieses
Callan--Symanzik--Abschnitts, {\sl einen} besonderen Reiz mag 
es wohl haben. Es handelt von der verzweifelten Bem\"uhung um 
Aussagen jenseits der St\"orungsrechnung, um die Struktur 
der exakten Theorie.

Wir beginnen mit der rechten H\"alfte der \"Uberschrift
und rekapitulieren, was wir \"uber eine bei $M^\prime$ 
definierte Kopplung $\l(M^\prime)\glr \l^\prime$ 
wissen. Die Renormierungsbedingungen \eq{2.11}--\eq{2.13} 
liefern $Z_g$ und $Z_\phi$ als Funktionen von $M$, $\l\,$.
Mit diesen Funktionen $Z$ konnten wir die Beziehung
zu $\l_{\rm ur}$ best\"ucken, so geschehen in \eq{5.4}.
Der Abbruch der St\"orungsreihe konnte dort nat\"urlich 
auch weit oberhalb $\l^2$ liegen. Sodann hatten wir, in
\eq{5.5}, $M$--Unabh\"angigkeit von $\l_{\rm ur}$
ausgenutzt. In irgendeiner beliebig hohen Abbruchordnung
hei\ss t das 
\be{6.16}
  \l_{\rm ur} \,\; = \,\; { Z_g \( \L, M, \l \) \0 
  Z_\phi^2 \(\L, M, \l\) } \; \l \,\; = \,\;
  { Z_g \( \L, M^\prime, \l^\prime \) \0  Z_\phi^2 
  \(\L, M^\prime , \l^\prime \) } \; \l^\prime  \quad .
\ee % 6.16
Ist {\sl ein} $\l$ bei $M$ experimentell bekannt, so
gibt das rechte Gleichheitszeichen $\l^\prime\,$.
Das linke Gleichheitszeichen hatten wir ein weiteres mal
benutzt (in \eq{6.6} im Abschnitt 6.2), um uns die
$\b$--Funktion zu verschaffen. Auch diese Prozedur h\"angt
nat\"urlich nicht an der Abbruchordnung. Auch die 
Information \"uber $\b(\l)$ ist also in \eq{6.16} 
enthalten. Na gut, wiederholen wir auch noch die 
Definition \eq{6.4} der $\b$--Funktion$\,$:
\be{6.17}
  \b(\l) \; \gll \; M\, d_M\, \l (M) \; = \;   
   d_{\ln(M)} \, \l (M) \quad .
\ee % 6.17
Es ist augenf\"allig, da\ss\ \eq{6.17} durch
Trennung der Variablen aufintegriert werden kann$\,$:
\be{6.18}
  {dM \0 M} \; = \; { d \l \0 \b(\l) } \qquad 
  \Rightarrow \qquad
  \int_M^{M^\prime} \!\! dM \; {1\0 M}  \; = \;
  \ln \( {M^\prime \0 M} \) \; = \; 
  \int_\l^{\l^\prime} {1\0 \b} \quad .
\ee % 6.18
Das war, was wir schon wu\ss ten$\,$: alter Tee.

Und nun blicken wir auf \eq{6.15} zur\"uck, wie dort
eigentlich das Objekt $\ov{\l}$ definiert war. Sieh 
einer Kuckuck, \eq{6.18} und \eq{6.15} sind identische 
Gleichungen ($\ov{M}$ ist $M^\prime$). Zwischen 
$\l^\prime$ und $\ov{\l}$ gibt es {\sl keinen 
Unterschied}. Verdammt noch mal, ihr elenden 
Schreiberlinge mit eurem nebul\"osen Wortgeklingel$\,$!

Vielleicht ist hierbei auch klar geworden, da\ss\ wir 
uns von den Herren C und S h\"ubsch im Kreis herum haben 
f\"uhren lassen \ --- \ allerdings nur in bezug auf
$\l(M)\,$. Wie sich $\l$ mit $M$ \"andert, das steht 
schon im \glqq alten Tee\grqq\ \eq{6.16}. Und eine 
Abk\"urzung f\"ur die Ableitung $M d_M \l(M)$ h\"atte 
uns schon im \S~2 in den Sinn kommen k\"onnen. Aber mit 
Bezeichnungen soll man sparen (sagt irgendwer in Wien). 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{.4cm}
\subsection{Skalierung der Eingangs--Impulse}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Wir kehren zu \eq{6.13} zur\"uck, um etwas aus der 
allgemeinen L\"osung zu lernen, etwas immerhin \"uber
den Satz der $\infty$ vielen $\G^{(n)}$. \"Ubergang
von $\l,\, M$ zum Variablenpaar $\ov{\l},\, \ov{M}$
\"andert \bel genau dann nicht, wenn \eq{6.15} erf\"ullt
ist (w\"ahle z.B. $\ov{M}$, bestimme zugeh\"origes
$\ov{\l}\,$). Mit solcher Begleitmusik ist also
\be{6.19}
  e^{-n\int^\l {\g\0\b}} \; \G^{(n)} (M,\l) \; = \;
  e^{-n\int^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; 
 \G^{(n)} (\ov{M},\ov{\l}) \quad ,
\ee % 6.19
oder unter Hinzunahme der bislang nur parametrischen
Abh\"angigkeit von den $n$ Bein\-im\-pul\-sen $Q_j$
\be{6.20}
  \G^{(n)} (\lb Q_j \rb, M,\l) \; = \;
  e^{-n\int_\l^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; 
  \G^{(n)} (\lb Q_j \rb,\ov{M},\ov{\l}) \quad .
\ee % 6.20
Sie sind gef\"ahrlich, diese scheinbar billigen 
Umformungen; darum die Ausf\"uhrlichkeit. Die $\G^{(n)}$ 
haben Dimension. Um selbige zu ergr\"unden, gen\"ugt es, 
{\sl ein} Diagramm exemplarisch anzusehen ($n$ Beine, 
$n/2$ Propagatoren)$\,$:
\be{6.21}
 \Bigg[\; \G^{(n)} \;\Bigg] \; = \; 
 \Bigg[\; \hspace{.2cm} \pic \;\Bigg] \; = \;
 \Bigg[\; \eu_P \( {1\0 P^2} \)^{n/2} \;\Bigg] \; = \;
 \Bigg[\; { P^4 \0 P^n } \;\Bigg] \; = \;
 \Bigg[\; M^{4-n} \;\Bigg] \quad .
\ee % 6.21
Mit einer dimensionslosen Funktion $f_n ( x,y)$ 
k\"onnen wir nun \eq{6.20} auch schreiben als
\be{6.22}
   M^{n-4} f_n \( \lb \hbox{${Q_j \0 M }$} \rb, \l \) 
   \; = \;  e^{-n\int_\l^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; 
   \ov{M}^{n-4} f_n \( \lb \hbox{${Q_j \0 \ov{M}}$}\rb, 
   \ov{\l} \) \quad .
\ee % 6.22
Wir m\"ochten gern einen Zusammenhang herstellen zwischen
$\G^{(n)}$ bei gro\ss en Impulsen und z.B. kleiner 
Kopplung mit $\G^{(n)}$ bei entsprechend umgekehrten
Daten. Dazu multiplizieren wir alle $Q$'s mit dem gleichen 
Faktor $\ov{M}/M\,$, auf beiden Seiten von \eq{6.22} 
nat\"urlich. Rechts erscheint dann $f_n$ mit den Argumenten 
$\lb Q_j /M\rb$ und $\ov{\l}\,$. Schlie\ss lich kehren wir 
von $f_n$ zu $\G^{(n)}$ zur\"uck. Damit das rechts geht, 
ist zuvor mit $M^{n-4}$ zu erweitern$\,$:
\be{6.23}
 \G^{(n)} \( \lb \hbox{${\ov{M} \0 M}$} Q_j \rb , M,\l \)
   \; = \;
 \( \hbox{${\ov{M} \0 M}$} \)^{4-n}   
     e^{-n\int_\l^{\ov{\l}} {\g\0\b}} \; 
 \G^{(n)} \(\lb Q_j \rb , M, \ov{\l} \) \quad .
\ee % 6.23
Cheng + Li \cite{cl} handeln die gesamte Thematik auf
wenigen Seiten ab ({\sl chapter 3, Renormalization
group})\footnote{ $ $ Warum
     nur ist dieses sch\"one Buch so weitgehend 
     unbekannt geblieben. Vielleicht waren 
     Itzykson und Zuber \cite{IZ} eine zu starke Konkurrenz.}.
\eq{6.23} ist dort Gleichung (3.68). Im Vergleich dieser
beiden fehlt jedoch noch eine Kleinigkeit, n\"amlich
eine m\"ogliche Umformung des Exponenten in \eq{6.23},
d.h. von $ \int_\l^{\ov{\l}} \! d\l^\prime
     \;\g(\l^\prime ) / \b (\l^\prime )\,$.
Dazu ersetzen wir in \eq{6.15} $\ov{\l},\, \ov{M}$
durch $\l^\prime ,\, M^\prime$ und benutzen diesen
Zusammenhang, um von $\l^\prime$ zur neuen
Integrationsvariablen $M^\prime$ \"uberzugehen$\,$:
\be{6.24}
  \int_\l^{\l^\prime} {1\0 \b}
  \; = \;\,\ln \( {M^\prime \0 M} \) \quad 
  \Rightarrow \quad
  d\l^\prime = {1\0 M^\prime} \, \b ( \l^\prime ) \quad ,
  \quad \lower 7pt\vbox{
  \hbox{\footnotesize bei $\l^\prime = \l$
                     wird $M^\prime = M\,$, } \vspace{-.14cm}
  \hbox{\footnotesize bei $\l^\prime = \ov{\l}$
                      wird $M^\prime = \ov{M}\;$.}}
\ee % 6.24
Ergo k\"urzt sich $\b(\l^\prime )$, und wir bekommen 
\be{6.25}
   \int_\l^{\ov{\l}} \! d\l^\prime \; {\g (\l^\prime ) 
   \0 \b (\l^\prime )} \; = \; 
   \int_M^{\ov{M}} \! d M^\prime \, {1\0 M^\prime} 
   \; \g \( \l^\prime ( M^\prime ) \) \; = \;
   \int_0^{\ln\({\ov{M}\0M}\)} \! dt \; \g
   \( \l^\prime ( M e^t ) \) \quad .
\ee % 6.25
wobei $t = \ln (M^\prime / M )\,$. Es war ungeheuer 
anstrengend (Alterserscheinung denkbar).

Lassen wir doch abschlie\ss end einfach Cheng und Li zu
Wort kommen \cite{cl}. Das Ver\-h\"alt\-nis $M^\prime/M$
hei\ss t dort $\s$. Ferner bezieht sich der Kommentar
(er folgt unmittelbar auf \eq{6.23}) auf massive Theorie,
welche erst in einem asymptotischen Sinne ($\s\to\infty$)
in die hiesige masselose einm\"undet$\,$:

{\footnotesize
In this form the asymptotic solution $\G_{\rm as}^{(n)}$ 
has a simple interpretaion. The effect of rescaling the
momenta in the Greensfunction $\G^{(n)}$ is equivalent
to replacing the coupling constant $\l$ by the effective
coupling $\ov{\l}$, apart from some multiplicative factors. 
The first factor $\s^{4-n}$ in \eq{6.23} is the canonical
dimension coming from the fact that $\G^{(n)}$ has dimension
$4-n$ in units of mass. The exponential factor in \eq{6.23}
is the anomalous dimension term which is the result of
summing up the leading logarithms in perturbation theory. 
This factor is controlled by the $\g$--function. Thus $\g$ 
is often called the anomalous dimension (Wilson 1971).}

{\footnotesize
The result in this section may be viewed as follows. The
expectation that in the large--momentum limit masses 
become negligible and theory should be scale--incvariant 
is too simple. Even without phy\-sical masses the
renormalizable theory still has an energy scale as we must 
always impose normalization conditions at some mass scale. 
Thus naive dimension analysis is generally inadequate and 
scale invariance is broken. However the dependence of the 
theory on this normalization mass scale is given by the 
renormalization--group equation which expresses the effect 
of a small change of scale. In favourable cases when the 
inhomogeneous term in the Callan--Symanzik equation may be 
dropped the solution indicates that the asymptotic 
behaviour displays a certain universal character with
operators being assigned anomalous dimensions. }

\centerline{ \vrule width 2cm depth 0pt height .3pt \qquad}

\vspace{.3cm}
Renormierung ist eine Thematik, welche bez\"uglich
Weisheit, Detailvielfalt und Arbeitsaufwand
weit weit \"uber den Rahmen hinausgeht, welchen
Lehrb\"ucher \cite{IZ,PS,ZJ,cl,kaku}
\"ublicherweise stecken (m\"ussen).
Wer einmal diesen Rahmen zu \"uberschreiten hat,
dem hilft viel\-leicht ein kritischer
\"Ubersichtsartikel von Guy Bonneau \cite{bonn}
weiter\footnote{ $ $ Diesen Hinweis gab
      dankenswerterweise Dr. H. Skarke (Wien).}.
Insbesondere findet sich dort ein stattliches
Literaturverzeichnis.

\vspace{.4cm}

\ct{\parbox{1.2cm}{\unitlength1cm \begin{picture}(1,.5)
    \put(.5,.5){\circle*{1}} \end{picture}}}

\vspace{.7cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{appendix}

%  Anhang A :    4D Winkelei 

\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{A$\,$.$\,$\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.6cm}
\section{Kugelwinkel in 4D}

\be{A1} 
 \vc r = \( \, x_1 \, , \, x_2 \, , \, 
               x_3 \, , \, x_0 \, \) \quad , \quad
   r^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_0^2 \quad .\quad 
\ee % A1
Setzen wir $x_0 = r \cos (\ta )$, so ist mit
$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2 \sin^2 (\ta )$
auf 3D Kugelkoordinaten mit radialer Koordinate 
$r_{\rm 3D} = r \sin (\ta )\;$ zur\"uckgef\"uhrt$\,$:
\bea{A2}
 x_1 &=& r \,\sin (\ta )\,\sin (\ph )\,\cos(\rho ) 
         \qquad \nonu \\
 x_2 &=& r \,\sin (\ta )\,\sin (\ph )\,\sin(\rho ) 
         \nonu \\
 x_3 &=& r \,\sin (\ta )\,\cos (\ph ) 
         \nonu \\
 x_0 &=& r \,\cos (\ta ) \qquad . 
\eea % A2
Die Funktionaldeterminante kann man (in 4D) von Hand 
ausf\"uhren und 
\be{A3}
  \left| \;\; { \6 \( x_1, x_2, x_3, x_0 \) \0
  \6 \( r, \ta , \ph , \rho \) } \;\;\right| \; = \;
  r^3 \, \sin^2 (\ta )\, \sin (\ph ) \quad 
\ee % A3
erhalten. Eine 4D Integration l\"a\ss t sich also 
schreiben als
   \def\ldo{\hbox{\huge .\hspace{-.07cm}.\hspace{-.07cm}.}}
\be{A4}
  \int \! d^4x \;\; \ldo \;\; = \,\int_0^\infty \! 
     dr \; r^3
    \int_0^{2\pi} \! d\rho 
    \int_0^\pi \! d\ph \; \sin (\ph )
    \int_0^\pi \! d\ta \; \sin^2 (\ta ) \;\; 
   \ldo \quad .
\ee % A4
Zur Kontrolle sei die 4D Kugeloberfl\"ache
ausgerechnet$\,$:
\be{A5}
  \O_4 = \int d\O = 
         \int_0^{2\pi} \! d\rho 
         \int_0^\pi \! d\ph \; \sin (\ph )
         \int_0^\pi \! d\ta \; \sin^2 (\ta )
  \; = \; 2\pi \; \cdot \; 2 \; \cdot \; {1\02} \pi 
  \; = \; 2\pi^2  \quad . 
\ee % A5
In welchem Lehrbuch mag so etwas Sch\"ones stehen$\,$:
in Kaku's QFT \cite{kaku}, \S ~7.5.

H\"aufig wird der Integrand nur vom Kugelwinkel $\ta$ 
abh\"angen, n\"amlich wenn er das Skalarprodukt
$\vc P \vc Q$ enth\"alt. Die Winkel k\"onnen dann auf
die $\vc Q$--Achse bezogen werden, $\vc Q = (Q,0,0,0)$,
so da\ss\ $\vc P \vc Q = P_0 Q = P Q \, \cos (\ta ) 
\glr PQ\, c$ gilt\,:
\be{A6}
  \int\! d^4P \; f 
  \Big(\, P\, , \,\vc P \vc Q \,\Big) \; = \;
   \int_0^\infty \! dP P^3 \; \int\! d\O \; f
   \; = \; \O_4  \int_0^\infty \! dP P^3 \; 
   \lw\; f \;\rw \quad .
\ee % A6
Die Winkelmittelung kann nun teilweise ausgef\"uhrt 
werden$\,$:
\be{A7}
   \lw\; f\;\rw \gll {1\0{\O_4}} \int\! d\O \; 
   f\(\, P\, , \, PQc\,\) \; = \; {2\0\pi} 
  \int_0^\pi\! d\ta \; s^2 \; f\(\, P\, , \, 
  PQc\,\) \quad .
\ee % A7
Hierin steht nat\"urlich $s$ f\"ur $\sin (\ta )\,$.

Im Text interessieren folgende Spezialf\"alle von \eq{A7}$\,$:
\be{A8}
 \lw\; 1 \;\rw = 1 \qquad , \qquad
 \lw\; \vc p ^2 \; \rw \; = \; P^2 \lw\; 1-c^2\;\rw
    \; = \; {3\04}\; P^2 \quad , \qquad 
\ee % A8
\be{A9}
 \lw {1\0 a-c} \rw \;\; = \;\; 2\, \( a - \wu {a^2 - 1 } \) 
   \qquad  \big(\,a^2 \geqslant 1\,\big)  \quad ,
\ee % A9
\be{A10}
    \lw \; { 1 \0 a^2 - s^2 } \; \rw  \;\; = \;\; 
    2 \, \( \, {a \0 \wu {a^2 - 1} } - 1 \, \) 
   \qquad  \big(\,a^2 \geqslant 1\,\big)   \quad ,
\ee % A10
\be{A11}
  \lw \; {1\0 2\, s}\;\ln \( { a + s \0 a - s } \) \; 
  \rw \;\;  = \;\; 2\, 
  \( a - \wu {a^2 - 1 } \)  
   \qquad  \big(\,a^2 \geqslant 1\,\big) \quad ,
   \rule[-6mm]{0pt}{2mm}
\ee % A11
Die $\ta$--Integrale f\"ur \eq{A9} und \eq{A10} gelingen
mittels Bronstein. \eq{A11} l\"a\ss t sich aus \eq{A10} 
herleiten. Die beiden Seiten von \eq{A10} sind n\"amlich 
(negative) Ableitungen der \eq{A11}--Seiten nach $a\,$. 
Da\ss\ beim Aufleiten von \eq{A10} bez\"uglich $a$ keine 
Konstante entsteht, zeigt \eq{A11} im limes $a \to \infty\,$.

Das folgende Mittel \"uber zwei Logarithmen l\"a\ss t sich
leider nicht voll ausintegrieren aber f\"ur Gebrauch im
Anhang D geeignet formulieren\,:
\bea{A12}
  {\cal J}(a,b) &\gll& \lw \; {1\0s^2}\;
  \ln \( {a+s \0 a-s} \)\; \ln \( {b+s \0 b-s} \)\; \rw 
  \hspace*{5cm} \nonu \\[2mm]
  &=&  8 \int_0^{(a-\wu{a^2-1})\,(b-\wu{b^2-1})}
  \! dx \; {1\0x} \; \ln\( {1+x \0 1+x} \)
    \quad  \big(\,a^2,\,b^2 \geqslant 1\,\big) \;\; . \;\;
\eea % A12
Die auf \eq{A12} f\"uhrende Integrierkunst verdient Detail.
Ersichtlich geht ${\cal J}(a,b)$ mit $a \to \infty$ oder
$b \to \infty$ gegen Null. Auch die Ableitung von ${\cal J}$
nach $a$ hat diese Eigenschaft. Ins\-besondere wird
\be{A13}
  \6_a \,{\cal J}(a,b) \; = \; {4\0\pi} \int_0^{\pi/2} \!\! d\ta
  \; {-2\,s \0 a^2-s^2} \; \ln \( {b+s \0 b-s} \) \;\;
  \longrightarrow \; 0 \qquad \big(\,b \to \infty\,\big) \;\; , \;\;   
\ee % A13
so ben\"otigt beim Aufleiten von
\bea{A14}
  \6_a \6_b \,{\cal J}(a,b) &=&  
  {4\0\pi} \int_0^{\pi/2} \!\! d\ta \;  
  {-2\,s \0 a^2-s^2} \; {-2\,s \0 b^2-s^2} \; \nonu \\
  &=& {4 \0 b^2-a^2 } \;\lw {1\0 a^2-s^2}\, - \,{1\0 b^2-s^2} \rw
  \nonu \\
  &=&  {8\0 b^2-a^2}  \( {a \0 \wu {a^2 - 1 } } 
        - {b \0 \wu {b^2 - 1 } } \) \qquad
\eea % A14
bez\"uglich $b\,$:
\be{A15}
  \6_a \,{\cal J}(a,b) \; = \; {4\0 \wu {a^2 - 1 }}  \;
   \ln \( \; { \wu {a^2 - 1 } +  \wu {b^2 - 1 } \0
               \wu {a^2 - 1 } -  \wu {b^2 - 1 } } \;\cdot\;
     {a-b \0 a+b } \;\) \;\; . \qquad
\ee % A15 
Bei Aufleiten von \eq{A15} bez\"uglich $a$ bleibt zun\"achst
\be{A16}
  {\cal J} (a,b) = 4 \int_a^\infty \!\!dx\; {1 \0 \wu{x^2-1}} \;
   \ln \( \; { \wu {x^2 - 1 } - \wu {b^2 - 1 } \0
               \wu {x^2 - 1 } + \wu {b^2 - 1 } } \;\cdot\;
     {x+b \0 x-b } \;\) \;\; \qquad
\ee % A16
stehen. Es ist erstaunlich, wie sich dieses Integral vereinfachen 
l\"a\ss t. Wir substituieren $x=\ch(t)$ \,$\big(\,t=\ln(x+\wu{x^2-1}),
\;dx=dt\,\sh(t)\,\big)$ und setzen $b=\ch(u)$. Das gibt
\bea{A17}
  {\cal J} (a,b) &=& 4 \int_{{\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty 
  \!dt\; \ln\(\,{\ch(t) + \ch(u) \0 \ch(t)-\ch(u)} \, \cdot\,
                {\sh(t) - \sh(u) \0 \sh(t)+\sh(u)}\,\) \nonu \\
  &=& 8 \int_{{\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty \! dt \; \ln \( 
        { \ch\({t+u\02}\) \0 \sh\({t+u\02}\) } \) \nonu \\
  &=& 8 \int_{ u + {\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty 
        \! dt \; \ln \( { \ch\({t\02}\) \0 \sh\({t\02}\) } \) \nonu \\
  &=& 8 \int_{ {\rm ln}(b+\wu{b^2-1}) + {\rm ln}(a+\wu{a^2-1})}^\infty 
        \! dt \; \ln \( { 1 + e^{-t} \0 1 - e^{-t} } \) 
         \;\; , \quad
\eea % A17
wobei $u= b + \wu{b^2-1}$ bedacht wurde. Es ist \"ubrigens
$a + \wu{a^2-1} = 1/(a - \wu{a^2-1})\,$ (f\"ur $b$
entsprechend). Substitution $e^{-t} = x$ liefert nun
das in \eq{A12} angegebene Resultat.


%  Anhang B    c_T   

\let\dq=\thq 
\renewcommand{\theequation}{B$\,$.$\,$\dq}
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.4cm}
\section{$\chi(Q^2)$ : \ Auswertung }

Hier werden f\"ur \S~2.4 zwei Terme der Funktion
$\chi (Q^2) = \chi(0) + \chi_1 (Q^2) + \chi_2(Q^2)$
untersucht, n\"amlich der zweite und der dritte. Das 
Argument $Q^2$ liegt im Endlichen ($Q^2 \ll \L^2$).
Unter diesen beiden Beitr\"agen ist \eq{2.28}, d.h.
\be{B1}
   \chi_1 (Q^2) \, = \, \eu_P \, w_0 (P^2)
    \( {1\0 ( \vc P - \vc Q )^2} - {1\0 P^2} \)  
\ee % B1
ein rundum angenehmes Integral. Nach Blick in
Anhang A ziehen wir die 4D Winkelmittelung 
$\lw \;\; \rw$ nach rechts und sehen alsbald, 
da\ss\ f\"ur $w_0$ die klein--$P^2$--Version 
\eq{2.44}, n\"amlich $w_0 (P^2) = {1\016\pi^2}
\( {\rm LN} - \ln (P^2) \) \, +\, \cl O(P^2/\L^2)\,$,
ausreicht$\,$:
\bea{B2}
  \chi_1 (Q^2) &=&  {1\0 16\pi^4}\, \O_4
     \int_0^\infty\!\! dP \; P^3 \, w_0 (P^2) \( \;
     \lw {1\0 (\vc P - \vc Q )^2} \rw  - {1\0P^2} \)
     \nonu \\
   & & \quad \lw {1\0 (\vc P - \vc Q )^2} \rw \; = \;  
       \lw {1\0 P^2 + Q^2 - 2 P Q \cos(\ta ) } \rw
       \; = \; {1\02PQ} \lw {1\0 a-c} \rw     \nonu \\
   & & \phantom{a\hspace{2.4cm}a} =\; { a - \wu {a^2 - 1 }
       \0 PQ} \qquad \Big(\hbox{$\, a \gll {P^2
       + Q^2\0 2PQ}$ und $c \gll \cos (\ta )\,$}\Big)
       \nonu \\
  \chi_1 (Q^2)\; &=& \; {1\0 8\pi^2} \int_0^\infty
   \!\! dP \; P^3 \,w_0 (P^2) \( { P^2 + Q^2 - | P^2
   - Q^2 | \0  2 P^2 Q^2 } \, - \, {1\0 P^2} \) \\
     \label{B3}
    &=& \; {1\0 8\pi^2} \int_0^\infty\!\!
   dP \; P^3 \,w_0 (P^2) \( {1\0Q^2} - {1\0 P^2} \) 
   \theta \( Q^2 - P^2 \)  \nonu \\
   &=& \; \({1\0 16\pi^2}\)^2 \int_0^{Q^2}\!\! dr \;
       \( {r\0 Q^2} - 1 \) \, \bigg( {\rm LN}
       - \ln (r) \bigg)  \nonu \\
  \chi_1 (Q^2)\; &=& \; {2 \0 (32\pi^2)^2 }\, 
       \( \, Q^2 \,\ln \( Q^2 \) 
       \; - \;  Q^2\, \lk {\rm LN} + {3\02} \rk \) \quad .
\eea % B2 und B3
Es war die Stufenfunktion in der drittletzten Zeile,
welche $P^2$ bei $P^2 < Q^2 \ll \L^2$ festh\"alt. In 
der dritten Zeile haben wir die Weisheit \eq{A9}
aus Anhang A geholt. \eq{B3} steht als \eq{2.29} 
wieder im Haupttext.

Dem Term
\be{B4}
  \chi_2 (Q^2) \, = \, \eu_P \, w_0 (P^2) \, 
   \( {A\0 P^2 +\L^2} - {B\0 P^2 +\G^2} \;\;
     - \;\; \mbox{dito}_{
   \hbox{\footnotesize $P\to\vc P -\vc Q$}} \,\) 
\ee % B4
wurde schon im Text unter \eq{2.30} \"Ubles 
nachgesagt. Bald wird zu sehen sein, da\ss\ 
die runde Klammer, das Gewicht an $w_0(P^2)$ also,
erst bei Impulsen $P^2 \sim \L^2$ abzunehmen beginnt. 
Nichtsdestotrotz kann die Winkelmittelung herein 
gezogen und \eq{A9} benutzt werden. Wir substituieren
$P^2=r\,$, schreiben
\be{B5}
  \chi_2 (Q^2) = {1\0 16\pi^2} \; 
    \int_0^\infty \! dr \; r\, w_0 (r)
    \bigg(\; A\, \ell_\L - B\, \ell_\G \;\bigg) \quad
\ee
und haben
\bea{B6}
  \ell_\L \; &=& \; {1\0 r + \L^2 } \; - \;
  \lw {1\0 r + Q^2 + \L^2 - 2\wu r Qc} \rw  \nonu \\
  &=& \; { 1\0 r + \L^2 } \; - \; { r + \L^2 + Q^2
   - \wu { \( r + \L^2 + Q^2 \)^2 - 4 r Q^2 }
  \0  2 \, r \, Q^2 } \quad .
\eea % B6 
In $\ell_\L $ gibt es den kleinen Parameter
$Q^2 \ll r \sim \L^2\,$. Nach etwas m\"uhseliger 
Entwicklung (man nutze $(a- \wu {\phantom{\smile}}) 
= (a^2 - {\wu {\phantom{\smile}}}^2) \, / \, 
( a + \wu {\phantom{\smile}})$ aus) ergibt sich
\be{B7}
  \ell_\L = Q^2 \; { \L^2 \0 (r+\L^2 )^3} \;
  \( 1 \; + \; \cl O \( {Q^2 \0 \L^2} \) \, \) \quad .
\ee % B7
In der $r\sim \L^2$--Region hat $w_0(r)$ nach \eq{2.50} die 
Gr\"o\ss enordnung 1. Es ist mehr eine Art Zwischenergebnis, 
wenn wir nun 
\be{B8}
  \chi_2 (Q^2) \; = \; {2\0 (32 \pi^2 )^2} \; c_2 \; Q^2 
   \; + \; \cl O \( {Q^4 \0 \L^2} \) \quad  
\ee
schreiben und den Koeffizienten $c_2$ als Integral stehen 
lassen$\,$:
\be{B9} 
  c_2 \; = \; 2 \, {\G^2 \L^2 \0 \G^2-\L^2}
      \int_0^\infty \! dr \;\, 
     \Big[ \, 16 \pi^2 \, w_0 (r) \, \Big] \;
     \( {r \0 ( r+\L^2)^3 } - {r \0 ( r+\G^2)^3 } \)
     \;\; = \;\; \cl O(1) \quad .
\ee
Jenes grobe $\cl O(1)$ rechts in \eq{B9} folgt, wenn
man die eckige Klammer $=1$ setzt. Strenge Auswertung 
des Integrals erscheint aussichtslos. Mit
\eq{B8} und \eq{B9} haben wir jedenfalls die Behauptungen 
in \eq{2.31} beieinander.

%  Anhang C    c_T   

\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{C$\,$.$\,$\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.2cm}
\section{$c_T$ : \ Asymptotik bis $g^2$ }

Hier wird ein mehr technisches Detail zu \S~3.2
nachgetragen, n\"amlich die Auswertung des Beitrags
$c_T$ zum einfachen thermischen Loop $b_T\,$. Dieser
Anhang mausert sich alsbald zu einem Lehrst\"uckchen
in Sachen asymptotische Entwicklung.

Ausgangspunkt ist der Ausdruck \eq{3.24}\,, d.h.
\be{C1}
  c_T = \sum_P^{\rm ohne} \lk { 1 \0 m^2 + P^2 } 
     \; - \; { 1\0 P^2 } \rk 
     \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \! dp \, p^2 \,
    \(\, {\, n \( \wu {m^2+p^2} \) \0 \wu {m^2+p^2} }
     \, - \, {n(p)\0 p} \,\) \quad
\ee % C1
aus dem Haupttext. Man male eine $p$-Halbachse und bringe 
die Marken $m$ und $T$ darauf an. In der Region $T$ 
(Breite $\sim T$) hat der Integrand die Gr\"o\ss enordnung 
$m^2/T\,$ (nicht  faul sein$\,$: $p=T$ setzen und ein 
wenig entwickeln), und der Integralbeitrag ist $\sim m^2$.
Von der Region um $m$ kommt jedoch ein Integralbeitrag
$\sim T *$(Reichweite$\,m$). In diesem {\sl soft}--Bereich
kann die Bose--Funktion durch $T/$Argument gen\"ahert 
werden. Also spalten wir versuchsweise\footnote{
    Es ist typisch f\"ur die M\"uhen um asymptotische
    Entwicklungen, da\ss\ man zu probieren hat, zu
    spielen, und mit Konsistenzannahmen zu arbeiten. 
    Gescheit abspalten ist ein gutes Stichwort.
    Es geht nicht \hbox{\glqq von} selber\grqq . 
    Das Stricken von Begleitphilosophie ist die Kunst.}
wie folgt auf,
\be{C2}
  c_T \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \! dp \, p^2 \, 
     \( {T\0 m^2+p^2} - {T\0 p^2} \) \; + \; \d c_T
     = - { m T \0 4\pi} \; + \; \d c_T \quad ,
\ee % C2
freuen uns, da\ss\ der f\"uhrende Term der
$c_T$--Asymptotik so einfach war, und st\"urzen uns auf
den Rest
\be{C3}
  \d c_T \, = \, {1\02\pi^2} \int_0^\infty \! dp\, p^2\, 
     \( \; {\, n \( \wu {m^2+p^2} \) \0 \wu {m^2+p^2} }
     \, - \, {n(p) \0 p} \, - \, {T\0 m^2+p^2} 
     \, + \, {T\0 p^2} \; \) \quad .
\ee % C3
Dies lesen wir als drei Integrale, weil die beiden 
letzten Terme einander brauchen, um Konvergenz 
abzusichern. Im ersten Integral substituieren wir 
$\wu {m^2+p^2} = x$ ($x$ von $m$ nach $\infty$). Im 
zweiten benennen wir nur $p$ in $x$ um ($x$ von 0 bis 
$\infty$). Auch mit den beiden Anteilen des dritten 
Integrals m\"ochten wir gern dieserart verschieden 
verfahren, weil sie offensichtlich je einem der 
ersten zugeordnet sind. Stichwort, obere Grenze 
kontrollieren$\,$:
\bea{C4}
  \int_0^N \!\! dp \;\( T - {T \, p^2 \0 m^2+p^2} \)
  \; &=& \; \int_0^N \!\! dx \; T - \int_m^{\wu {N^2+m^2}}
  \!\! dx \; T \,{ \wu {x^2 - p^2} \0 x }  \nonu \\ 
  & = & \int_0^m \! dx\; T + \int_m^\infty \! dx \; 
    \( T - T \,{ \wu {x^2 - p^2} \0 x } \) \quad ,
\eea % C4
denn die Differenz in den oberen Grenzen (mittlerer
Ausdruck) ist wegen $\wu {N^2+m^2} = N + \cl O(m^2/N)$
unerheblich. Die gew\"unschte Zuordung ist nun
m\"oglich und liefert
\be{C5} 
  \d c_T  =  {1\02\pi^2} \lk \int_m^\infty
  \!\!\! dx \; \( \wu {x^2-m^2} - x \) \( n(x) - {T\0x} \)
   -  \int_0^m \!\!\! dx \; x \,\( n(x) - {T\0x} \)
  \rk \; .
\ee % C5
Nach Skalierung $x\to mx$ und mit dem kleinem Parameter
$\b m \glr \s \,$,
\be{C6}
  \d c_T  = {m^2 \0 2\pi^2} \lk \int_1^\infty 
    \!\! dx \, \( \wu {x^2-1} - x \) \Y -
   \int_0^1\! dx \, x \Y \rk
   \;\; , \;\; \Y \gll {1\0 e^{\s x} - 1 }
   - {1\0 \s x} \;\; ,
\ee % C6
wird deutlich, worauf es jetzt ankommt. Die noch 
einzubeziehende Ordnung $g^2 \sim m^2$ ist erreicht, und 
in der eckigen Klammer ist alles mitzunehmen, was unter
$\s\to 0$ endlich bleibt oder anw\"achst. Im ersten 
Integral verbirgt sich ein $\ln (\s )\,$, herr\"uhrend
von gro\ss en $x$. Um dies zu sehen, helfen Abspaltungen 
von gro\ss --$x$-Asymptotik$\,$: erstens $\wu {x^2 -1} -x
= -1/(2x) + \lk \wu {x^2 -1} -x + 1/(2x) \rk\,$, 
und zweitens
\be{C7}
  \Y = \Y_0 + \Y_1 \quad\mbox{mit}\quad
  \Y_0 = {-1 \0 2+\s x} \quad\mbox{und}\quad
  \Y_1 = {1\0 e^{\s x} - 1} - {2\0\s x (2+\s x)}
  \quad .
\ee % C7
$\Y_0$ kontrolliert gro\ss e $x$ am schw\"achsten.
Zu $\s\to0$ geht $\Y_0$ gegen $-1/2$, aber
$\Y_1$ gegen Null. $\d c_T$ kann nun wie folgt
zerlegt werden$\,$:
\bea{C8}
  \d c_T  &=&  {m^2 \0 2\pi^2} \bigg[ \;
   J_1 + J_2 + J_3 + J_4 \; \bigg] 
       \qquad \mbox{mit} \quad \\
   J_1 &=& - \int_1^\infty \! dx \; {1\0 2x} \Y_0
       \quad , \quad
   J_2 = \int_1^\infty \! dx \; \( \wu {x^2-1} - x 
         + {1\02x} \) \,\Y_0  \quad , \nonu \\
          \label{C9}
   J_3 &=& \int_1^\infty \! dx \; \( \wu {x^2-1} - x \) 
           \Y_1  \quad , \quad
   J_4 = - \int_0^1 \! dx \; x \,\Y \quad .
\eea % C8 und C9
$J_3$ ist ein unangenehmer Geselle, den wir uns als 
letzten vorkn\"opfen. In $J_1$ ist $\ln (\s )$ das
Interessante, w\"ahrend die anderen drei den Limes
$\s\to 0$ aushalten werden. In $J_2$ und $J_4$ 
ersetzt dieser Limes $\Y_0$ bzw. $\Y$
durch $-1/2$. Asymptotik--Kunst beendet, Integrieren
k\"onnen die Leute schon eher$\,$: 
\be{C10}
  J_1 = - {1\04} \,\ln \( {\s \0 2} \) \quad , \quad
  J_2 = - {1\08} + {1\04} \,\ln \( 2\) \quad , \quad
  J_4 = {1\04} \quad .
\ee % C10
Zu $J_3$ wollen wir zuerst $\s\to0$ ausf\"uhren, 
wobei die Skalierung $x\to x/\s$ hilfreich ist$\,$:
\be{C11}
   J_3 = {1\0\s} \int_\s^\infty \! dx \; \( 
         \wu {{x^2\0\s^2}-1} - {x\0\s} \) \; \( 
    {1\0 e^x - 1} - {2\0 2x + x^2} \) \quad .     
\ee % C11
Man sieht nun, da\ss\ die erste Klammer schlicht in
$-\s /(2x)$ \"ubergeht. Die untere Grenze kann getrost
auf Null geschoben werden\footnote{ Interessieren
weitere Terme der Asymptotik, so ist nat\"urlich die 
Differenz zu addieren und zu untersuchen.}, und wir 
haben damit
\be{C12}
 J_3 = - {1\02} \int_0^\infty \!\! dx \; {1\0x}
  \( {1\0 e^x - 1} - {2\0 2x + x^2} \) 
   \;\; = \;\; - {1\02}\, I(0) \quad ,
\ee % C12
wobei der rechte Ausdruck darauf verweist, da\ss\
das Integral im Limes $s\to +0$ aus
\be{C13}
  I(s) = \int_0^\infty \!\! dx \; \( 
    { x^{s-1} \0 e^x - 1} 
    - { 2\, x^{s-2} \0 2 + x} \) \quad
\ee % C13
erhalten werden kann. Es gibt einen sch\"onen Trick, 
um mit $I(s)$ in $\,0<s<1\,$ fertig zu werden. Wir 
subtrahieren und addieren n\"amlich in der Klammer 
den Term $x^{s-2}\,$, so da\ss\
\be{C14}
  I(s) = \int_0^\infty \!\! dx \; \( 
    { x^{s-1} \0 e^x - 1} \; - \; x^{s-2} \, \)
    \; + \;  \int_0^\infty \!\! dx \; 
   { x^{s-1} \0 2 + x} \quad
\ee % C14
wird. Generell ($s$ beliebig reell) ist \"ubrigens statt 
$x^{s-2}$ \ d i e \ Linearkombination aus Potenzen (incl.
$\,$hoch Null) von $1/x$ einzusetzen, welche das Integral 
an beiden Grenzen konvergent h\"alt. Mittels \eq{H36} 
bekommt \eq{C14} die Gestalt 
\be{C15}
  I(s) \; = \; \zeta (s) \, \G (s)  
       \; + \; 2^{s-1}\,\G (s)\,\G(1-s) \quad .
\ee % C15
Der limes $\,s\!\to\!+0\,$ ist im Anhang H durchgef\"uhrt\,:
\eq{H45}\,. Das Resultat ist
\be{C16}
  I(0) = {1\02} \lk \g - \ln \( \pi \) \rk 
  \quad \mbox{und somit} \quad
  J_3 = - {1\04} \g + {1\04} \ln \( \pi \) \quad .
\ee % C16
$\g$ ist die Euler--Konstante.

Das wars. Die vier $J$--Resultate bilden $\d c_T\,$,
und dieses komplettiert \eq{C2}$\,$:
\be{C17}
  c_T \; = \; - \, {m\, T\04\,\pi} + {m^2\016\,\pi^2}
    \, \lk 1 - 2 \g + 2\,\ln \( { 4\,\pi\, T \0 m } \) 
   \rk \quad .
\ee % C17
Im Haupttext wird \eq{C17} als \eq{3.25} \"ubernommen.
Das Rad wurde hier zwar auf eigenem Mist neu erfunden. 
Aber bis zum $g^2$--Term im thermischen Loop waren auch 
schon andere Leute vorgedrungen \cite{dola}.
\end{appendix}

%  Anhang D    I_{TT}   

\let\dq=\thq 
\renewcommand{\theequation}{D$\,$.$\,$\dq}
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.4cm}
\section{$I_{TT} = \sum_Q \, w_T \, w_T$ : \ Auswertung }

Der Abschnitt 4.2 wird hier mit Detail versehen. Wir beginnen 
mit dem Anteil \\[1mm]
  \hspace*{7cm}{\boldmath$I{^{\int}}_{TT}\;$}, \\[1mm]
in welchem $\sum_Q$ durch 
$\int_Q = (2\pi)^{-4} \int \! dq_0 \int \! d^3q$ zu ersetzen ist. 
$w_T$ steht in \eq{4.16}. Das Argument $Q_0=\o_n^Q$ degeneriert
unter $\int_Q$ zur Integrationsvariablen $q_0\,$, und $q$ ist der 
Betrag des Dreier--Impulses. Der Ausgangspunkt lautet also
\be{D1}
  I{^{\int}}_{TT} = {1\0 16 \pi^4} \( {1\0 8\pi^2} \)^2 
         \!\int \!\! dq_0 \!\int \! d^3q \; {1\0 q^2}
     \!\int_0^\infty \!\!\! dp \, n(p) \!\int_0^\infty \!\!\! dk \, 
     n(k) \; {\cl L}(q_0,q,p) \; {\cl L}(q_0,q,k) \quad 
\ee % D1
mit
\be{D2}
  {\cl L}(q_0,q,k) =  \cl A_q \,\cl A_k \;\Vau_\tau
  \int_0^N \!\! dv \;\; {1\0 v + \tau + (q_0 +ik )^2 
  + (k-q)^2 } \;\; . \quad 
\ee % D2
$N \to \infty$ ist erst nach Anwendung des Operators 
$\Vau_\tau\,$ m\"oglich. Unter Weglassen von 
${\cl O} (1/N)$--Termen entsteht
\bea{D3}
  {\cl L}(q_0,q,k) &=&  \cl A_q \,\cl A_k \;\Bigg[ \;
   \ln \( {N\0 (q_0+ik)^2 + (k-q)^2 } \) \nonu \\[1mm]
   & & \hspace*{-23mm}  - A\;\,
   \ln \( {N\0 \L^2 + (q_0+ik)^2 + (k-q)^2 } \) + B\;\,
   \ln \( {N\0 \G^2 + (q_0+ik)^2 + (k-q)^2 } \) \;\Bigg]
   \;\; . \quad 
\eea % D3
Man sieht nun, da\ss\ hier die $\ln(N)$'s heraus fallen, 
n\"amlich wegen $A-B=1\,$, s. \eq{1.2}. Nach Ausf\"uhren der 
beiden Antisymmetrisierungen werden die Logarithmus--Argumente
reell. Der regulatorfreie ln vereinfacht sich dabei zu
\be{D4}
  \ln \( {q_0^2 + q^2 + 4kq + 4 k^2 \0
          q_0^2 + q^2 - 4kq + 4 k^2 } \) \; \glr \; 
          \ln \(\phantom{Bruch}\)  \; , \quad 
\ee % D4
w\"ahrend $A$-- und $B$--Term mit Blick auf 
 % Das versteht keiner:  die Verwendung von \eq{D4} und auf 
das sp\"atere Weglassen von ${\cl O}(1/\L^2)$--Termen 
wie folgt vereinfacht werden kann\,:
\be{D5}
    {\cl L}(q_0,q,k)  \, = \, \ln \(\phantom{Bruch}\)
       - A\,{8kq \0 \L^2 + q_0^2 + q^2 }
       + B\,{8kq \0 \G^2 + q_0^2 + q^2 } \;\; . \quad    
\ee % D5
Dies setzen wir in \eq{D1} ein, bezeichnen $q_0^2 + q^2$ mit $r^2\,$,
denken 4D-euklidisch und erinnern an \eq{A4} mit nun
$d^4x = dq_0\,d^3q\,$, sowie $q=r\sin(\ta) \glr r s\,$. Damit 
l\"a\ss t sich $I{^{\int}}_{TT}$ als $p$--$k$-- Integral \"uber 
eine Winkelmittelung begreifen\,:
\be{D6}
  I{^{\int}}_{TT}\; = \; \( {1\0 8\pi^2} \)^2 {1\0 16 \pi^2}
     \!\int_0^\infty \!\!\! dp \, n(p) 
     \!\int_0^\infty \!\!\! dk \, n(k) \;\; {\cal W}
\ee % D6
mit
\be{D7}   \hspace*{-11mm}
 {\cal W} = {\O_4 \0\pi^2} 
     \! \int_0^\infty \!\! dr \; r\; \Biggl< \; {1\0s^2} 
     \lk \; \ln_{p} - 8prs C(r) \rk
     \lk \; \ln_{k} - 8krs C(r) \rk
     \; \Biggr>   \;\; , \qquad
\ee % D7
wobei
\be{D8}
   \ln_{\,p} \gll \ln \( {r^2+4p^2+4prs \0 r^2+4p^2-4prs} \) 
   \quad {\rm und} \quad
   C(r) \gll {A\0\L^2+r^2} - {B\0\G^2+r^2} \quad ({\rm kurz}\;C) 
   \;\; . \quad
\ee % D8
\eq{D7} spalten wir nun per ${\cl W = \cl W_1+\cl W_2}$ auf in 
einen \glqq interessanten\grqq\ Term $\cl W_1\,$, welcher
die Pauli--Villars--Regulatoren enth\"alt, und in $\cl W_2$
mit dem restlichen Produkt zweier Logarithmen. Dessen 
Gro\ss --$r$--Asymptotik wird (f\"ur Konvergenz sorgend)
in $\cl W_2$ subtrahiert und in $\cl W_1$ addiert\,:
\bea{D9}
  \cl W_1 &=& 2 \!\int_{\!\wu \e}^\infty \!\! dr \; r \,
      \( {64 p k\0 r^2} + 64 pk r^2 C^2 
      - 8pr C \lw {1\0s} \,\ln_{\,k} \rw
      - 8kr C \lw {1\0s} \,\ln_{\,p} \rw \) \;\; , \quad \\
  \label{D10}
  \cl W_2 &=& 2 \!\int_{\!\wu \e}^\infty \!\! dr \; r \,
   \( \Bigl<\, {1\0s^2}\, \ln_{\,p}\,\ln_{\,k}\;\Bigr> 
    - {64 p k\0 r^2} \) \;\; . \quad 
\eea % D9 , D10
Die Kontrolle der unteren $r$--Grenzen ist nur erforderlich,
solange $\cl W_1$, $\cl W_2$ separat behandelt werden,  
Bei den Mittelungen in \eq{D9} kommen wir mittels \eq{A11} 
weiter und erhalten
\be{D11}
   \Bigl< {1\0s} \,\ln_{\,k} \Bigr> \;= \;{1\0 kr} 
   \( r^2 +4k^2 - | r^2-4k^2 | \) \;\; \to \;\; 
   {8 k \0 r} \;\; . \quad
\ee % D11
Die rechts stehende Vereinfachung ist erlaubt, weil $r$--Werte
in der Gr\"o\ss enordnung von $k$ oder $p$ ersichtlich nur in 
$\cl O (1/\L^2)$ bei $\cl W_1$ zu Buche schlagen. Nach 
Substitution $r^2=t$ entsteht
\be{D12}
  \cl W_1 = 64\,p\,k \!\int_\e^\infty \!\! dt \; \( {1\0t} + t\,C^2 
  -2\,C \) \; , \;\; C={A\0t+\L^2} - {B\0t+\G^2} \quad . \quad  
\ee % 12
Die $t$-Integrationen sind elementar. Resultat\,:
\be{D13}
  \cl W_1 = 64\,p\,k \; \Big( -\ln(\e) - 1 + {\rm LN} \,\Big) 
    + \cl O (\L^{-2}) \;\; \quad
\ee % D13
mit LN siehe \eq{2.45}.

Es bleibt $\cl W_2$ auszuwerten. Das Winkelmittel in \eq{D10}
haben wir ($a,\,b$ geeignet w\"ahlend) in \eq{A12} stehen.
\eq{D10} erh\"alt damit die Gestalt
\be{D14}
 \cl W_2 = 2 \!\int_{\!\wu \e}^{\wu N} \!\! dr \; r \;
    \lk \cl J \( a={r^2+4p^2\0 4pr} \,,\, b= {r^2+4k^2)\0 4kr} \) 
     - {64pk\0r^2} \rk \Bigg|_{\,N\to\infty} \;\; . \quad  
\ee % D14
F\"ur die obere $x$--Integrationsgrenze ($\glr\,$upper, $r^2 \glr y$) 
in \eq{A12} ergibt sich  
\be{D15}
  (a-\wu{a^2-1})\,(b-\wu{b^2-1}) = { (y+4p^2-|y-4p^2|)\,
     (y+4k^2-|y-4k^2|) \0 16\,p\,k\,y } \;\; , \quad
\ee % D15
so da\ss\ $\cl J = 8 \int_0^{\rm upper} \! dx \;{1\0x} \,\ln
({1+x \0 1-x} )$ entsteht. Das Doppelintegral \"uber $r$ und $x$
sieht nur im ersten Moment \"ubel aus. Via Vertauschung dieser
Integrale sird sich $\cl W_2$ alsbald exakt auswerten lassen. 
Sei oBdA $k<p\,$. Nach Substitution $r^2=y$ entsteht dann
\be{D16}
   \cl W_2 = \int_\e^N \!\!\! dy \!\lk \cl J - {64pk\0y} \rk
    = \int_\e^{4k^2} \!\!\!\!\! dy \,\cl J +
      \int_{4k^2}^{4p^2} \!\!\!\! dy \,\cl J +
      \int_{4p^2}^N \!\!\!\! dy \,\cl J 
    -4pk \int_\e^N \!\!\! dy \,{1\0y} \;\; . \quad
\ee % D16
Unter dem ersten Integral wird upper zu $y/(4pk)\,$, das zweite
hat upper$\,=k/p\,$, und im dritten ist upper$\,=64pk/y\,$. 
Integrale--Vertauschung hat nichts mit dem Integranden zu tun\,:
\be{D17}
    \int_\e^{4k^2} \!\!\!\!\! dy \int_0^{{y\04pk}} \!\!\! dx
   = \!\int_0^{{k\0p}} \!\! dx  \int_{4pkx}^{4k^2} \!\!\!\!\!\! dy 
   \quad , \quad
   \int_{4p^2}^N \!\!\!\! dy \int_0^{{4pk\0y}} \!\!\! dx
   = \!\int_0^{{4pk\0N}} \!\!\! dx \!\int_{4p^2}^N \!\! dy
     + \!\int_{{4pk\0N}}^{{k\0p}} \!\! dx 
     \!\int_{4p^2}^{{4pk\0x}} \!\!\!\! dy
\ee % D17
Die Vertauschung im zweiten Integral in \eq{D16} ist trivial. 
Da $\cl J$ nicht von $y$ abh\"angt, sind alle $y$--Integrale 
bequem ausf\"uhrbar. $N$ noch im Endlichen belassend entsteht 
zun\"achst
\bea{D18}
   \cl W_2 &=& -64pk \!\int_0^{k\0p} \!\!\! dx \;
              \ln \( {1+x\01-x} \) + 8N
      \!\int_0^{{4pk\0N}} \!\!\! dx \;{1\0x}\;\ln \( {1+x\01-x} \) 
    \hspace*{34mm} \nonu \\ & & \hspace*{-11mm}
   +64pk \!\int_{{4pk\0N}}^{{k\0p}} \!\! dx \!\lk {1\0x^2}\;
         \ln \( {1+x\01-x} \) -{2\0x} \rk
   +64pk \!\int_{{4pk\0N}}^{{k\0p}} \!\! dx \; {2\0x} 
   -64pk \,\ln\( {N\0\e}\) \;\; . \quad
\eea % D18
Nun $N\to\infty$ auszuf\"uhren ist vergn\"uglich\,:
der zweite Term wird zu $64\,p\,k\,$ und der dritte bekommt
untere Grenze Null. Mittels 
\be{D19}  \hbox{\footnotesize $\dis 
  {1\0x^2}\;\ln \( {1+x\01-x} \) - {2\0x} - \ln \( {1+x\01-x} \) 
 \; = \;\6_x \lk - {1\0x}\;\ln \( {1+x\01-x} \) 
      - x\;\ln \( {1+x\01-x} \) -2\;\ln \(1-x^2\) \rk $ }
\ee  % D19
kommen wir an bei
\be{D20}   \hspace*{-1mm}
   \cl W_2 = -64\,p\,k \!\lk \ln\( \e\) +2 -\,\ln\( 2 \)
             - { (p+k)^2 \0 2pk}\,\ln\(p+k\)
             + { (p-k)^2 \0 2pk}\,\ln\(p-k\) \!\rk \; . \;
\ee  % D20
An das Argument von Logarithmen sind \"ubrigens stets
Betragsstriche hinzuzudenken\,: $\ln(\ldots ) \gll \ln(|\ldots |)\,$.
\eq{D20} zeigt sch\"on, da\ss\ die anf\"angliche Unterstellung
$p<k$ keine Einschr\"ankung darstellte. Nach Blick auf \eq{D13} 
folgt f\"ur die Summe $\cl W = \cl W_1+\cl W_2\,$, da\ss\
\be{D21}
   \cl W = 64\,p\,k \lk  1 - 2\,\ln\( 2 \) + {\rm LN}
             - { (p+k)^2 \0 2pk}\,\ln\(p+k\)
             + { (p-k)^2 \0 2pk}\,\ln\(p-k\) \rk \;\; .\quad
\ee % D21
Der Integrand von \eq{D6} ist hiermit explizit geworden. 
Nach Skalierung $p \to Tp$ und $k \to Tk$ folgt
\be{D22}  \!\!
  I{^{\int}}_{TT} = \( {1\0 8\pi^2} \)^2 {4\,T^4\0 \pi^2} \(
       [ 1 -2\,\ln\(2T\) + {\rm LN} ]
     \!\int_0^\infty \!\!\!\! dp \; {p\0e^p-1} 
      \int_0^\infty \!\!\!\! dk \; {k\0e^k-1} 
     - {1\02}\;\cl U\, \) \; . \;
\ee % D22
Obiges Doppelintegral wird mit \eq{G9} zu $\pi^4/36$. Auch $\cl U$
ist ein Doppelintegral. Es wird auch sp\"ater noch ben\"otigt\,:
\bea{D23}
 \!\cl U \!\!&=&\!\!
      \int_0^\infty \!\!\! dp \;\; {1 \0 e^p-1}
      \int_0^\infty \!\!\! dk \;\; {1 \0 e^k-1}\,
      \Big[\, (p+k)^2 \,\ln(p+k) - (p-k)^2 \,\ln( p-k ) \,\Big] 
             \nonu \\[1mm]
  \!\!&=&\!\! \int_0^\infty\!\! dp \; {1\0e^p-1} \lk
        \big( \int_0^\infty \!\!\! -\int_0^p \big)\,dk\;
              {k^2\,\ln(k) \0 e^{k-p} -1 } 
     - \big( \int_0^\infty \!\!\! +\int_{-p}^0 \big)\,dk\;
              {k^2\,\ln(k) \0 e^{k+p} -1 } \rk \; . \quad
\eea % D23
In der eckigen Klammer kombinieren zweites und viertes Integral 
(in diesem\,: $k\to-k$) sch\"on zu $\int_0^p\! dk \; k^2\,\ln(k) = 
p^3\,\ln(p)/3 - p^3/9\,$, so da\ss\
\bea{D24}
  \cl U &=& \cl U_1 + \cl U_2 \quad {\rm mit} \quad
       \cl U_1 = \int_0^\infty \!\! dk \; k^2\,\ln(k) 
          \int_0^\infty \!\! dp \; {1\0e^p-1} \(
       {1\0 e^{k-p} -1} - {1\0e^{k+p} -1 } \)  \nonu \\[1mm]
  & & \hspace*{17mm} {\rm und} \quad      
       \cl U_2 = {1\03}\!\int_0^\infty\!\! dp \; 
           {p^3\,\ln(p) \0 e^p-1} - {1\09}\!\int_0^\infty 
           \!\! dp \; {p^3 \0 e^p-1} \;\; . \quad
\eea % D24
Partialbruchzerlegung f\"uhrt auf
\be{D25}
  \cl U_1 = \int_0^\infty \!\! dk \; {k^2\,\ln(k) \0 e^k-1}
   \int_0^\infty \!\! dp \lk {e^k-1 \0 e^{p+k}-1} 
       + {1\0 e^{p+k} -1} - {1\0 e^{p-k}-1}\rk \;\; . \quad   
\ee % D25
Es folgen $p$--Integration, eine partielle Integration (im 
Nenner--freien Term) und die Addition $\cl U = \cl U_1 + \cl U_2\,$:
\be{D26}
  \cl U \;=\; {5\03} \int_0^\infty \!\! dk \; {k^3\,\ln(k) \0 e^k-1}
    - {2\09} \int_0^\infty \!\! dk \; {k^3 \0 e^k-1} 
      \;=\; {\pi^4\09} \lk \,\ln(2\pi) - z_3 \rk 
      - {2\09}\,{\pi^4\015} \;\; . \quad   
\ee % D26
Rechts hatten wir das erste Integral aus \eq{H35} entnommen,
w\"ahrend das zweite bereits in \eq{G9} steht. Wir best\"ucken
\eq{D22} und erhalten
\be{D27}
   I{^{\int}}_{TT} = \({1\04\pi}\,{T^2\06} \)^2
     \lb \Big[ 1 -2\,\ln\(2T\) + {\rm LN} \Big] 
   - 2 \Big[ \ln\( 2\pi \) - z_3 -{2\015} \Big] \rb \;\; , \quad
\ee % D27
d.h. das in \eq{4.19} angegebene Resultat. \\

Wie in \eq{4.18} notiert, hat $I_{TT}$ noch seinen zweiten
Anteil \\[1mm] 
   \hspace*{7cm}{\boldmath$I^{^{\rm ohne}}_{TT}\;$}. \\[1mm]
Wie sich bald zeigt, ben\"otigt er keine Regularisierung,
weil seine Integrale \glqq von alleine\grqq\ endlich bleiben.
Diesem Umstand vorgreifend, darf in $w_T$, siehe \eq{4.16},
der Operator $\Vau_t$ entfallen und ebenso $t$ im dort 
nachfolgenden Nenner. Ausgangspunkt ist somit
\bea{D28} 
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} &=& \sum_Q^{\rm ohne} {1\08\pi^2q} 
     \int_0^\infty \! dp \; n(p)  \int_0^\infty \!\! du   
     \; \Bigg[ \;\cl A_q \,\cl A_p \; 
    {1\0 u - (i\o_n^Q - p )^2 + (p-q)^2 } \;\cdot
      \nonu \\  
    & & \hspace*{-7mm} \cdot\; {1\08\pi^2q} 
     \int_0^\infty \! dk \; n(k)  \int_0^\infty \!\! dv   
      \; \cl A_{q'} \,\cl A_k \; 
    {1\0 v - (i\o_n^Q - k )^2 + (k-q')^2 } \; \Bigg]_{q'=q} 
    \, . \qquad
 \eea % D28
Da\ss\ wir hier \anke bei allem Respekt vor Arnold--Zhai's 
elegantem Verfahren \cite{AZ} \anke bei Auswertung von \eq{D28} 
einen alternativen Weg gehen, beruht im wesentlichen auf 
Eigensinn. Es mu\ss\ auch \glqq direkt\grqq\ gehen. Einige
Integrierkunst ist vorzuzeigen. Und am Ende wird ein 
unabh\"angiger Test gelungen sein.

Der erste Schritt zur Behandlung von \eq{D28} wurde bereits 
mit \eq{4.12} vorbereitet. Die dortige $z$--Integration kann an 
das Produkt der beiden Br\"uche herangezogen werden. Nat\"urlich
steht nun $Q_0=\o_n^Q$ f\"ur das $P_0$ in \eq{4.12}\,: 
\bea{D29}
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} &=&  \({1\08\pi^2}\)^2 {1\02\pi^2}
      \int_0^\infty \!\! dq \int_0^\infty \! dp \; n(p)
      \int_0^\infty \! dk \; n(k)
      \int_0^\infty \!\! du  \int_0^\infty \!\! dv  
                \hspace*{3cm} \nonu \\ 
   & & \Bigg[ \;\cl A_q \,\cl A_p \; \cl A_{q'} \,\cl A_k \; 
         \({-1\0 2\pi i}\) 
       \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
        \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
        \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
        \end{picture}  }
       dz\; n(z)_{{\rm ignoriere\; Pole}} \; \Big( F(z) + F(-z) \Big)  
        \; \Bigg]_{q'=q} \, , \qquad
\eea % D29
und dies gilt \anke wir machen die Pole explizit \anke mit
\bea{D30}
  F(z) + F(-z) &=& {1\0 z-p-w_u}\; {1\0 z-p+w_u}\; 
                 {1\0 z-k-w_v}\; {1\0 z-k+w_v} \nonu \\
   & & {} + {1\0 z+p+w_u}\; {1\0 z+p-w_u}\; 
                 {1\0 z+k+w_v}\; {1\0 z+k-w_v} \;\; , 
                 \quad  \qquad \\[2mm]
   {\rm wobei} & & w_u \gll \wu{ u+(p-q)^2} \quad {\rm und} \quad
        w_v \gll \wu{ v+(k-q')^2} \;\; . \quad \nonu
\eea % D30
\eq{D30} zeigt, da\ss\ wegen der voranstehenden $\cl A$--Operationen 
jeder der Nenner im rechten $z$--Halbraum Null werden kann, und
erkl\"art die Signums 
\be{D31}
   \sigma (x) \gll {\rm sign}(x) \; n(|x|) \quad , \quad
           \sigma (-x) = - \,\sigma (x)
\ee % D31
im Resultat\,: 
\bea{D32}  
  & &       {-1\0 2\pi i} 
       \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
        \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
        \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
        \end{picture}  } 
       dz\; n(z)_{{\rm igno ...}} \; \Big( F(z) + F(-z) \Big) 
      \;\; = \nonu \\[2mm]  
   & & \( \;{\sigma(p-w_u) \02 w_u } \, {1\0 (p-k-w_u)^2 - w_v^2}
     \; +\; {\rm dito}_{w_u \to -w_u} \) \;\;  + \;\; 
    {\rm dito}_{\vbox{\hbox{\scriptsize $\;k$ mit $p$ vertauscht}
         \vskip -3mm
         \hbox{\scriptsize \hspace*{1mm}und $w_v$ mit $w_u$}}}    
     \;\; . \hspace*{12mm}    
\eea % D32
Die soeben genannten Vertauschungen sind unter den in \eq{D29}
vorgespannten Operationen erlaubt ($w$--Vertauschung wegen 
\glqq $u$ mit $v$\grqq , \glqq $p$ mit $k$\grqq\ und \glqq $q$ 
mit $q'$\grqq), so da\ss\ das rechtsstehende zweite dito nur einen 
Faktor 2 beitr\"agt. Aus \eq{D32} wird also
\be{D33}
  {\sigma(w_u+p) \0 w_u \lk v + (k-q')^2 - (w_u+p-k)^2 \rk }
  + {\sigma(w_u-p) \0 w_u \lk v + (k-q')^2 - (w_u-p+k)^2 \rk}
   \quad . \quad
\ee % D33
Wir sehen, da\ss\ hiermit das Integral \"uber $v$ ausf\"uhrbar ist.
Da die Variable $u$ nur via $w_u$ vorkommt, empfiehlt sich
die Substitution $t=  \wu{ u+(p-q)^2}\,$. Zwischenresultat\,:
\bea{D34}
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} &=&  \({1\08\pi^2}\)^2 {1\0\pi^2}
      \int_0^\infty \!\!\! dq \int_0^\infty \!\!\! dp \; n(p)
      \int_0^\infty \!\!\! dk \; n(k) \,\Bigg[ 
         \,\cl A_q \,\cl A_p \; \cl A_{q'} \,\cl A_k  
    \int_{|p-q|}^\infty\!\!\!\!dt\; \Bigg( -\sigma(t+p)\,\cdot \nonu \\
   & & \hspace*{-11mm} \cdot\;
       \ln \( (k-q')^2 - (t+p-k)^2 \)
      -\sigma(t-p)\; \ln \( (k-q')^2 - (t-p+k)^2 \) \Bigg)
        \,\Bigg]_{q'=q} \hspace*{-1mm} . \qquad
\eea % D34
Nach einigen naheliegenden Schritten entsteht
\bea{D35}
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} &=&  -2\({1\08\pi^3}\)^2
      \int_0^\infty \!\! dp \; n(p)
      \int_0^\infty \!\! dk \; n(k)   \nonu \\[2mm]
    & & \hspace*{-16mm}
      \int_0^\infty \!\!\! dq \; 
      \lk \int_{|p-q|-p}^{|p+q|-p} \!\!\! dt \;
       \; + \; \int_{|p-q|+p}^{|p+q|+p} \!\!\! dt \rk \sigma (t)
      \;\; \ln \( \,{ t+q-2k \0 t-q-2k } \,\; 
      { t-q+2k \0 t+q+2k }\, \) \;\; . \quad
\eea % D35
Nur das $q$--Integral hat keine Bosefunktion vor sich. Also
versuchen wir, es mit dem $t$--Integral zu vertauschen. 
Mit etwas Malen ergibt sich, da\ss\
\be{D36}
  \int_0^\infty \!\!\! dq \;  \Bigg[ \qquad \Bigg] 
  = \int_0^\infty \!\! dt \,\int_{t-2p}^{t+2p} \!\! dq \quad + \quad
    \lower 5mm\vbox{\hbox{Doppelintegrale, welche ver--} 
       \vskip -1.2mm \hbox{schwinden weil der Integrand} 
       \vskip -1.2mm \hbox{in $t$ und in $q$ ungerade ist \quad .}} 
\ee % D36
Weil im verbliebenen Term $t$ positiv bleibt, wird $\sigma(t)$
zu $n(t)\,$. Die $q$--Integration ist ausf\"uhrbar\,:
\bea{D37}
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} &=&  \({1\04\pi^3}\)^2
      \;\int_0^\infty \! dp \; n(p)
      \;\int_0^\infty \! dk \; n(k) 
      \;\int_0^\infty \! dt \; n(t) \;\;\cdot   \nonu \\[1mm]
    & & \hspace*{-11mm}\Big[ 
    \;(t+k+p)\,\ln\(t+k+p\) - (t-k+p) \,\ln\(t-k+p\)
    \;\; - \;\; {\rm dito}_{p\to -p} \;\Big]  \;\; . \quad
\eea % D37
Das Dreifachintegral existiert. Sein Integrand ist in den
Variablen $p$, $k$, $t$ total symmetrisch, d.h. invariant unter 
allen Zweier--Permutationen. Zur Erinnerung, mit 
\glqq $\ln(x)$\grqq\ ist stets $\ln(|x|)$ gemeint, es gilt
also $\6_x \ln(x) = 1/x$ auch f\"ur $x<0\,$.

Zur weiteren Auswertung skalieren wir zuerst per 
$p\to Tp\,$, $k\to Tk\,$, $t\to Tt\,$, und unterteilen
ein wenig\,:
\bea{D38}
 \! I^{^{\rm ohne}}_{TT} &=&  \({T^2\04\pi^3}\)^2 
   \int_0^\infty \!\! dp \; {1\0 e^p -1} \,\cl K (p) \;\;,
   \;\; \cl K (p) = \int_0^\infty \!\! dk \; {1\0 e^k -1} \;
   \cl T (p,k) \qquad 
\eea % D38
\vskip -5mm \noindent mit \vskip -10mm
\bea{D39}
   \cl T (p,k) &=& \int_0^\infty 
    \!\! dt \; {1\0 e^t -1}\; \Big[ \;(t+k+p)\,\ln\(t+k+p\)  
    \hspace*{5.3cm} \nonu \\[-2mm]
   & & \hspace*{2.4cm}  -\, (t-k+p) \,\ln\(t-k+p\) 
    - \;\; {\rm dito}_{p\to -p}  \;\; \Big] \quad \nonu \\[1mm]
   &=& \int_{p+k}^\infty \!\! dt \; {t\;\ln(t) \0 e^{t-p-k} -1 }
     - \int_{p-k}^\infty \!\! dt \; {t\;\ln(t) \0 e^{t-p+k} -1 }
     - \;\; {\rm dito}_{p\to -p}   \nonu \\[1mm]
   &=& \int_0^\infty \!\! dt \; t\;\ln(t) \;\Big(\;
       {1\0 e^{t-p-k} -1} - {1 \0 e^{t-p+k} -1}  - \; 
       {\rm dito}_{p\to -p} \;\Big) \;+\; Rest \; . \quad
\eea % D39
Wie sch\"on sich nun der 
\be{D40}
  Rest \; = - \int_0^{p+k} \!\! dt \; { t\;\ln(t) \0 e^{t-p-k} -1 }
         + \int_0^{p-k} \!\! dt \; { t\;\ln(t) \0 e^{t-p+k} -1 }
         \;\, - \;{\rm dito}_{p\to -p} \quad
\ee % D40
vereinfacht, indem man die beiden dito-Terme per
\be{D41}
  \int_0^{-a} \! dt \; f(t) = - \int_0^a \! dt \; f(-t) \qquad
   {\rm und} \qquad {1\0 e^{-x} - 1} = -1 -{1\0e^x -1} \quad
\ee % D41
bearbeitet, das sei des Lesers Vergn\"ugen. Er erh\"alt
\be{D42}
  Rest\, = \int_{p-k}^{p+k} \!\! dt \; t\;\ln(t)  = {(p+k)^2\02}
        \;\ln(p+k) - {(p-k)^2\02}\;\ln(p-k) -pk \quad . \quad
\ee % D42

Es l\"a\ss t sich erahnen, da\ss\ man nun das $t$--Integral 
in \eq{D39} besser so stehen l\"a\ss t und sich im n\"achsten
Schritt um das $k$--Integral $\cl K (p)$ k\"ummert\,:
\be{D43}
  \cl K (p) = \cl K_1(p) - \cl K_1 (-p) + \cl K_2 (p) 
  \qquad {\rm mit} \qquad  \cl K_2 (p) = \int_0^\infty \!\!
     dk \; { Rest \0 e^k -1} \quad  
\ee % D43
\vskip -5mm \noindent und \vskip -10mm
\bea{D44}
 \!\cl K_1 (p) &=& \int_0^\infty \! dk \; {1\0e^k-1}  
         \int_0^\infty \! dt \; t \;\ln(t)\; \Big(\;
         {1\0e^{t-p-k}-1} - {1\0e^{t-p+k}-1}\;\Big) \nonu \\[1mm]
  &=&  \int_0^\infty \! dk \int_0^\infty \! dt \; t \;\ln(t)\; 
        {1\0e^{t-p}-1} \lk {1\0e^{t-p-k}-1} 
          + {e^{t-p}\0 e^{t-p+k}-1} \, + 1 \rk \;\; , \qquad
\eea % D44
wobei die zweite Zeile von \eq{D44} mittels Partialbruchzerlegung
entstanden ist. 

Wie sch\"on, meint nun wohl jeder im ersten 
Moment, das $k$--Integral kann an die eckige Klammer gezogen 
und elementar ausgewertet werden. Aber das wird falsch\,! 
\,Eine \"uble Falle steht bereit. 

\noindent
\parbox[t]{11.6cm}{
Nebenstehend sind die Pollinien des Integranden aufgemalt.
Sie schneiden sich bei $t\!=\!p\,$. Wie es in der Gefahrenzone 
(Halbkreis) zugeht, lernt man am besten an einem einfachen 
Modell. Es entsteht aus $\cl K_1 (p)$ indem wir $t\,\ln(t)$ bei 
$t=p$ nehmen (und weglassen), per $t \to t+p$ verschieben,
die Nenner vereinfachen und vorsichtshalber den exponentiellen 
Abfall des Integranden bei gro\ss en $k$, $t$ durch Abschneiden 
bei $k=a$ bzw. $t=b$ simulieren\,: }
\hspace*{6mm}
\parbox[t]{4.5cm}{\vskip 14mm \unitlength .9cm 
\begin{picture}(4,2)
  \put(0,0){\vector(1,0){3.6}} \put(3.7,-.1){$k$}
  \put(0,0){\vector(0,1){3.6}} \put(.15,3.4){$t$}
 \put(-.4,1.4){$p$} \put(1.4,2.47){$t=p+k$} \put(1.4,.3){$t=p-k$} 
  \put(0,1.5){\line(1,1){2}} \put(0,1.5){\line(1,-1){2}}
      \put(0,1.5){\oval(1,1)[r]} \put(.1,-.3){$\e$}
  \qbezier[30](.2,-.1)(.2,1.5)(.2,3.1)
\end{picture} }
\be{D45}
  \cl M (p) = \int_\e^a \! dk \,\int_{-p}^\infty \! dt\; 
     {1\0k} \lk {1\0 t-k} - {1\0 t+k} \rk 
     \;=\; \int_\e^a \! dk \;\, \( \int_\e^p + \int_0^b \,\)\, 
     dt\; \ldots  \;\; , \;\;
\ee % D45
denn der Integrand ${1\0k} \lk {1\0 t-k} - {1\0 t+k}\rk  
  = {1\0t} \lk {1\0 k+t} - {1\0 k-t} \rk = {2\0 t^2-k^2}\,$
ist eine gerade Funktion in $t$ und in $k$. F\"uhren wir
zuerst die $t$--Integration aus, so folgt
\be{D46}
  \cl M^{{\rm erst}\;t} = - \!\int_\e^a \!\!\! dk 
         \; {1\0k}\,\ln\( {p+k\0p-k} \; {b+k\0b-k}\)
   \; \to \;
   - \( \int_0^{a/p} \!\!\! + \int_0^{a/b}\! \)\, dk\;   
        {1\0k}\,\ln\( {1+k\01-k} \) \; . \;
\ee % D46
denn hier war $\e \to 0$ gefahrlos ausf\"uhrbar.
Jetzt vertauschen in wir in \eq{D45} das $k$--Integral mit
den $t$--Integralen und erhalten
\be{D47}
  \cl M^{{\rm erst}\;k} =  
  \( \int_0^p \!\!\! + \int_0^b \)\, dt\; {1\0t}   
          \lk \ln\( {a+t\0 a-t}\) - \ln\( {\e+t\0 \e-t}\) \rk
\ee % D47
Ist es nicht sehr verf\"uhrerisch, mit $\e\to0$ im Kopf
den zweiten ln einfach wegzulassen\,? \,Er w\"are gar nicht 
erst entstanden, wenn wir von vornherein bei $\e=0$ geblieben 
w\"aren, mit falschem Resultat. Das ist die Falle. 

Nat\"urlich sehen wir nach, wie es richtig wird. Hinter
jedem der folgenden leeren Integralzeichen denke man sich 
$\,dt\;\ln\({1+t\01-t}\)\,$ stehen\,: 
\bea{D48}
  \cl M^{{\rm erst}\;k} &=& \int_0^{p/a} \!\!\! 
   + \int_0^{b/a} \!\!\!- \int_0^{p/\e} \!\!\! - \int_0^{b/\e} 
  = \int_{a/p}^\infty \!\!\! + \int_{a/b}^\infty \!\!\! 
    - \int_{-b/\e}^{p/\e}  = \, 2 \!\int_0^\infty \!\!\! 
    - \int_0^{a/p} \!\!\! - \int_0^{a/b} \!\!\!
    - \int_{-b/\e}^{p/\e} \nonu \\ 
  &=&  \pi^2 + \cl M^{{\rm erst}\;t} - \int_{-b/\e}^{p/\e} \!\!\!
       dt\;{1\0t}\;\ln\({1+t\01-t}\) \;\; \to \;\; 
   \cl M^{{\rm erst}\;t} \quad {\rm bei} \quad \e\to 0 \;\; . \quad
\eea % D48
Beim zweiten Gleichheitszeichen der oberen Zeile war die 
Substitution $t=1/\tau$ beteiligt, und obiges $\pi^2$ beruht 
auf $2\!\int_0^\infty = 4 \! \int_0^1\! dt \; {1\0t}\,
\ln\({1+t\01-t}\) = 8\!\int_0^1 \! dx \; {\ln(x)\0 x^2-1} 
= \pi^2\,$, siehe Bronstein. {\bf Fazit}: will man die Integrale
in \eq{D44} vertauschen, so {\bf mu\ss } zuvor das $k$--Integral 
$\e$--kontrolliert werden.

Weiter mit \eq{D44} \ -- \ aber nun mit $\e$--Kontrolle am 
$k$--Integral\,:
\be{D49}
 \cl K_1 (p) = \int_0^\infty\!\! dt \; {t\,\ln(t)\0 e^{t-p}-1}
   \;\,\Big[\, \ln\( 1-e^{t-p-\e}\) -e^{t-p} \,
   \ln\(1-e^{-t+p-\e}\) \,\Big]  \;\;\; . \quad
\ee %  D49
Die eckige Klammer l\"a\ss t sich als
\be{D50}
  \Big[ \quad\; \Big] = - \big( e^{t-p} -1 \big) \;
     \ln\( 1-e^{-t+p}\,e^{-\e} \) + t - p + \,\ln\( e^{t-p-\e} -1\)
     - \,\ln\( e^{t-p} - e^{-\e} \) \;\;\quad
\ee % D50
schreiben. Und jenes $e^{-\e}$ im ersten ln--Argument d\"urfen 
wir getrost 1 setzen. Das gibt
\bea{D51}
  \cl K_1 (p) &=& - \int_0^\infty \!\! dt \; t\,\ln(t)\;\ln\( 1-e^{-t+p}\)
   \;+\; \int_0^\infty \!\! dt\; { (t^2-tp)\,\ln(t) \0 e^{t-p} -1 }
     \nonu \\[1mm]
   & & {} + \int_0^\infty \!\! dt \; {t\,\ln(t) \0 
       e^{t-p} -1 }\; \ln\( { e^{t-p-\e } -1 \0 e^{t-p} 
       - e^{-\e} } \) \;\; . \quad
\eea  % D51
Erkennen Sie die Falle\,? \,In der zweiten Zeile ist sie 
pr\"apariert\,: nicht jetzt schon $\e=0$\,! \,Der dortige letzte
Logarithmus wird rasch Null, sobald $t-p$ den $\e$--Bereich 
verl\"a\ss t. Also kann $\,t\,\ln(t)\,$ als $\,p\,\ln(p)\,$
vor das Integral wandern und das Argument des letzten
ln linearisiert werden\,: \\[-6mm]
\be{D52}  \hspace*{6mm}
  \hbox{ 2. Zeile von \eq{D51}} \;\; \to \;\;
  p\,\ln(p) \int_{-p}^\infty \!\! dt \; {1\0t}\;
  \ln\( {t-\e \0 t+\e } \)\;\; \to \;\; - \pi^2\,p\,\ln(p)
  \;\; . \quad
\ee % D52
Sogleich ist vor einer weiteren Falle zu warnen. In 
$\cl K_1(-p)$ \ -- \ so in \eq{D43} enthalten \ -- \ tritt der 
Term \eq{D52} {\bf nicht} auf\,: \, der Pol bei $t=-p$ wird 
dann von $t$ nicht \"uberstrichen. % Das m\"ussen wir uns merken.

Wir blicken auf \eq{D38} zur\"uck und sind froh, endlich alle
drei Bestandteile von $\cl K(p)$ zu kennen. F\"ur 
$\cl K_2(p)\,$, siehe \eq{D43} und \eq{D42}, steht n\"amlich 
bereits die $p$--integrierte Version bereit\,:
\be{D53} 
  \int_0^\infty \!\!\! dp \; {1\0 e^p-1} \;\cl K_2(p) \,=\, 
  {1\02}\,\cl U \;- \,{\pi^4\036} 
  \,=\, {5\06} \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3\,\ln(t) \0 e^t-1}
    - {1\09} \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3 \0 e^t-1} 
    - {\pi^4\036} \;\; , \quad
\ee % D53
denn f\"ur $\cl U\,$, siehe \eq{D23}, hatten wir \eq{D26}
erhalten. Nach partieller Integration im ersten Term von
\eq{D51} und mit vetauschten Doppelintegralen schreibt sich
$I^{^{\rm ohne}}_{TT} $ inzwischen wie folgt\,:
\bea{D54}
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} &=& \({T^2\04\pi^3}\)^2 \Bigg\{ \;
    \int_0^\infty \!\! dt\; t^2 \lk {3\02}\,\ln(t) -{1\04} \rk
    \int_0^\infty \!\! dp\; {1\0e^p -1} \,
   \( {1\0 e^{t-p} -1} - {1\0 e^{t+p} -1} \)  \nonu \\[1mm]
   & & {} -\int_0^\infty \!\! dt \; t^2 
           \int_0^\infty \!\! dp \; {p\0e^p-1}
   \( {1\0 e^{t-p} -1} + {1\0 e^{t+p} -1} \)  \nonu \\[1mm]
   & & {} - \pi^2 \int_0^\infty \!\! dt \; {t\,\ln(t) \0 e^t-1}
      + {5\06} \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3\,\ln(t) \0 e^t-1}
    - {1\09} \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3 \0 e^t-1} 
    - {\pi^4\036} \; \Bigg\} \;\; . \quad
\eea % D54
Sind wir etwa soeben blind in die bekannte Falle getappt und 
h\"atten vor Integrale--Vertauschung $\int_0^\infty\! dp$ durch 
$\int_\e^\infty\! dp$ ersetztn m\"ussen\,? Schreck la\ss\ 
nach\,! Die Antwort ist {\sl Nein} und beruht darauf, da\ss\ 
der mit $t \to 0$ verschwindende Z\"ahler den 
Gefahrenbereich entsch\"arft. Auch in \eq{D24} hatten wir 
schon einmal Gl\"uck. \\
Die nun zu \eq{D54} anstehenden Partialbruchzerlegungen 
sowie gelegentliche R\"uckvertauschung per 
$\int_0^\infty\! dt \int_t^\infty\! dp = 
\int_0^\infty\! dp \int_0^p\! dt$ seien nun des Lesers 
Sache. Er erh\"alt
\be{D55} 
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} = \({T^2\04\pi^3}\)^2 \!\Bigg\{ \,
   {5\02} \int_0^\infty \!\! dt \; {t^3\,\ln(t) \0 e^t-1}
   \; - {3\04} \int_0^\infty \!\! dt \; {t^3 \0 e^t-1}
   \; - \pi^2 \!\!\int_0^\infty \!\! dt \; {t\,\ln(t) \0 e^t-1}
   \; - {\pi^4\036} \, \Bigg\} \;\;
\ee % D55
und staunt dar\"uber, wie doch recht einfach das Endresultat ist.
Mit \eq{G9} und \eq{H35} geben wir ihm noch die Gestalt
\be{D56} 
   I^{^{\rm ohne}}_{TT} = \({T^2\04\pi^3}\)^2 \Bigg\{ \;
   -{\pi^4\06}\,z_1 \;+ {\pi^4\06}\,z_3 \;- {7\,\pi^4\090} \;
    \Bigg\} \;\; , \quad
\ee % D56 
welche als \eq{4.20} in den {\sl main text} \"ubernommen wurde.


%  Anhang E  I_{0T}   

\let\dq=\thq 
\renewcommand{\theequation}{E$\,$.$\,$\dq}
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.4cm}
\section{$I_{0T} = 2\,\sum_Q \, w_0 \, w_T$ : \ Auswertung }

Im \S~4.3 hatten wir gelernt, da\ss\ $I_{0T}$ nur
in der Differenzbildung $I_{0T} - {1\03} T^2 \chi(0)$ 
ben\"otigt wird und da\ss\ der $\chi$--Term zwecks 
$\L^2$--Kompensation dem $\int$--Anteil von $I_{0T}$
zuzuordnen ist. Gem\"a\ss\ \eq{4.24} wartet also 
als erstes \\[2mm]
 \hspace*{2cm}{\boldmath$\D{^{\int}} \gll I{^{\int}}_{0T} 
                - {1\03}T^2\chi(0)\;
    = \; 2 \eu_Q w_0 (Q^2) \,\lk w_T (Q^2) - w_T^{\rm as} 
            (Q^2) \rk $} \\[2mm]
auf Auswertung. Wie schon f\"ur \eq{D1}, \eq{D2}, 
entnehmen wir $w_T (Q^2)$ aus \eq{4.16}, hier jedoch nur
einmal. $w_T^{\rm as} (Q^2)$ steht in \eq{4.17}. Wenn wir 
dem dortigen Vorfaktor $T^2/6$ die Gestalt ${1\0\pi^2}
\int_0^\infty \! dp \; n(p)\,p\;$ geben, entsteht
\be{E1}
  \D{^{\int}} \, = \, 2 \eu_Q w_0 (Q^2)\, {1\08 \pi^2 q}
     \int_0^\infty \! dp \; n(p) \lk \cl L (q_0,q,p) -8pq 
        \Vau_s {1\0s+Q^2} \rk \;\; . \quad
\ee % E1
Setzen wir \eq{D5} f\"ur $\cl L (q_0,q,p)$ ein, so kompensieren
sich die $A$-- und $B$--Terme. Es liest sich irgendwie
besser \anke insbesondere mit Blick auf Anhang A \anke wenn wir 
$Q^2=r^2$ setzen, d.h. $q_0^2+q^2=r^2$ in \eq{D4}\,, sowie
$\int_Q = (2\pi)^{-4} \int\! d^4x\;$\,: 
\bea{E2}
  \D{^{\int}} \!\!&=&\!\!  2 \,{1\08\pi^2} \,{1\0(2\pi)^4} 
  \int\! d^4x \; w_0(r^2) \, {1\0q} \, \int_0^\infty\!\!\! dp\; n(p)
  \lk \ln\( {r^2 + 4p^2 + 4pq \0 r^2 + 4p^2 - 4pq} \) 
      - {8pq \0 r^2} \rk \nonu \hspace*{14mm} \\[3mm]
  \!\!&=&\!\! {1\02} \,{1\0(2\pi)^4} \int_0^\infty \!\!\! dr\; 
   r^3 \, w_0(r^2) \int_0^\infty\!\!\! dp \; n(p) \lk \lw 
   {1\0 rs } \ln\( {r^2 + 4p^2 + 4pq \0 r^2 + 4p^2 - 4pq} \) 
    \rw    - {8p\0 r^2}  \rk \; . \quad 
\eea % E2
\eq{A4} bis \eq{A6} haben soeben zur zweiten Zeile gef\"uhrt.
Mehr noch, \eq{A11} bewerkstelligt die Winkelmittelung. Nach
Substitution $r^2=\varrho$ folgt
\bea{E3}
   \D{^{\int}} \!\!&=&\!\! {1\04} \,{1\0(2\pi)^4} 
   \int_0^\infty \! dp \; n(p)
   \int_0^\infty \! d\varrho \; w_0 (\varrho) \; {1\0p}\;
    \Big( \varrho + 4p^2 - | \varrho -4p^2| - 8p^2 \Big) \nonu \\[1mm]
   &=& {1\02} \,{1\0(2\pi)^4} \int_0^\infty \! dp \; n(p) \;{1\0p} 
    \int_0^{4p^2} \! d\varrho \; w_0 (\varrho) \; 
    \Big( \varrho - 4p^2 \Big)  \quad . \quad
\eea % E3
Ohne $w_0(\varrho)$ spezifizieren zu m\"ussen, sind wir h\"ubsch 
weit voran gekommen. In \eq{E3} wird $w_0$ nur bei $\varrho 
\leqslant 4p^2$ befragt, und $4p^2$ wird wiederum durch $n(p)$
festgehalten, weit unter $\L^2\,$. Es gen\"ugt also, in \eq{E3}
die klein--$\varrho$--Asymptotik \eq{2.44}, d.h. 
$({\rm LN}-\ln(\varrho)/(16 \pi^2)$ f\"ur $w_0(\varrho)$ 
einzusetzen. Die $\rho$--Integration wird damit elementar,
und wir kommen an bei
\bea{E4}
   \D{^{\int}} &=& {T^4 \0 4\pi^2} \,{1\0(2\pi)^4}  
                   \( 2\int_0^\infty\!\!\! dp 
    \;\; {p^3\,\ln(p) \0 e^p -1} + \;\big[ \,2\,\ln(2T) - 
    \hbox{\small ${3\02}$} - {\rm LN} \,\big]\! 
   \int_0^\infty\!\!\! dp \; {p^3 \0 e^p -1}\)  \nonu \\[2mm]
   &=& \( {1\04\pi}\,{T^2 \0 12} \)^{\lower 1mm\hbox{$\!$2}}
   \,{3\05} \;\Big[\, - 4\; {\rm LN} + 8\; \ln(4\pi T) 
                   -8\,z_3 -6 \;\Big] \;\;. \quad
\eea % E4
Dies ist \eq{4.25} im {\sl main text}. Die Integrale hatten
wir soeben aus \eq{G9} und \eq{H35} geholt. Mit dem ersten
$I_{0T}$--Anteil sind wir recht z\"ugig fertig geworden.

Nun steht an, auch den zweiten $I_{0T}$--Anteil auszuwerten,
n\"amlich \\[1mm]
   \hspace*{4cm}{\boldmath$I^{^{\rm ohne}}_{0T} = 2 
        \sum_Q^{\rm ohne} w_0(Q^2)\,w_T(Q^2) \;$}. \\[1mm]
Wir ziehen unverz\"uglich \eq{4.12} zu Rate. Um $F(z)$ zu
bilden, ist $Q_0=\o_n^Q$ durch $-iz$ zu ersetzen. Letztlich
sorgt die Bose--Funktion $n(z)$ in \eq{4.12} daf\"ur, da\ss\
wir auch hier $w_0$ bei kleinem Argument nehmen d\"urfen, d.h.
$w_0(Q^2) \to \lk {\rm LN} - \ln(q^2-z^2)\rk\!/(16 \pi^2)\,$, 
siehe \eq{2.44}. Aus gleichem Grunde \anke bald sieht man, 
da\ss\ dies funktioniert \anke k\"onnen wir in \eq{4.16} die 
$\Vau_t$--Operation weglassen\,:
\bea{E5}
  I^{^{\rm ohne}}_{0T} &=& 2 \int\!{d^3q\0(2\pi)^4} 
  \({-1\02\pi i}\)
       \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
        \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
        \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
        \end{picture}  }
       dz\; n(z)_{{\rm ignoriere\; Pole}} \;\,\;    
       { {\rm LN} - \ln(q^2-z^2) \0 16 \pi^2} \;\,
       {1\0 8\pi^2 q} \;\; \cdot  \nonu \\
       & & \; \cdot \;\int_0^\infty \!\! dp \; n(p) 
              \int_0^\infty\!\! du \;\,\cl A_q \, \cl A_p 
           \,\( {1\0 u-(z-p)^2 + (p-q)^2} 
                + {\rm dito}_{z \to -z} \) \nonu \\[1mm]        
  &=& \({1\0 4\pi}\)^2 {1\0 4\pi^4}  
        \int_0^\infty \!\! dp \; n(p) \,\int_0^\infty 
        \!\! dq \; q \,\; \cl A_q \!
        \int_0^\infty \!\!\! du \,\; \cl J  
\eea % E5
\vskip -8mm  \noindent mit
\be{E6}   \!
  \cl J = \({-1\02\pi i}\)\!
       \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
        \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
        \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
        \end{picture}  }
       \! dz\; n(z)_{{\rm ign.}} \!\!\lk    
      { {\rm LN} - \ln(q^2-z^2) \0 (z-p)^2 - u - (p-q)^2} 
    + { {\rm LN} - \ln(q^2-z^2) \0 (z+p)^2 - u - (p-q)^2} \rk . 
\ee % E6
Die Konturintegration liefert zwei Sorten Beitr\"age,
$\cl J = \cl J_1 + \cl J_2$, n\"amlich jene ($\cl J_1$), 
die sich per Residuensatz aus den Polen ergeben, und jene 
($\cl J_2$), die von den Wegen entlang Schnitt (ab $|q|$ 
nach rechts au\ss en) des Lorarithmus herr\"uhren. F\"ur
$\cl J_2$ k\"onnen wir aber auch $\ln(q^2-z^2)$ als
$\ln(|q|-z) + \ln(|q|+z)$ schreiben, den zweiten Term
weglassen, den ersten integral darstellen,
\be{E7}
    \ln(|q|-z) = \int_0^\infty \!\! dt\; \( {1\0 t+1} 
    + {1\0 z-t-|q|} \) \;\; , \quad
\ee % E7  
und erneut den Residuensatz bedienen. Mit Notationen wie
in \eq{D30} und \eq{D31} folgt
\bea{E8} \!\!
  \cl J_1 \!\!&=&\!\! {\s (w_u +p) \0 2 w_u} 
    \!\lk {\rm LN} - \ln\( (w_u+p)^2-q^2\) \rk
         +    {\s (w_u -p) \0 2 w_u} 
    \!\lk {\rm LN} - \ln\( (w_u-p)^2-q^2\) \rk , \nonu \\[1mm] 
  \cl J_2 \!\!&=&\!\! - \int_{|q|}^\infty \!\! dt \; n(t) \( 
  {1\0 (t-p)^2 - u - (p-q)^2} + {1\0 (t+p)^2 - u - (p-q)^2} \rk  
  \; . 
\eea % E8 
Gem\"a\ss\ \eq{E5} m\"ochten nun beide $\cl J\,$'s \"uber
$u$ integriert werden. F\"ur $\cl J_1$ empfiehlt es sich,
$w_u=\wu{u+(p-q)^2}$ als neue Variable $t$ zu substituieren.
Bei $\cl J_2$ ziehen wir das $u$-- am $t$--Integral vorbei
und f\"uhren es aus\,: 
\bea{E9}  \!\!
  \int_0^\infty \!\!\!\! du \; \cl J_1 
  \!\!&=&\!\! \lk \int_{|p-q|+p}^\infty 
                + \int_{|p-q|-p}^\infty \rk
       \! dt \; \s(t) \lk {\rm LN} - \ln\( t^2-q^2\) \rk 
    \;\; , \hspace*{3cm} \nonu \\[1mm] 
    \int_0^\infty \!\!\!\! du \; \cl J_2 
  \!\!&=&\!\! - \int_{|q|}^\infty \!\!\! dt \; n(t) 
       \lk \ln\( (p-q)^2 - (t-p)^2 \) 
         + \ln\( (p-q)^2 - (t+p)^2 \) \rk . 
\eea % E9 
Der sorglose Umgang mit der oberen $u$--Grenze in 
$\cl J_2$ war mit Blick auf die nachfolgende (auch vorher 
m\"ogliche) $\cl A_q$--Operation erlaubt. Selbige bietet
keine Probleme. Sodann folgt nach \eq{E5} das 
$q$--Integral\,:
\bea{E10} 
  \int_0^\infty \!\!\! dq \; q \;\cl A_q \int_0^\infty \!\!\! 
  du \; \cl J_1 
  &=& \int_0^\infty \!\!\! dt \; \int_{t-2p}^{t+2p} \!\!\! dq 
      \; q \; n(t)  \lk {\rm LN} - \ln\( q^2-t^2\) \rk 
      \;\; , \nonu \\
  \int_0^\infty \!\!\! dq \; q \;\cl A_q \int_0^\infty \!\!\! 
  du \; \cl J_2 
  &=& \int_0^\infty \!\!\! dt \int_0^t \!\!\! dq \; q \;
      n(t) \; \ln \( {(2p+q)^2 -t^2 \0 (2p-q)^2 -t^2 } \) 
      \;\; . \quad 
\eea % E10 
In der oberen Zeile hatte sich \eq{D36} n\"utzlich
gemacht. \"Uber $q$--Verschiebungen in der unteren Zeile 
werden Terme mit $\ln\( q^2-t^2 \)$ entstehen. Es ist
an der Zeit, $\cl J_1$ und $\cl J_2$ wieder zu $\cl J$
zusammenzuf\"ugen\,:
\be{E11}
   \int_0^\infty \!\!\! dq \; q \;\cl A_q \int_0^\infty \!\!\! 
  du \; \cl J = \int_0^\infty \!\!\! dt \; n(t) \( 
  {\rm LN} \int_{t-2p}^{t+2p} \!\!\! dq \; q 
    -2 p \int_{2p-t}^{2p+t} \!\!\! dq \;\ln\( q^2-t^2 \) \)
     \;\; . \quad 
\ee % E11
Nach Auf\"uhren der $q$--Integrationen setzen wir \eq{E11}
in \eq{E5} ein und k\"onnen den Integranden des 
Doppelintegrals bez\"uglich $p$ und $t$ symmetrisieren.
Per
\be{E12}
  2 p \lk (p+t) \ln(p+t) - (p-t)\ln(p-t) \rk
  \, \to \, (p+t)^2 \ln(p+t) - (p-t)^2\ln(p-t) \;\;
\ee % E12
kommt dabei das Integral $\,\cl U\,$, \eq{D23}, ins Spiel\,:
\be{E13}
   I^{^{\rm ohne}}_{0T} = 
    \({ T^2\0 4\pi}\)^2 {1\0 2\pi^4}  
    \( {\pi^4 \018} \lk {\rm LN} + 2 + 2\,\ln(2T) \rk
       - \cl U \) \;\; . \quad
\ee % E13
Wir sind so weit. Nur noch $\cl U$ aus \eq{D26} ist 
einzusetzen\,:
\be{E14}
   I^{^{\rm ohne}}_{0T} = \( {T^2\0 4\pi} \)^2 \, {1\036} 
   \lk {\rm LN} + {34\015} - 2\,\ln(4\pi T) + 2\,z_3 \rk
\ee % E14
Dies ist \eq{4.26} im {\sl main text}.

%  Anhang F    I_{00}   

\let\dq=\thq 
\renewcommand{\theequation}{F$\,$.$\,$\dq}
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.4cm}
\section{$I_{00} = \sum_Q \, w_0^{\,2}$ : \ Auswertung }

Es wird ein Spaziergang. Alle einschl\"agigen Schwierigkeiten 
wurden n\"amlich schon in den Anh\"angen D und E \"uberwunden
und ge\"ubt. Wir erinnern zuerst daran, da\ss\ 
$I_{00}^{^{\int}}$ wegen $T$--Unabh\"angigkeit keiner 
Auswertung bedarf, siehe \S~4.4 und Text vor \eq{3.9}. Zu \\[1mm]
   \hspace*{4cm}{\boldmath$I^{^{\rm ohne}}_{00} =  
        \sum_Q^{\rm ohne} w_0^2(Q^2) \;$}. \\[1mm]
ist erneut \eq{4.12} zu befragen. Anhang E bot ab \eq{E5}
ein Beispiel daf\"ur, wie die Bosefunktion $n(z)$ in \eq{4.12}
das $w_0$--Argument $Q^2 \to q^2-z^2$ weit unter $\L^2$
festh\"alt. Auch hier setzten wir also mutig \eq{2.44}
f\"ur $w_0$ ein\,:
\bea{F1} \!\!
   I^{^{\rm ohne}}_{00} 
   \!\!&=&\!\! \({1\0 16\pi^2}\)^2 \sum_Q^{\rm ohne} 
       \lk {\rm LN} - \,\ln(q^2-z^2) \rki^2 
       \; = \; \({1\0 16\pi^2}\)^2 \int \! {d^3q \0 (2\pi)^3 } 
                \; \( {1\02\pi i}\) \;\cdot \nonu \\[1mm]
   & &  \!\!\!\cdot \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
        \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
        \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
        \end{picture}  } \!\!
        dz\; n(z)_{{\rm ignoriere\; Pole}} \;
        2 \lk - {\rm LN}^2 + 2\,{\rm LN} \,\ln(q^2-z^2) 
         - \,\ln^2(q^2-z^2) \rk \; . \quad
\eea % F1
Der Faktor 2 an der eckigen Klammer beruht auf $F(-z)=F(z)\,$.
Der quadrierte LN entf\"allt sofort: keine Pole. Mit dem
LN$^{\,1}$--Term verfahren wir wie bei \eq{E7} und Text davor.
Aber auch der \,ln$^2$--Term erfreut sich an \eq{E7}, weil
wir einmal nur den einen, einmal nur den anderen \,ln\, integral 
darzustellen brauchen\,:
\bea{F2}
   I^{^{\rm ohne}}_{00} &=&
     \({1\0 16\pi^2}\)^2 {2\0\pi^2}\int_0^\infty \!\!\! 
     dq \; q^2 \,\int_0^\infty \!\!\! dt \;\,
     \( {1\02\pi i}\) 
     \int_{\; \unitlength .8cm 
        \begin{picture}(.3,.8)
        \put(0,.2){\oval(.6,.6)[r]} \put(0,-.1){\line(0,1){.6}}
        \put(0,.2){\vector(0,-1){.1}}
        \end{picture}  } \!\!
        dz\; n(z)_{{\rm ignoriere\; Pole}} \;\,\cdot \nonu \\
     & & \cdot \;\, \( {1\0 t+1} + {1\0 z-t-q} \)        
        \lk {\rm LN} - \,\ln(q^2-z^2)_{{\rm ignoriere\; 
        Schnitt}} \rk  \;\; . \quad
\eea % F2
Via Residuensatz, $t \to t-q$ und Integrale--Vertauschung
folgt
\be{F3}
   I^{^{\rm ohne}}_{00} = \({1\0 16\pi^2}\)^2 {2\0\pi^2}
     \int_0^\infty \!\!\! dt \; n(t) \int_0^t \! dq \; q^2 
          \lk {\rm LN} - \,\ln(q^2-t^2) \rk \;\; . \quad
\ee % F3
Die $q$--Integration ist elementar, denn
\be{F4}
 q^2\,\ln(q^2-t^2) \;=\; \6_q \lk \,{1\03}\, q^3 \,\ln(q^2-t^2)
   + {1\03}\, t^3 \ln\( {q+t\0q-t} \) 
  - {2\03}\, q^3 - {2\03}\, q\, t^2 \rk \; , \quad
\ee % F4 
und wir kommen an bei
\be{F5}
   I^{^{\rm ohne}}_{00} = \({T^2 \0 4\pi}\)^2 \!{1\024 \pi^4}
   \( \,\Big[ {\rm LN} -2\,\ln(2T) +{8\03} \Big]  
   \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3\0 e^t-1} - 2
   \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3 \, \ln(t)\0 e^t-1} \)
   \;\; . \quad
\ee % F5
Erneut sind nur die aus \eq{G9} und \eq{H35} bekannten
Integrale entstanden. Das Resultat
\be{F6}
  I^{^{\rm ohne}}_{00} = \({T^2 \0 4\pi}\)^2 \!{1\024\cdot 15}
  \,\Big[\, {\rm LN} -2\,\ln(4\pi T) + 2\,z_3 + {8\03} \,\Big]
  \;\; \quad 
\ee % F6
steht als \eq{4.29} im {\sl main text}.

% Anhang G: Frequenzsummen-SB

\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{G$\,$.$\,$\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\def\ou{\hbox{\tiny $\matrix{0 \cr 1 \cr}$}}
% Gefahrenzeichen :
 \def\gef{\lower.5pt\hbox{$^\angle\hskip -.245cm
    $\raise .7pt\hbox{${}_{^\swarrow}$}}}

\vspace{.4cm}
\section{Frequenzsummen }

$ $ \vskip -9mm

\rightline{\small {\sl Hier wurde unver\"andert ein 3-seitiges 
\glqq Sonderblatt\grqq\ aus der home page  \"ubernommen.}} 
% \vskip 1mm

Auswertung einer unendlichen Summe ? \ --- \ 
Konturintegral ! \ Kaum wird es konkret mit einer 
Statistik von Systemen aus Bosonen 
($\o_n\gll\pi\, 2n\, T\, ,\;\eta = + 1$) oder 
Fermionen ($\o_n\gll\pi\, (2n+1)\, T\,$, $\eta = - 1$), 
schon hat man sich mit Ausdr\"ucken der Form 
$T\sum_n F( i\o_n )$ herumzuschlagen. Hierin l\"auft 
$n$ von $-\infty$ bis $\infty$, und $F(z)$ sei eine 
analytische Funktion, welche keine Pole auf der 
imagin\"aren Achse hat. F\"unf Schritte. Der 
erste Schritt  verkompliziert nur, 
$F(i\o_n) = (2\pi i)^{-1}$ $\klint_n\! dz\; F(z)
/ (z-i\o_n )$, aber er ist jedenfalls richtig: Das
Integral umrunde die Stelle $z=i\o_n$ mathematisch 
positiv und infinitesimal eng. Der zweite Schritt
nutzt diese \glqq Enge\grqq\ aus,
\be{G1}
  { T \0 z-i\o_n } = {1 \0 e^{\b ( z -i\o_n )} -1 }
   = {1 \0 \eta e^{\b z} - 1 } = \eta \; n(z) 
  \qquad \hbox{mit} \qquad n(z) \gll
  {1 \0 e^{\b z} - \eta } \quad , 
\ee % G1
und der dritte (in \eq{G1} schon getan), da\ss\ $e^{-i\b\o_n} =
e^{-i \pi (2n +\{ \ou \} )} = \eta\,$ sowie $\eta^2=1\,$ ist.
Viertens schnappt sich nun $\sum_n$ die einzig verbliebene
$n$--Abh\"angigkeit und addiert die $\klint_n$--Kringel
auf zu $\downarrow\uparrow \gll$ zwei vertikale Geraden
nahe links/rechts der $i$--Achse$\,$:
\be{G2}
 T\sum_n F( i\o_n ) \; = \; {\eta \0 2\pi i} 
  \int_{\downarrow\uparrow}\!\!\! dz \; F(z)\; n(z) 
  \;\;\;\; \ueb{\;\gef}{=} \;\;\;\;
   { - \eta \0 2\pi i } \lk \grint dz\; F(z)\; n(z) 
  \rki_{\rm ohne \; n-Pole} \;\; .
\ee % G2
Das geschlossene Integral rechts soll schlicht die komplexe
Ebene weit au\ss en (mathematisch positiv) umrunden. Der
gef\"ahrliche letzte Schritt braucht folglich (a) einen
gen\"ugend raschen Abfall von $F$ nach au\ss en (so da\ss\
 die beiden gro\ss en Halbkreise beitragslos hinzugef\"ugt
werden k\"onnen) und (b) das Ignorieren der $n$--Pole auf 
der $i$--Achse (um die Vertikalen der zwei 
Halbebenen--Umrundungen vergessen zu d\"urfen). Kurz, da 
$n$ sonst keine Pole hat, darf/soll $\bigcirc$ um die 
$F$--Pole zusammengezogen werden (bzw. an $F$--Schnitte 
heran$\,$; letztere ggf. via Spektraldarstellung 
vermeiden$\,$?!).

\noindent
\underline{Beispiel :} \ Bosonen, $\eta=1$, $F(z)
= 1/(x^2-z^2)\,$. Man denke an $x^2=m^2 + \vc p^2$ und an
den Frequenzsummen--Teil von $\sum G_0$ mit $G_0 = 1 /
(m^2 - P^2)\,$ ($\,\sum = T\sum_n \int d^3p \, (2\pi)^{-3}
\, , \; P_0 =i\o_n\, )\; :$
\bea{G3}  \!\!
  T\sum_n {1\0 x^2 - P_0^2} 
   &=& {1\0 2\pi i} \grint dz \; 
          {n(z)_{\rm ignore\; poles} \0 z^2 - x^2 }
   \; = \; { 1 + 2\, n(x) \0 2x } 
   \; = \, {1\0 2x }\; {\ch (\b x/2 )\0\sh (\b x /2 )} 
   \quad . \qquad \\ & & \hspace*{-3.6cm}
    \hbox{\vrule width 13.8cm height 1.4pt depth 0pt}
\nonu
\eea % G3


\noindent
Das Resultat \eq{G3} hat es in sich$\,$: Folgerungen, 
Verallgemeinerung, R\"uckf\"uhrung auf und Fu\ss weg zu
\ --- \ der Reihe nach$\,$:

\noindent
{\bf 1.} \ Multipliziert man \eq{G3} mit $-2x$ und integriert
\"uber $x$ von $c$ bis $y\,$, dann entsteht
\be{G4}
  T \sum_n \ln \( {y^2 - P_0^2 \0 c^2 - P_0^2} \)
   \;\; = \;\; y - c + 2\, T\,\ln \( {1 - e^{-\b y} \0 1
   - e^{-\b c} } \) \quad . 
\ee % G4
Nun multipliziere man \eq{G4} mit $\b$, setze $\b y = \o$
und lasse $\b c$ gegen Null gehen$\,$:
\be{G5}
  \sum_{n=1}^\infty \ln \( 1 + { \o^2 \0 (2\pi n)^2 }\) 
   \;\; = \;\;\ln \({\sh (\o /2) \0 \o /2} \) \quad . 
\ee % G5
Nach Exponenzieren von \eq{G5} und Erweiterung auf alle $n$
entsteht schlie\ss lich die Pro\-dukt--Weisheit
\be{G6}
 {\prod_n}^{\,\prime}\, {(2\pi n)^2 \0 \o^2 +
   (2\pi n)^2 } \;\; = \;\; {\o^2 e^{-\o} \0 \( 1
  - e^{-\o} \)^2 } \;\;\quad ,
\ee % G6
Der Strich schlie\ss t $n=0$ aus. Man kontrolliere \eq{G6}
anhand $\omega\to 0$. \eq{G3} ist Kapusta's Formel (2.38).
\eq{G5} konnte/sollte Coleman ({\sl Aspects of symmetrie})
gebrauchen, um eine Determinante auszuwerten (Gl. (2.16)
in Lecture 7). \eq{G6} findet sich in Hansen ({\sl A table
of series and products}) als (89.5.16) sowie in Kleinert
({\sl Path integrals in Q., St. and Polymer physics}) als
(2.269) und ist Zwischenschritt zur Zustandssumme
nicht--wechselwirkender geladener Bosonen, s. \cite{vari}.

\noindent
{\bf 2.} \ Irgendwie harmloser wirkt \eq{G3}, wenn man via
$x = 2\pi T a$ erst einmal \hbox{\glqq ins Normale\grqq }
\"ubersetzt und sodann ein wenig spielt
($a = ix/(2\pi)\, )\;$:
\be{G7}
   \sum_n \, {1 \0 a^2 + n^2 } \; = \; {\pi\0a}\; 
   {\ch (\pi a ) \0 \sh (\pi a)} \qquad , \qquad
   \sum_n \, {2x \0 (2\pi n)^2 - x^2 } \; = \;
   {\sin (x) \0 \cos (x) - 1 } \quad .
\ee % G7 
Auf den ersten Blick sieht die Beziehung
\be{G8}
    \sum_n \, {2x \0 (2\pi n + y)^2 - x^2} \;\; = \;\;
    {\sin (x) \0 \cos (x) - \cos (y)} \quad
\ee % G8 
wie eine echte Verallgemeinerung von \eq{G7} aus. Jedoch
kann \eq{G8} schlicht aus \eq{G7} hergeleitet werden. 
Partialbruchzerlegung liefert zun\"achst 
$$ {\sin (x) \0 \cos (x)-1 } \; = \; \sum_n \, \( { 1\0 2\pi n-x} 
   - {1 \0 2\pi n+x} \)\,\quad .$$ 
Dies nehme man nun einmal bei 
$x\to x-y$ und einmal bei $x\to x+y$, addiere die
Resultate und bem\"uhe ein wenig Trigonometrie. 
Fertig. 

\eq{G8} ist eine feine Formel. Sie macht sich in der 
Quantenmechanik n\"utzlich, wenn man zum Dirac--Kamm den 
(un\"ublichen, aber) logischen L\"osungsweg w\"ahlt$\,$: 
Bloch--Theorem, Bloch--Faktoren als Fourier--Reihe, station\"are
Schr\"odinger--Gleichung f\"ur die Fourier--Ko\-ef\-fizienten
und deren L\"osung mittels \eq{G8}\,. 

\noindent
{\bf 3.} \ Statistische Physik f\"uhrt gern auf die
folgenden beiden Integrale. Wenn man beispielsweise
zu $\sum G_0$ (siehe Text vor \eq{G3}) auch die 
Integration \"uber $\vc p$ ausf\"uhrt, entsteht das
erste. Und die Energie $E = 2 \sum_{\vcsm p} p\, n(p)$ 
der Hohlraumstrahlung braucht das zweite. Behauptung$\,$:
ls
\be{G9}
 \int_0^\infty\!\!\! dx \;\; {x \0 e^x - 1 } \;\; 
   = \;\; {\pi^2 \0 6} \qquad , \qquad
   \int_0^\infty\!\!\! dx \;\; {x^3 \0 e^x - 1 } \;\; 
   = \;\; {\pi^4 \0 15} \quad .
\ee % G9
Hm. Das ist eben so. Im Bronstein stehts ja auch. Alles
L\"ugen$\,$? \ Die geometrische Reihe jedenfalls
nicht$\,$:
\be{G10}
  \int_0^\infty\! dx \; {x \0 e^x - 1 } \;\; = \;\;
   \int_0^\infty\! dx \, x \, \sum_{n=1}^\infty e^{-nx}
   \;\; = \;\;\sum_{n=1}^\infty \, {1\0n^2}
   \;\; = \;\; {\pi^2 \0 6 } \quad .
\ee % G10
Stop$\,$! Ganz rechts, woher kam das$\,$? \ --- \ aus 
Bronstein, aaaha. Elende Schummler$\,$! $\,$Es folgt
vielmehr aus \eq{G7} (linke Gleichung) im limes $a\to 0\;$:  
\be{G11}
  \sum_{n=1}^\infty \, {1 \0 a^2 + n^2 } \;\; = \;\;
   - {1\0 2 a^2} + {\pi \0 2a} \; {\ch (\pi a) \0 
   \sh (\pi a) } \;\; = \;\; {\pi^2 \0 6} \; - \; 
   {\pi^4 \0 90}\, a^2 \; + \; \cl O ( a^4 ) \quad .
\ee % G11 
Rechts wurde der $a^2$--Term noch mit angegeben, weil 
$\6_a$ von \eq{G11} ben\"otigt wird, wenn man (auf gleiche 
Weise) das rechte Integral in \eq{G9} schlachtet (ohne zu
l\"ugen).

\noindent
{\bf 4.} \ \glqq Ich kann aber keine Funktionentheorie
(gerade 2. Semester absolviert)\grqq $\,$bzw. traue ihr 
nicht \"uber den Weg. Irgendwie mu\ss\ doch
$\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ auch \glqq zu Fu\ss \grqq\ zu
erhalten sein. Gewi\ss . Allerdings f\"uhrt der Trick 
$\, f(x)\gll \sum_{n=1}^\infty x^n /n^2\,$, Dgl f\"ur $f$ 
etc. alsbald auf das Integral \eq{G10} zur\"uck, im Kreise 
herum also. Eine kl\"ugere Funktion bitte (Idee 
Fourier--Reihe). Es ist $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = {1\02} 
g(0)$, wenn man $g(x)$ wie folgt definiert und somit
vorweg wei\ss , da\ss\ $g$ gerade und $2\pi$--periodisch
ist und verschwindenden Mittelwert $\,\ov{g}=0$ hat$\,$:
\be{G12}
   g(x) \gll {\sum_n}^{\, \prime}\, {\cos (nx) \0 n^2 }
   \quad \Rightarrow\quad g^{\prime\prime}(x)\; =\;
   1 - \sum_n \cos (nx)\; =\; 1 - 2\,\pi\,
   \d_{\rm periodisch}(x) \quad .
\ee % G12
Die $g$--Dgl rechts in \eq{G12} l\"ost sich im Kopf 
(nachtr\"aglich jedenfalls), und die Integrationskonstante 
folgt aus $\,\ov{g}=0\,$:
\be{G13}
   g(x) \; = \; - {1\06}\pi^2 + {1\02} (x-\pi )^2
   \qquad \hbox{f\"ur} \;\; 0 \le x < 2\pi
   \quad \hbox{und $2\pi$--periodisch sonst} \quad .
\ee % G13 
Und schon ist $g(0)=\pi^2/3$ herausgekommen, aus einem
Standardbeispiel zur Fourier--Reihe also (periodische
Parabeln$\,$. \"Ubung$\,$: der Fu\ss weg zu \eq{G7} sieht
ganz \"ahnlich aus). Jene aus dem 2. Semester wissen das,
\"altere H\"asinnen und Hasen kaum noch. Und ich wei\ss\
nicht, warum es so gern 13 Gleichungen werden.


% Anhang H: Zeta--Funktion

\let\dq=\thq \renewcommand{\theequation}{H$\,$.$\,$\dq}    
\setcounter{equation}{0}          

\vspace{.4cm}
\section{Zeta--Funktion}

Am Ende eines jeden der Anh\"ange C, D, E, F blieben Integrale 
stehen, die wir \,n\,i\,c\,h\,t\, ausf\"uhren konnten. Es 
\"andert sich nichts an diesem Umstand, wenn jene Integrale 
durch $\zeta (s)$ und $\zeta' (s)$ ausgedr\"uckt werden.
So gesehen, ist dieser Anhang \"uberfl\"ussig. Andererseits
soll sich ja zeigen, da\ss\ unsere Pauli--Villars--Resultate
mit jenen der dimensionalen Regularisierung \"ubereinstimmen 
\anke nur von daher weht der Wind.

\def\abr#1{\hbox{\bf {\boldmath$[$}\,#1\,{\boldmath$]$}}} 
Auf Angaben aus Abramovitz--Stegun \cite{abramo} werden wir 
zwar in dicken eckigen Klammern verweisen, aber alles, was
aus den beiden Definitionen 
\bea{H1}
 \abr{23.2.1}\qquad \zeta(s) &=& 
     \sum_{k=1}^\infty \;{1\0 k^s} \quad (\,1<s\,) 
     \\[1mm]   \label{H2}
  {\rm und} \quad \abr{6.1.1}\qquad
 \G(s) &=& \int_0^\infty \!\! dt \; t^{s-1} e^{-t}
         \quad (\,0<s\,) 
\eea % H1 und H2
folgt, m\"oge hergeleitet und verstanden werden. Vielleicht
erleichtert dieser Anhang manch einem die m\"uhsame (!)
Verifizierarbeit. Es gen\"ugt hier, die Variable $s$ als 
reell anzusehen. 

Zeta und Gamma haben erstaunlich viel miteinander zu tun. 
Bereits an
\be{H3}
  \abr{23.2.7}\qquad
  \int_0^\infty \!\! dt \;\, {t^{s-1} \0 e^t - 1} \;=\;
  \zeta(s) \,\G(s) \quad (\,1<s\,)  
\ee % H3
zeigt sich dies. Zur Herleitung von \eq{H3} gen\"ugt
die geometrische Reihe und anschlie\ss endes $t \to t/k$\,:
\be{H4}
   \int_0^\infty \!\! dt \;\, {t^{s-1} \0 e^t - 1} 
   \;=\; \sum_{k=1}^\infty \int_0^\infty \!\! dt \; t^{s-1} e^{-kt}
   \;=\; \sum_{k=1}^\infty \; {1\0 k^s} \;\G (s) \;\; . \quad
\ee % H4

Bleiben wir ein wenig bei $\G(s)$, dem einfacheren der beiden
Objekte. Nach \eq{H2} ist $\G(1)=1\,$. Partielle Integration an 
\eq{H2} geht im Kopf und f\"uhrt auf
\be{H5}
  \abr{6.1.15}\qquad
  \G(1+s) = s\,\G(s) \qquad \folg \quad \G(n)=(n-1)\;\!! \;\;
            (\,n=1,2,3,...\,)
\ee % H5
Links in \eq{H5} wurde keine $s$--Einschr\"ankung angebracht.
Per $\G(s-1) = \G(s)/(s-1)$ kann n\"amlich Gamma bequem f\"ur
negative Argumente erkl\"art werden. $\G(s)$ hat somit Pole bei 
$s=0, -1,-2,-3,\ldots\,$. F\"ur die $\psi$--Funktion 
\be{H6}
  \abr{6.3.1}\qquad
  \psi (s) \gll {\G'(s)\0\G(s)} = \6_s\,\ln(\G(s)) \;\quad
\ee % H6
gibt es die sch\"one Rekursionsformel
\be{H7}
  \abr{6.3.5}\qquad
  \psi(1+s) - \psi(s) \;=\; \6_s\,\ln \({\G(1+s)\0 \G(s)}\) 
  \;=\; {1\0s} \;\; .  \qquad
\ee % H7
Zu $\psi(1)\,$ \anke alsbald ben\"otigt \anke gibt uns 
\eq{H2} via $t^s=e^{s\,{\rm ln}(t)}$ die Auskunft 
\be{H8}
  \abr{6.3.3}\qquad
  \psi(1) \,=\, \G'(1) \,= \int_0^\infty \!\! dt 
  \;\,\ln(t)\,e^{-t} \;\glr\; -\g \;\; .  \qquad
\ee % H8
$\g$ ist die Euler--Konstante. Also bitte, definieren kann
man nach Lust und Laune. \eq{H8}, das ist eben \,{\sl unsere}\, 
Definition von $\g\,$. Mit dieser erhalten wir bequem das
Verhalten von Gamma nahe Pol bei $s=0$\,:
\be{H9}
  \G(s) \,= {1\0s}\,\G(1+s) = {1\0s}\int_0^\infty \!\!dt
  \lk 1+s\,\ln(t) +\cl O (s^2) \rk e^{-t} \,=\, {1\0s} - \g 
  + \cl O (s) \;\; . \quad
\ee % H9
Mittels \eq{H7} und \eq{H8} folgen die Werte
\be{H10}
  \psi(2) = 1-\g \qquad {\rm und} \qquad \psi(4) 
   = {11\0 6} - \g \quad . \quad
\ee % H10
Aber wir haben uns mit der Eigenwilligkeit \eq{H8} ein 
erstes giftiges Problem eingefangen. Sp\"ater wird n\"amlich
ben\"otigt, da\ss\
\be{H11}
  \abr{6.1.3}_{\rm zweite Zeile} \qquad
  \g \; = \; \Big[ \;\;  \sum_{k=1}^M {1\0k} \; - \,\ln(M) 
          \;\; \Big]_{M\to \infty} \;\; \quad
\ee % H11
ebenfalls richtig ist. Also gilt es, \eq{H11} aus \eq{H8}
herzuleiten. Sei $M$ vorerst irgendeine positive Zahl, und
gehe $\e$ gegen $+0$ (ausgef\"uhrt in der dritten Zeile)\,:
\bea{H12}
  unser\;\;\g &=& - \int_{\e M}^\infty \!\! dt 
                 \;\,\ln(t)\,e^{-t} \nonu \\
  &=& \lk \ln(t)\,e^{-t} \rki_{\e M}^\infty 
          - \int_\e^\infty \!\! dt \; {1\0 e^t-1}
          + \int_\e^\infty \!\! dt \; {1\0 e^t-1}
          - \int_{\e M}^\infty \!\! dt \; {1\0 t}\,e^{-t}\;\; . \nonu \\
      & & \hspace*{3.4cm} \hbox{{\small Hier} $t\to Mt\;$ {\small
       im letzten Integral und nun} $\e \to +0\,$:} \; \nonu   \\
  &=& -\ln(M) + \int_0^\infty \!\! dt\; 
       \( { 1 \0 e^t -1} - {e^{-Mt} \0 t} \) 
       \quad. \quad \hbox{{\small Und jetzt} $M \to \infty\,$:} \nonu \\
  &=&  -\ln(M) + \int_0^\infty \!\! dt \;
       { 1 - e^{-Mt} \0 e^t -1} \;=\;  -\ln(M) + 
        \int_0^1 \!\! dx\; {1-x^M \0 1-x } \nonu \\
  &=& -\ln(M) + \int_0^1 \!\! dx\; \sum_{k=0}^{M-1} x^k
      \;=\; -\ln(M) + \sum_{k=0}^{M-1} {1\0 k+1} \;\; , \quad
      \hbox{q.e.d.} \quad
\eea % H12
Alles klar\,? \,Ja\,. \,Letzte Gamma--Raffinesse sei die 
\glqq Reflection Formula\grqq :
\be{H13}
  \abr{6.1.17} \qquad
  \G(s)\,\G(1-s) \; = \; {\pi \0 \sin(\pi\,s) } 
         \qquad (\,{\rm alle}\;s\,) \:\;\, . \quad
\ee % H13
Wir versuchen uns daran zun\"achst im Bereich $\,0<s<1\,$,
weil dann die folgenden beiden Integrale existieren\,:
\pagebreak[3]
\bea{H14}
 \G(s)\,\G(1-s) &=& \int_0^\infty \!\! dx \; x^{s-1} \,e^{-x}
   \int_0^\infty \!\! dy \; y^{-s} \,e^{-y} \nonu \\
  &=&  \int_0^{\pi/2} \!\!\! d\ph \; \int_0^\infty \!\!\! dr \;
   e^{-r\,[\,\cos(\ph)+\sin(\ph)\,]\,} 
   \sin^{s-1}(\ph) \,\cos^{-s}(\ph) \quad , \quad \tan(\ph) = t \;
   \nonu \\
  &=& \int_0^\infty \!\! dt \;\, {t^{s-1} \0 1+t}
        \quad\qquad = \abr{6.1.17}_{\rm zweite\; Zeile} 
        \quad , \quad t=e^u \; :     \quad \nonu \\
  &=& \int \! du\; {e^{s u} \0 1+e^u } \;\glr\,J \;\; , \;\;
      J =  J_{{\rm Horizontale}\;u=x+i2N\pi} 
         + J_{N\;{\rm Pole}} \nonu \\[-1mm] 
  & & \hspace*{4.5cm}
       J_{{\rm Horizontale}} = e^{is2N\pi} \!\int\! dx\; 
           {e^{sx} \0 e^x + 1} \quad \folg  \nonu \\ 
  \unitlength=1cm \hspace*{3mm} 
  \begin{picture}(1,.5) 
     \put(-.4,0){\line(1,0){.8}}
     \put(0,-.3){\line(0,1){3}}
     \put(.5,1.2){$\underline{u}$}    
     \multiput(0,-.6)(0,.4){9}{\circle*{.1}}
   \linethickness{.01mm}
   \put(0,1.9){\oval(.4,3.8)[b]}
   \put(-.1,2){\line(-1,0){1}}
   \put(.1,2){\line(1,0){1}}
         \put(.2,1){\vector(0,1){.1}}    
         \put(-.2,1){\vector(0,-1){.1}}    
         \put(.7,2){\vector(1,0){.1}}    
         \put(-.7,2){\vector(1,0){.1}}    
 \end{picture} 
  J &=& {1\0 1-e^{is2N\pi}} \;\; J_{N\;{\rm Pole}} 
    = {1\0 1-e^{is2N\pi}} \:\Big[\; - 2 \pi i \,\sum_{n=0}^{N-1} 
           \, e^{is(2n+1)\pi} \:\Big]\; \nonu \\
    &=&  {-2\pi i \,e^{is\pi} \0 1-e^{is2\pi} }
       \;\;=\;\; {2\pi i \0 e^{is\pi} - e^{-is\pi} } 
         \quad , \quad \hbox{q.e.d.} \quad
\eea % H14
mit Gru\ss\ vom Restglied der abgebrochenen geometrischen Reihe.

Die Beschr\"ankung $\,0<s<1\,$ l\"a\ss t sich nun bequem
mittels \eq{H5} aufheben. Mit $s=-s'$ liegt $s'$
in $\,-1<s'<0\,$, und es sticht $\G(-s')\,\G(1+s') =
-\G(1-s')\,\G(s')\,$. In analoger Weise ($s'=s''+1$ usw.)
wird die gesamte reelle $s$--Achse erreicht\,: \eq{H13} 
stimmt also f\"ur alle $s\,$. Genug zu Gamma.

Zur\"uck zu Zeta. In den Anh\"angen D, E, F wird zu
$s=1$ bzw. zu $s=3$ das Integral
\bea{H15}
  \int_0^\infty \!\! dt \;\, {t^s\,\ln(t) \0 e^t -1}
  &=& \6_s \int_0^\infty \!\! dt \;\, {t^s \0 e^t -1}
      \,=\, \zeta'(1+s)\,\G(1+s) + \zeta(1+s)\,\G'(1+s) 
      \;\;\quad \nonu \\
  &=& \zeta(1+s)\,\G(1+s)\,\( \, {\zeta'(1+s) \0 \zeta(1+s)} 
      + \psi(1+s) \,\) \;\; \quad  
\eea % H15
ben\"otigt. $\G(2) = 1$ und $\G(4) =6$ holen wir uns aus
\eq{H5}. $\psi(2)$ und $\psi(4)$ stehen in \eq{H10}. Die Werte
f\"ur $\zeta(2) = \pi^2/6$ und $\zeta(4) = \pi^4/90$ holen wir
uns aus \eq{G9}. Aber der Bruch in \eq{H15} bleibt unklar. Er 
sei vor\"ubergehend einfach mit
\be{H16}
   {\zeta'(2) \0 \zeta(2)} \,\glr\, y_1 
   \qquad {\rm bzw.} \qquad
   {\zeta'(4) \0 \zeta(4)} \,\glr\, y_3 \quad
\ee % H16
bezeichnet, so da\ss\
\be{H17} \!\!
  \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t\,\ln(t) \0 e^t -1}
    = {\pi^2\0 6} \( \,y_1 + 1 -\g \,\) \quad {\rm und} \quad
  \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3\,\ln(t) \0 e^t -1}  
    = {\pi^4\0 15} \(\,y_3 + {11\0 6} -\g\,\) \quad
\ee % H17
wird. Es ist unverkennbar, wie hohl diese Aussage ist\,:
die beiden Integrale h\"atten ja von vornherein mit z.B.
$x_1$ und $x_3$ bezeichnet werden k\"onnen (siehe Beginn
dieses Anhangs). Auch mit $y_1$, $y_3$ sind die dim.
Regularisierer nicht zufrieden. Sie m\"ochten die Br\"uche
wie in \eq{H16} bei negativem Argument ins Spiel bringen.

Also gut. Dazu wird die analytische Fortsetzung von 
$\zeta(s)$, \eq{H1}, in die gesamte komplexe $s$--Ebene
ben\"otigt. Funktionentheorie erz\"ahlt uns, da\ss\ es
zum Nachpr\"ufen der Behauptung 
\be{H18} \!
  \abr{23.2.4} \qquad
  \zeta(s) \;= \; - {\G(1-s) \0 2\pi i} \int_{\cl C}\! dz \;
  { (-z)^{s-1} \0 e^z - 1 } \quad (\,{\rm alle}\;s \,) \;\; ,
  \unitlength=1cm \hspace*{12mm} 
  \begin{picture}(2.3,.8) 
     \put(-.8,0){\line(1,0){2.6}}
     \put(0,-.6){\line(0,1){1.8}}
     \put(1,.6){$\underline{z}$}    
         \put(-.58,.19){\large $\cl C$}    
         \put(1,.08){\vector(-1,0){.1}}    
         \put(1,-.08){\vector(1,0){.1}}    
         \put(-.19,.24){\vector(-1,-1){.1}}    
     \multiput(0,-.5)(0,.5){4}{\circle*{.1}}
   \linethickness{.01mm}
   \put(0,0){\oval(.6,.6)[l]}
    \put(0,.1){\oval(.4,.4)[rt]}
    \put(0,-.1){\oval(.4,.4)[rb]}
   \put(.19,.08){\line(1,0){1.5}}
   \put(.19,-.08){\line(1,0){1.5}}
\end{picture} 
\ee % H18 
ausreicht, sie auf der Halbachse $\,1<s\,$ zu verifizieren 
(bei $s=1$ liegt der Zeta--Pol). Zu $\,1<s\,$ hat liegt 
kein $z$--Pol am Ursprung, und die Kontur $\cl C$ reduziert
sich auf die zwei Geraden nahe $x$--Achse. Dort ist
$z=x\pm i\e$ und somit
\bea{H19}
  (-z)^{s-1} &=& e^{(s-1)\,{\rm ln}(-z)} 
      = e^{\mp i\pi (s-1)}\;x^{s-1} \quad , \quad 
        \hbox{so da\ss }  \nonu \\[.6mm]
  \hbox{\eq{H18}}_{\rm rechte\; Seite} &=&
  - {\G (1-s) \0 2\pi i} \( e^{i\pi (s-1)} - e^{-i\pi (s-1)} \)
    \int_0^\infty\!\! dx \; {x^{s-1} \0 e^x -1} \nonu \\
  &=& \G (1-s)\, {\sin(\pi\, s) \0 \pi} \,\zeta(s)\,\G(s)
       \;=\; \zeta(s) \quad {\rm wird} 
       \quad , \quad \hbox{q.e.d.} \qquad
\eea % H19
Soeben waren \eq{H3} und \eq{H13} zu Ehren
gekommen. \eq{H18} stimmt.

Mittels \eq{H18} sollte es m\"oglich sein, die Beziehung
\be{H20}
  \abr{23.2.6} \qquad
  \zeta (s) \;=\; 2^s\,\pi^{s-1} \,\sin\({\pi\02} s\)\,
  \G(1-s)\,\zeta(1-s) \qquad (\,{\rm alle}\;s \,)  \quad
\ee % H20
herzuleiten, welche ersichtlich Zeta'a bei negativen und 
positiven Argumenten miteinander verkn\"upft. Um das 
Integral \eq{H18} zu $\,s<1\,$ auszuwerten, verbiegen
wir die Kontur $\cl C$ zu
\be{H21}
  \unitlength=1cm \hspace*{4cm} 
  \begin{picture}(8,1.96) 
  \put(-2.5,0){\line(1,0){8}}
    \put(0,-1.8){\line(0,1){3.6}}
  \put(-2,1.4){\line(1,0){5.6}}
  \put(-2,-1.4){\line(1,0){5.6}}
  \put(-2,-1.4){\line(0,1){2.8}}
     \put(-2,0){\line(-2,1){1}}
     \put(-4.44,.44){\small $z=-X$}
  \put(3,1.4){\vector(-1,0){1}}
  \put(1,-1.4){\vector(1,0){1}}
  \put(-2,.2){\vector(0,-1){1}}
     \put(.28,.67){$\Bigg\}$}
     \put(.62,.64){\small $N$ St\"uck, 
             im Uhrzeigersinn umlaufen} 
  \multiput(0,-1.6)(0,.4){9}{\circle*{.1}}
  \multiput(0,-1.2)(0,.4){3}{\circle{.2}}
  \multiput(0,.4)(0,.4){3}{\circle{.2}}
    \put(3.9,1.3){$z=-x+i(2N+1)\pi$}
    \put(3.9,-1.5){$z=x-i(2N+1)\pi$}
    \put(-1.63,-1.1){$\cl C'$}
  \end{picture} 
\ee % H21
\vskip 14mm \noindent
und schreiben $\,\zeta(s) \glr -\G(1-s)\;\cl L\,$, d.h.
\be{H22}
 {1\02\pi i} \int_{\cl C'}\! dz \;
  { (-z)^{s-1} \0 e^z - 1 } \,
  \glr\, \cl L \;=\; \cl L_{\rm Pole}  + \cl L_{\rm beide
   \;horizontalen\;Wege}  + \cl L_{\downarrow} \;\; . \quad
\ee % H22
Der Pole-Beitrag ist
\be{H23} \!\!\!
 \cl L_{\rm Pole} = - \!\sum_{k=1}^N \!\lk\! 
 (e^{-i\pi/2}\,2k\pi)^{s-1} + (e^{i\pi/2}\,2k\pi)^{s-1}
 \!\rk\! = - 2^s \pi^{s-1} \sin\({\pi\02} s\)\sum_{k=1}^N
  {1\0 k^{1-s}} \;\; . \;\;
\ee % H23
F\"ur die beiden horizontalen Wege ergibt sich
\be{H24} \!
 \cl L_{\rm beide\; ...} = {1\02\pi i} \int_{-X}^\infty \!\!\!
  dx\; { (-x-iY)^{s-1} - (-x+iY)^{s-1} \0 e^x+1}
  \;\; {\rm ,\;\;wobei} \;\; Y = (2N+1)\pi \;\; . \;
\ee % H24
Positive $x$ werden vom Nenner kontrolliert. Wenn jetzt
$N$ (ergo $Y$) nach $\infty$ geschoben wird, dann verschwindet
der Beitrag \eq{H24} wie $Y^{s-1}\,$. Ersichtlich reicht
$\,s<1\,$ f\"ur diese Aussage aus. Bleibt der Beitrag des 
vertikalen Wegst\"uckes. Sei $X \gg 1\,$. Dann kann der Nenner
durch $-1$ ersetzt werden\,:
\be{H25} 
 \cl L_{\downarrow} = {1\02\pi} \int_{-Y}^Y \!\! dt \;
    (X+it)^{s-1} = {1\0 2\pi i\,s} \lk (X+iY)^s - (X-iY)^s \rk
    \;\; . \quad
\ee % H25
Erneut lassen wir $N$ anwachsen, weit \"uber $X$ hinaus
($Y\gg X \gg 1$)\,:
\be{H26} 
 \cl L_{\downarrow}
     \;\to\;  {1\0 2\pi i\,s} Y^s \( e^{is\pi/2} -e^{-is\pi/2} \)
     \;\to\;  2^s \pi^{s-1} \sin\({\pi\02} s\)\,{1\0s} N^s
     \;\; . \quad
\ee % H26 
Zusammen mit \eq{H23} erhalten wir also
\be{H27} 
\zeta(s) \;=\; 2^s\,\pi^{s-1} \,\sin\({\pi\02} s\)\,\G(1-s)\,
     \lk \sum_{k=1}^N {1\0 k^{1-s}} - {1\0s}N^s \rki_{N\to \infty}
     \quad (\,s<1\,) \;\; . \quad 
\ee % H27 
Zu $\,s<0\,$ geht die eckige Klammer gegen $\zeta(1-s)\,$, weil
dann der $N^s$--Term verschwindet. Speziell f\"ur $\,s<0\,$
haben wir somit \eq{H20} hergeleitet. Auch zu $1<s$ gilt \eq{H20},
denn dann ist $\,1-s<0\,$, und wir k\"onnen \eq{H27}, bei 
$\,s\!\to\!1-s\,$ genommen, auf der rechten Seite von \eq{H20} 
einsetzen\,: 
\bea{H28} \!
  \hbox{\eq{H20}}_{\rm rechts} &=&
   2^s\,\pi^{s-1} \,\sin\({\pi\02} s\)\,
  \G(1-s) \cdot \,\Big[\,  
     2^{1-s}\,\pi^{-s} \,\sin\({\pi\02} (1-s)\)\,\G(s)\,
     \sum_{k=1}^\infty {1\0 k^s} \,\Big] \;\;  \nonu \\
  &=& \G(s)\,\G(1-s) \, {\sin(\pi\,s) \0 \pi} \;
    \sum_{k=1}^\infty {1\0 k^s} \;=\; \zeta(s)    
    \quad \hbox{\ -- \ in der Tat \ .} \quad  
\eea % H28 
\eq{H13} machte sich n\"utzlich. Um schlie\ss lich den 
Bereich $\,0<s<1\,$ einzubeziehen, haben wir zu zeigen,
da\ss\ die eckige Klammer in \eq{H27} auch dann 
$\zeta(1-s)$ darstellt, d.h. da\ss\
\be{H29}
  \zeta(s) \;=\, \lk \sum_{k=1}^N {1\0 k^s} 
           - {1\01-s} \,N^{1-s} \rki_{N\to \infty}   
             \quad (\,0<s\,) \quad
\ee % H29
gilt. Der limes existiert, denn bei gro\ss en $k$ variiert 
der Summand beliebig wenig, und das gro\ss --$N$--Verhalten 
der Summe wird jenes von $\int_0^N\! dk\; k^{-s} 
= N^{1-s}/(1-s)\,$.

Zur Herleitung von \eq{H29} ist etwas Vorbereitung n\"otig.
Der $1<s$--Bereich, in dem \eq{H3} gilt, l\"a\ss t sich
\anke wie man dem Resultat gleich ansieht \anke nach $0<s$ 
herunter ziehen\,:
\bea{H30} 
 (1-2^{1-s})\, \zeta(s)\,\G(s) \!&=& 
  \!\!\int_0^\infty\!\!\! dt \; {t^{s-1} \0 e^t - 1} - 
  \int_0^\infty\!\!\! dt \; {2^{1-s}\, t^{s-1} \0 e^t - 1}  
   = \int_0^\infty\!\!\! dt \; t^{s-1} \(
     {1\0 e^t - 1} - {2\0 e^{2\,t} -1} \) \;\; \nonu \\
  \!&=& \!\!\int_0^\infty\!\!\! dt \; {t^{s-1} \0 e^t +1 } \;\;\;
     (\,0<s\,) \;\; , \;\; 
      \hbox{womit \abr{23.2.8} hergeleitet ist.} \;\;
\eea % H30
Kein Tippfehler. Erstaunlich, nicht wahr, wie einfach 
Bose-- und Fermi--Funktion miteinander zusammenh\"angen.
Jetzt kanns losgehen\,:
\be{H31}
 (1-2^{1-s})\, \zeta(s)\,\G(s) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}
    \int_0^\infty \!\!\! dt \; t^{s-1}   e^{-kt}
   = \sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k+1} \0 k^s} \; \G(s) \;\; . \quad
\ee % H31
Beiderseits kann $\G(s)$ entfallen. Die $k$--Summe kontrollieren
wir mit $2N$ und behalten $\,N\!\to\!\infty\,$ im Hinterkopf\,:
\bea{H32}
 (1-2^{1-s})\, \zeta(s) &=& \sum_{k=1}^{2N} {(-1)^{k+1} \0 k^s} 
 = \sum_{n=1}^N \( {1\0 (2n-1)^s} - {1\0 (2n)^s} \) \nonu \\
 &=& \sum_{n=1}^N \( {1\0 (2n-1)^s} + {1\0 (2n)^s} 
         -2^{1-s} {N^{-s}\01-s}  - 2^{1-s}{1\0 n^s} 
    +2^{1-s} {N^{-s}\01-s} \) \quad \nonu \\
 &=& \lk \sum_{k=1}^{2N} {1\0 k^s} - {(2N)^{1-s}\01-s} \rk 
     - 2^{1-s} \lk \sum_{n=1}^{N} {1 \0 n^s} - {N^{1-s}\01-s} \rk 
      \nonu \\
 &=&  (1-2^{1-s}) \lk \sum_{k=1}^N {1\0 k^s} 
           - {1\01-s} \,N^{1-s} \rk \quad \hbox{q.e.d.} \quad
\eea % H32
denn die beiden eckigen Klammern in der vorletzten Zeile
werden bei $\,N\!\to\!\infty\,$ gleich. \eq{H29} stimmt und
d\"urfte in \abr{23.2.9} enthalten sein (das dortige
Objekt \glqq $[x]$\grqq\ ist leider unklar).

Auf \eq{H20} ist nun Verla\ss . Endlich k\"onnen wir bei
\eq{H16}, \eq{H17} weiter kommen, den dimensionalen 
Regularisierern entgegen. Die Ableitung von 
$\,\ln \lk\hbox{\eq{H20}}\rk$ nach $s$ gibt
\be{H33}
   {\zeta'(s) \0 \zeta(s)} \;=\; \ln(2\pi) + {\pi\02} 
         {\cos\({\pi\02}s\) \0 \sin\({\pi\02}s\) } 
   - \psi(1-s) - {\zeta'(1-s)\0\zeta(1-s)} \quad \quad
\ee % H33
mit den Spezialf\"allen
\be{H34}
  z_1 = {\zeta'(-1) \0 \zeta(-1)} = \ln(2\pi) - \psi(2) - y_1
           \quad {\rm und} \quad
  z_3 = {\zeta'(-3) \0 \zeta(-3)} = \ln(2\pi) - \psi(4) - y_1
           \;\; . \;\;
\ee% H34
Deren Aufl\"osung nach $y_1$ bzw. $y_3$ kann nun zusammen mit
den $\psi$--Werten \eq{H10} in \eq{H17} eingesetzt werden\,:
\be{H35}
  \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t\,\ln(t) \0 e^t -1}
    \,=\, {\pi^2\0 6} \,\(\, \ln(2\pi) -z_1 \,\) \quad , \quad
  \int_0^\infty \!\!\! dt \; {t^3\,\ln(t) \0 e^t -1}  
  \,=\, {\pi^4\0 15} \,\(\, \ln(2\pi) -z_3 \,\) \quad . \quad
\ee % H35
Dies sind die in den Anh\"angen D, E, F ben\"otigten
Integrale. 

Unsere letzten zwei Zeta--Probleme enstanden am Ende von
Anhang C. Die beiden in \eq{C14} enthaltenen Integrale
sind auszuwerten und sodann im limes $\,s\!\to\!+0\,$
zu betrachten. Das Intervall ist $\,0<s<1\,$. Vorweg der 
Blick auf die Resultate\,:
\be{H36}
  \int_0^\infty \!\!\! dx \; \( 
    { x^{s-1} \0 e^x - 1} \; - \; x^{s-2} \, \)
    = \zeta(s) \,\G(s) \quad , \quad
  \int_0^\infty \!\!\! dx \; { x^{s-1} \0 2 + x} = 2^{s-1} 
    \G(s)\,\G(1-s)\;\; . \;\;
\ee % H36
Beim zweiten Integral haben wir Gl\"uck, denn es findet sich
nach $\,x\!\to\!2x\,$ in der dritten Zeile von \eq{H14}.
Zum linken Integral erinnert sich die Idee von \eq{H30} und
in der zweiten Zeile sogar \eq{H30} selber\,:
\bea{H37} & & \hspace*{-9mm}
 (1-2^{1-s})\,\int_0^\infty \!\!\! dx \; \( 
    { x^{s-1} \0 e^x - 1} \; - \; x^{s-2} \, \) =
    \int_0^\infty\!\!\! dx \; \( {x^{s-1} \0 e^x - 1} -
    {(x/2)^{s-1} \0 e^x - 1} - x^{s-2} + { (x/2)^{s-2} \0 2} \)
    \nonu \\
  &=& \int_0^\infty\!\!\! dx \; x^{s-1} \,\( {1\0 e^x - 1}
      - {2\0 e^{2x} - 1} \) = \int_0^\infty\!\!\! dx \; 
        {x^{s-1} \0 e^x + 1} = (1-2^{1-s}) \,\zeta(s) \,\G(s)
\eea % H37
q.e.d. \ \eq{H36} stimmt.

Anhang C verlangt noch, beide Ausdr\"ucke \eq{H36} bei 
$\,s\!\to\!+0\,$ zu betrachten. Zum Produkt der beiden
Gamma's schauen wir am besten auf \,\eq{H13}$\,=1/s 
+ \cl O(s)\,$, so da\ss\ 
\be{H38}
  2^{s-1}\, \G(s)\,\G(1-s) \;=\; {1\02s} + {1\02}\,\ln(2)
          + \,\cl O (s) \qquad 
\ee % H38
entsteht. Der erste Ausdruck \eq{H36} bereitet M\"uhe.
Vermutlich geht es irgendwie viel einfacher. Mit \eq{H9}
k\"onnen wir schreiben
\be{H39} 
  \zeta(s)\,\G(s) = \( {1\0s} - \g \)\,\zeta(0)\,
  \( 1 + s\,{\zeta'(0)\0 \zeta(0)} \) + \cl O (s) 
    = {-1\02\,s} +{\g\02} -{1\02}{\zeta'(0)\0 \zeta(0)}
   + \cl O (s) \;\; , \quad 
\ee % H39 
wobei wir soeben $\zeta(0)=-1/2$  (unter Gebrauch 
von (9.36) aus \cite{pb}) direkt der allgemeinen 
Zeta--Version \eq{H18} entnommen hatten\,:
\bea{H40} 
  \abr{23.2.11} \qquad\quad
  \zeta(0) &=& {1\02\pi i} \oint \! dz \; {1\0 z^2}\, f(z) 
          \quad {\rm mit} \quad f(z)={z \0 e^z -1} \nonu \\
           \qquad
  &=& f'(0) \,=\; \lim_{a\to 0} {\,(1-a)\,e^a -1\, \0 (e^a-1)^2 } 
    \;=\; -\,{1\02} \quad . \qquad
\eea % H40
Um den Bruch in \eq{H39} zu studieren, sehen wir uns \eq{H33}
bei $\,s\!\to\!+0\,$ an\,,
\be{H41}
   {\zeta'(s) \0 \zeta(s)} \;=\; \ln(2\pi) + {1\0s} + \g
         - {\zeta'(1-s)\0\zeta(1-s)} + \cl O (s) \;\; , \quad 
\ee % H41
und erlauben uns einen \,V\,o\,r\,g\,r\,i\,f\,f\, auf
\be{H42}
  \zeta(1-s)\;\G(1-s) \;=\; -\,{1\0s} \, + \, \cl O (s) 
  \quad . \quad
\ee % H42
Mit \eq{H42} kommen wir rasch weiter zu
\bea{H43}
  \zeta(1-s) &=& (1-s\g) \(-\,{1\0s} + \cl O (s) \)
  \;=\; -\,{1\0s} + \g + \cl O (s) \quad , \quad
     \nonu \\
  {\zeta'(1-s)\0\zeta(1-s)} &=& {1\0s} + \g + \cl O (s)
  \quad \hbox{und via \eq{H41} zu} \quad 
  {\zeta'(0)\0\zeta(0)} \;=\; \,\ln(2\pi) \quad . \quad
\eea % H43
Dies in \eq{H39} f\"uhrt auf
\be{H44}
    \zeta(s)\,\G(s) = {-1\02\,s} +{\g\02} 
    -{1\02}\,\ln(2\pi)  + \cl O (s) \;\; . \quad 
\ee % H44
Nach \eq{C15} sind die Ausdr\"ucke \eq{H44} und \eq{H38}
schlicht zu addieren\,: 
\be{H45}
  I(s) = {-1\02\,s} +{\g\02} -{1\02}\,\ln(2\pi)
         \;+\; {1\02s} + {1\02}\,\ln(2) + \,\cl O (s)  
\ee % H45
Weil sich die $1/s$--Anteile h\"ubsch kompensieren,
wird $\,s\!\to\!+0$ m\"oglich. $I(0)$ steht links
in \eq{C16}\,. 

Fertig\,? \ Nein. Der Vorgriff \eq{H42} ist noch
zu belegen. Es liegt nahe, dazu in \eq{H30} $s$ durch 
$1-s$ zu ersetzen und dann kleine $s$ anzusehen\,: 
\bea{H46} 
  \zeta(1-s) \, \G(1-s) 
  &=& {1\0 1-2^s}\, \int_0^\infty\!\!\! dt \; 
     {t^{-s} \0 e^t + 1} =  {-1\0 s \,{\rm ln}(2) 
      + {1\02} s^2\,{\rm ln}^2(2) } \,\int_0^\infty \!\!\! dt 
       \; { 1 - s\,{\rm ln}(2) \0 e^t + 1} \quad \nonu \\[1mm]
  & & \hspace*{-27mm}
   =\; {-1 \0 s\,{\rm ln} (2)} \( 1 - {s\02}\,\ln(2) \)
         \,\Big( \,\ln(2) - s\,\cl M \,\Big)  + \cl O (s)  \nonu \\
 & & \hspace*{-27mm}
    =\;   - \,{1\0s} + {1\02}\,\ln(2) + {1\0 {\rm ln}(2)}\,\cl M
         + \cl O (s)   \quad {\rm mit} \quad 
     \cl M = \int_0^\infty\!\! dt \; {\ln(t) \0 e^t + 1}
    \quad .  \quad
\eea % H46
Die Zeta--Thematik steckt voller Herausforderungen. Dieses
simple Integral $\cl M$ kann doch wohl nichts \"Ubles mehr 
werden. Wir kontrollieren die untere Grenze mit $\e\,$, 
integrieren partiell und schreiben $\,\ln(1+e^{-t})\,$ als Reihe\,:
\bea{H47} 
  \cl M &=& \ln(\e )\,\ln(2) + \int_\e^\infty \!\! dt 
            \; {1\0t} \;\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k+1} \0 k} 
       \;e^{-kt} \nonu \\
   &=& \ln(\e )\,\ln(2) + \,\sum_{k=1}^\infty 
      \,{(-1)^{k+1} \0 k} \,E_1(\e k) \quad {\rm mit} \quad 
    E_1(\e k) = \int_{\e k}^\infty \!\! dt \; {1\0t}\,e^{-t}
   \quad . \quad
\eea % H47 
Partielle Integration im verbliebenen Integral f\"uhrt auf
\be{H48} 
    E_1(\e k) = -\,\ln(\e k) + \int_0^\infty \!\! dt \; 
           \ln(t)\,e^{-t} - \int_0^{\e k} \!\! dt 
           \;\ln(t)\,e^{-t} =
    -\ln(\e k) - \g + \cl O (\e \,\ln(\e ) \;\; . \quad
\ee % H48 
Es ist {\sl unser} $\g$ von \eq{H8}. Ohne $E_1$ stellt
die Summe in \eq{H47} $\,\ln(2)$ dar. $\,\e\!\to\!0\,$ ist
jetzt ausf\"uhrbar\,:
\be{H49}  \!
 \cl M = -\g\,\ln(2) - \!\sum_{k=1}^\infty 
          \,{(-1)^{k+1} \0 k} \;\ln(k)
 \,=\, -\g\,\ln(2) - \!\sum_{n=1}^N \, \( {\ln(2n-1) \0 2n-1} 
         - {\ln(2n) \0 2n} \) \; . \quad
\ee % H49
Nat\"urlich ist ein $\,N\!\to\!\infty\,$ hinzu zu denken.
Wie ging es in \eq{H32} weiter\,? \,Aha\,:
\bea{H50} 
  \cl M &=& -\g\,\ln(2) - \sum_{k=1}^{2N}\,{\ln(k) \0 k}
         +  \sum_{n=1}^N {\,\ln(n)\0 n} 
      + \,\ln(2) \sum_{n=1}^N {1\0n} \qquad \nonu \\
   &=& -\g\,\ln(2) - \sum_{k=N+1}^{2N}\,{\ln(k) \0 k}
       + \ln(2)\,\ln(N) + \ln(2)\,\g  \;\; . \quad 
\eea % H50 
Aber das $\g$ ganz rechts ist soeben \"uber die Reihe
\eq{H11} hinein gekommen. Die verbliebene Summe erlaubt
\"Ubergang zum Integral
\be{H51} 
  \!\int_N^{2N} \!\! dk \; {\,\ln(k) \0 k} =
  \int_{{\rm ln}(N)}^{{\rm ln}(2N)} \!\!\!\! dx \; x 
  \,=\, \ln(2)\,\ln(N) + {1\02}\,\ln^2(2) 
  \quad \folg \quad \cl M = - {1\02}\,\ln^2(2) 
  \;\; . \quad 
\ee % H51 
Alles recht seltsam, nicht wahr. Aber nach Einsetzen
von $\cl M$ in \eq{H46} kommt tats\"achlich das Gew\"unschte
heraus, n\"amlich \eq{H42}\,. \ Ende. \\
\rightline{Hannover, 14. M\"arz 2008}

%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%  Literatur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    \renewcommand{\section}{\paragraph}
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