Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Differentialgeometrische Strukturen auf Raumzeiten und Singularitätentheorie Wintersemester 2014/15

Übungen

• Blatt 1 (29.10.2014) (pdf):
   
  Definition des Minkowskiraumes und einige seiner geometrischen Eigenschaften:
  Kegelstruktur (chronologisch, kausal, lichtartig), Cauchy-Schwartz Ungleichungen und Dreiecksungleichungen, Satz von Robb, kausale Relationen und Automorphismen.
 

• Blatt 2 (05.11.2014) (pdf):
   
  
  1. Einfaches Beispiel eines nicht-hyperflächenorthogonalen Vektorfelds.
  2. Beweis eines einfachen Satzes über Formen, der bei der Charakterisierung der Hyperflächenorthogonalität von Vektorfeldern nützlich ist.
  3. Autoparallele und Geodätische.
  4. Beweis der Äquivalenz der in der Vorlesung gegebenen Definition von Zeit-Orientierbarkeit mit der Existenz eines globales zeitartigen Vektorfeldes.
  5. Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz zeit-orientierbarer Lorentzmetriken auf einer Mannigfaltigkeit M.
   
  
• Blatt 3 (12.11.2014) (pdf):
   
  
  1. Allgemeine Formel für Fermi-Walker Ableitung eines Tensorfeldes mit Anwendung auf Metrizität.
  2. Fermi-Walker transportierte Vektoren für gleichförmige Rotationsbewegung im Minkowski-Raum.
  3. Diagonalisierbarkeit von Energie-Impulstensoren.
  4. Energie-Impulstensor einer idealen Flüssigkeit und Einschränkungen daran durch schwache- und starke Energiebedingung, sowie durch die Bedingung der Energiedominanz.
  5. Der allgemeine Energie-Impulstensor als lineare Abbildung und die Bedingung der Energiedominanz.
   
  
• Blatt 4 (27.11.2014) (pdf):
   
  
  1. Geometrische Schreibweise der lokalen Geschwindigkeitsabbildung, die zu normierten zeitartige Vektorfeldern gehört.
  2. Geometrische Schreibweise der Raychaudhuri-Gleichung.
  3. Evolutionsgleichung für die Spur der Geschwindigkeitsabbildung in beliebigen Raum-Zeitdimensionen.
  4. Cauchy-Flächen haben keine Grenzpunkte (im Sinne achronaler Mengen) und global-hyperbolische Raum-Zeiten haben keine (nicht-konstanten) geschlossenen kausalen Kurven.
  5. Lichtkegelerweiternde Deformationen von Lorentzmetriken und ihrer Inversen.
   
  
• Blatt 5 (03.12.2014) (pdf):
   
  
  1. Beispiel einer zeitartigen geodätischen Kongruenz im Minkowski-Raum orthogonal zu einer raumartigen Fläche mit Cauchy-Horizont. Berechnung der Geschwindigkeitsabblidungen; Verhalten der Expansion bei Annäherung an den Cauchy-Horizont.
  2. Äquivalente Formulierungen der Generizitäts-Bedingung.
   
  
• Blatt 6 (10.12.2014) (pdf):
   
  
  1. Symmetrie der Hess'schen des Längenfunktionals. Eine hinreichende geometrische Bedingung dafür, dass sie semi negativ-definit ist.
  2. Eine "interessante" glatte Lorentzmetrik auf dem 2-dimensionalen Torus und einige ihrer Konsequenzen (verteilt auf 4 Aufgaben): Definition und Symmetrien, Krümmung, geodätische Unvollständigkeit und Holonomie.
   
  
• Blatt 7 (19.12.2014) (pdf):
   
  
  1. Krümmungseigenschaften von Metriken des Einstein-DeSitter Typs. Äußere Krümmung der Hyperflächen t=konst.
  2. Zeit- und lichtartige Geodätische in der Einstein-DeSitter Raumzeit.
  3. Anwendung des 1. Hawking'schen Singularitätensatzes auf die Einstein-DeSitter Raumzeit.
   
  
• Blatt 8 (14.01.2015) (pdf):
   
  
  1. Äußere Krüummung und Zusammenhangskoeffizienten.
  2. Äußere Krümmungen in der Schwarzschild-Geometrie.
  3. Krümmungsverhältnisse der Kasner-Metrik; geodätische Unvollständigkeit.
   
  
• Blatt 9 (21.01.2015) (pdf):
   
  
  1. Lichtartige und autoparallele Vektorfelder sind genau dann hyperflächenorthogonal wenn sie vortizitätsfrei sind.
  2. Lichtartige und hyperflächenorthogonale Vektorfelder sind autoparallel.
  3. Für lichtartige Vektorfelder ist Hyperflächenorthogonalität äquivalent zur Autoparallelität plus Vortizitätsfreiheit.

Ergänzungen

1. Domenico Giulini: Differentialgeometrie für Physiker, Teil I:
   Riemann'sche und Semi-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten. (pdf)
 

2. Robert Geroch: What is a Singularity in General Relativity.
   Annals of Physics 48 (1968) 526-540 (pdf)
 

3. Robert Geroch: Some Recent Work on Global Properties of Spacetimes.
   Actes, Congres intern. Math. 3 (1970) 41-45 (pdf)
 :

4. Roger Penrose: Techniques of Differential Topology in Relativity.
   Regional Conference Series in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics (1972) (pdf)