Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Theorie der Schwarzen Löcher Wintersemester 2018/19

Übungen

In Klammern ist die Kalenderwoche (KW) angegeben, in der das Blatt in den Übungen besprochen wird.

• Blatt 1 (43 KW) (pdf):
   
  
  1. John Michells (1724-1793) ersinnt die Möglichkeit der Existenz von Sternen mit Fluchtgeschwindigkeiten größer als c.
  2. Masse, Radius und Dichte eines Sterns mit irdischer Gravitationsbeschleunigung und v_∞=c.
  3. Newton'sche Bindungsenergie spherisch-symmetrischer Sterne mit Anwendungen auf Neutronensterne.
  4. Spannungstensor des Newton'schen Gravitationsfeldes und Arbeitsleistung beim Umverteilen von Materie. Integration der Killing-Gleichung im flachen ℝ³.
   
  
• Blatt 2 (44+46 KW) (pdf):
   
  
  1. Grenz-Ladung analog zur Grenz-Masse: Speziell-relativistische instabilität wasserstoffähnlicher Atome;
  2. Taylor-Entwicklung und exakte Lösungen der Lane-Emden Gleichung.
  3. Berechnung des Verhältnisses von mittlerer zur zentralen Massendichte für Lösungen der Lane-Emden Gleichung.
  4. Teil1: Allgemein-relativistische Euler-Gleichungen für ideale Flüssigkeiten. Teil 2: Einführung einer erhaltenen "Teilchenzahl" n und zeitliche Konstanz der Entropie pro Teilchen. Teil 3: Annahme rämlich konstanter Entropie und Bestimmung der Massendichte und des Druckes als Funktion der Teilchenzahl im Falle polytroper Zustandsgleichungen.
   
  
• Blatt 3 (46 KW) (pdf):
   
  
  1. Nochmals allgemein Masse und Radius eines durch Fermidruck stabilisierten Sterns.
  2. Kompaktheitsparameter weißer Zwerge und Abschätzung der Gültigkeit der Newton'schen Gravitationstheorie kritischer weißer Zwerge.
   
  
• Blatt 4 (47 KW) (pdf):
   
  
  1. Was hägt noch am Seil, das man mit einem Bierkasten am Ende aus sicherer Entfernung in ein schwarzes Loch herablässt? Kann man das überhaupt und welche Kraft muss man dabei aufwenden?
  2. Einbettungsdiagramme für rotationsinvariante 2d-Metriken. Anwendung auf räumlichen Anteil und optische Schwarzschildmetrik.
  3. Konforme Flachheit rotationsinvarianter Metriken und isotrope Schwarzschild-Koordinaten.
  4. Diskrete Isometrien der Schwarzschildmetrik in isotropen Koordinaten; Quotientenräme und -raumzeiten und deren mögliche interpretation.
  5. Der Satz von Einstein-Pauli über die Abwesenheit nicht-trivialer, statischer, regulärer, asymptotisch flacher L"osungen der Vakuum-Einstein-Gleichungen (Abwesenheit gravitativer Solitonen).
  6. TOV-Gleichung mit kosmologischer Konstante.
   
  
• Blatt 5 (48 KW) (pdf):
   
  
  1. Verfeinerung der Buchdahl-Grenze durch die Bedingug der Enerdiedominanz |p| ≤c²ϱ.
  2. Der Schatten eines nicht-rotierenden schwarzen Lochs.
   
  
• Blatt 6 (49 KW) (pdf):
   
  
  1. Nochmal Eddington-Finkelstein-Koordinaten.
  2. Painlevée-Gullstand-Koordinaten.
  3. Rindler Koordinaten im Minkowskiraum und die kausalen Relationen eines konstant beschleunigten Beobachters (zeitartige Weltline konstanter Beschleunigung/Krümmung).
   
  
• Blatt 7 (50 KW) (pdf):
   
  
  1. Einige algebraische Eigenschaften des elektromagnetischen Energie-Impulstensors.
  2. Aspekte der Reissner-Nordström-Metrik.
   
  
• Blatt 8 (2 KW 2019) (pdf):
   
  
  1. Radardistanzen und Kausalitätsverhältnisse zwischen Rindler-Beobachtern.
  2. Beipiele von a/m=(Jc)/(M²G) Verhältnissen.
  3. Die Komar-Masse/Energie am Beispiel der Schwarzschild- und Reissner-Nordström-Lösung; Homologie-Invarianz bzw. -Nicht-Invarianz.
   
  
• Blatt 9 (3 KW 2019) (pdf):
   
  
  1. Geometrie des Horizontes eines Kerr-Newman schwarzen Lochs.
   
  
• Blatt 10 (4 KW 2019) (pdf):
   
  
  1. Anwendung des Hawking'schen Oberflächensatzes: Obere Schranke an die Energieausbeute beim Verschmelzen von n>2 Schwarzen Löchern.
  2. Der Drehimpuls eines Kerr Schwarzen Lochs wird beim Penrose Prozess notwendig verringert.
  3. Anwendung des Hawking'schen Oberflächensatzes: Obere Schranke an die relative Energieausbeute beim Penrose-Prozess ist (√2-1)/√2.
   
  
• Blatt 11 (5 KW 2019) (pdf):
   
  
  1. Umlaufzeiten stationärer Beobachter um ein Kerr-Loch.
  2. Laufzeiten gegenläufiger Lichtsignale um ein Kerr-Loch relativ zu einem stationären Beobachter. Wann ist ein stationärer Beobachter nicht-rotierend?
  3. Bestimmung der maximalen Masse, unterhalb der das elektrische Feld einer nicht super-kritischen Reissner-Nordström-Lösung den Schwinger-Limit auf oder außerhalb des Horizontes erreicht.
   
  

Ergänzungen

1. Mathematischer Hintergrund
   • D. Giulini: Differentialgeometrie für Physiker (pdf)
 

Handschritliche Notizen

Im Folgenden können meine handschriftlichen Notizen zu den einzelnen, in der Vorlesung behandelten Themen heruntergeladen werden. Vollständigkeit und Fehlerfreiheit können nicht garantiert werden. Sie stellen kein ausgearbeitetes Skript dar. Ich werde ihnen auch nicht immer folgen, denn einiges daraus wurde bereits in der Vorlesung Einführung in die ART aus dem SS 2018 behandelt und wird hier nicht mehr wiederholt.