Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie Sommersemester 2019

Übungen

In Klammern ist die Kalenderwoche (KW) angegeben, in der das Blatt in den Übungen besprochen wird.

• Blatt 1 (16 KW) (pdf):
   
  
  1. Galileis Gedankenexperiment zum Äquivalenzprinzip.
  2. Träge, aktive und passive schwere Masse im Newton'schen Gravitationsgesetz.
  3. Spannungstensor des Newton'schen Gravitationsfeldes.
  4. Nichtlineare Modifikation der Newton'schen Gravitationsfeldgleichungen.
   
  
• Blatt 2 (17 KW) (pdf):
   
  
  1. Wiederholung zum Keplerproblem.
  2. Periastronpräsession in allgemeinen Potentialen V(r).
  3. Quadrupol-induzierte Periastronpräsession von Bahnen in der Äquatorialebene. Wie groß müsste das Quadrupolmoment der Sonne sein um die Periheldrehung des Merkur zu erklären?
   
  
• Blatt 3 (19 KW) (pdf):
   
  
  1. Energie-Impulstensor einer idealen Flüssigkeit.
  2. Folgerungen aus der Divergenzfreiheit des Energie-Impulstensors einer idealen Flüssigkeit (in der SRT).
  3. Vierer-Stromdichte eines geladenen Punktteilchens in der SRT und ihre Divergenzfreiheit. Energie-Impulstensor eines massiven Punktteilchens in der SRT und die (notwendige und hinreichende) Bedingung, unter der dieser divergenzfrei ist.
  4. Diagonalisierbarkeit von Energie-Impulstensoren.
   
  
• Blatt 4 (20 KW) (pdf):
   
  
  1. Energiebedingungen an Energie-Impulstensoren.
  2. Geometrische Interpretation der Energiedominanz-Bedingung.
  3. Geodätische als stationäre Punkte des Energiefunktionals.
  4. Geodätische auf der 2-Späre.
   
  
• Blatt 5 (21 KW) (pdf):
   
  
  1. Das Längenfunktional für Kurven und seine stationären Punkte.
  2. Autoparallele Kurven auf Mannigfaltigkeiten mit indefiniten Metriken. Verhalten unter Reparametriesierung. Geodätische Kurven als Spezialfälle.
  3. Mögliche Mini-Max-Eigenschaften stationärer Punkte des Längenfunktionals im Riemann'schen und indefiniten Fall.
   
  
• Blatt 6 (22 KW) (pdf):
   
  
  1. Geodätische auf der oberen Halbebene mit Metrik g=(dx²+dy²)/y² (Poincaré'sche Halbebene).
  2. Erste und zweite Bianchi-Identität für allgemeine Zusammenhänge als Folge der beiden Cartan'schen Strukturgleichungen. Spezialisierung auf torsionsfreie Zusammenhänge.
  3. Kovariante Divergenzfreiheit des Einstein-Tensors als Folge der 2. Bianchi-Identität für den Levi-Civita Zusammenhang.
   
  
• Blatt 7 (23 KW) (pdf):
   
  
  1. Geodätische in einer Metrik, in der nur g_oo nicht trivial ist.
  2. Unterschied der Eigenzeiten zweier sich zweimal treffenden Uhren im homogenen Gravitationsfeld, von denen eine ruht die andere frei fällt.
  3. Lie Ableitung der Metrik ausgedrückt durch kovariante Ableitung: Allgemein und im Spezialfall total antisymmetrischer Torsion und verschwindenden metrischen Defekts.
  4. Kommutator kovarianter Ableitungen ausgedrückt durch Krümmungs- und Torsionstensor (für allgemeine Zusammenhänge).
  5. Die zweite Levi-Civita kovariante Ableitung eines Killing-Feldes.
   
  
• Blatt 8 (25 KW) (pdf):
   
  
  1. Vollständige Eichfixierung der linearisierten Einstein-Gleichungen.
  2. Statische und stationäre Raumzeiten.
  3. Beweis der Abwesenheit nicht-trivialer, statischer, regulärer, asymptotisch Minkowski'scher Lösungen der Vakuum Einstein-Gleichungen. (Beweis des Satzes: Es existieren keine Gravitations-Solitonen.)
  4. Die räumlichen Projektionen lichtartiger Geodätischer in statischen Raumzeiten sind Geodätische in der optischen Metrik.
   
  
• Blatt 9 (26 KW) (pdf):
   
  
  1. Abbildungsgleichung von Gravitationalinsen und ihre Eigenschaften für allgemeine Massenverteilungen.
  2. Spezialfall: Abbildungsgleichung der Gravitationalinse einer punktförmigen Massenverteilung. Vergleich mit dem Bild von LRG 3-757.
  3. Jacobi-Gleichung der Geodätischen Deviation.
   
  
• Blatt 10 (27 KW) (pdf):
   
  
  1. Krümmungstensor einer ebenen Gravitationswelle.
  2. Energiestromdichte einer ebenen Gravitationswelle.
  3. Geometrische Optik (Lichtausbreitung) im Feld einer ebenen Gravitationswelle.
  4. Frequenzverschiebung im Feld einer Ebenen Gravitationswelle.
  5. Folgerungen aus den quellenfreien Maxwell-Gleichungen in einer allgemeinen Raum-Zeit im Limes der geometrischen Optik: Lichstrahlen sind Nullgeodätische entlang derer der Polarisationsvektor parallel transportiert und die logarithmische Änderungsrate der Amplitide gleich ist der halben Konvergenz (negative Divergenz) des Wellenzahlvektorfeldes ist.
   
  
• Blatt 11 (28 KW) (pdf):
   
  
  1. Maximale Gravitationswellen-Luminositäten rotierender Körper an der Grenze zur Zerreißspannung.
  2. Maximale Aplituden von Gravitationswellen von rotierender Körper an der Grenze zur Zerreißspannung.
  3. Abstands- und Periodenänderungen von einfachen Doppelsternsystemen (gleiche Massen und auf Kreisbahnen) aufgrund des Energieverlustes durch Gravitationswellen.
  4. Abstrahlung von Gravitationswellen eines frei-fallenden Teilchens im Gravitationsfeld einer viel schwereren Masse.
   
  
• Blatt 12 (29 KW) (pdf):
   
  
  1. Der Krümmungstensor der Schwarzschild-Metrik: Kretschmann-Skalar und invarianz unter radialen Boosts.
  2. Anwendung der Jacobi-Gleichung der geodätischen Deviation: Berechnung der Zusgspannung auf einen elastischen Körper beim freien Fall durch den Horizont eines Schwarzschild schwarzen Lochs.
  3. Bestimmung einer oberen Schranke an die Eigenzeit zeitartiger Weltlinien, die den Horizont mit der Singularität in der Schwarzschild-Geometrie verbinden. Das heißt: Maximale Überlebenszeit eines beliebig bewegten Beobachters nach Durchtritt durch den Horizont eines Schwarzschild schwarzen Lochs.
   
  

Ergänzungen

1. Mathematischer Hintergrund
   • D. Giulini: Differentialgeometrie für Physiker (pdf)
 

2. Diskussion des Trägheitsgesetzes
   • D. Giulini: Das Problem der Trägheit (pdf)
 

3. Warum gibt es keine speziell-relativistische Gravitationstheorie?
   • D. Giulini: What is (not) wrong with scalar gravity (pdf)
 

4. Über die ART und ihren experimentellen Status
   • D. Giulini: Einsteins Kunstwerk. Die Allgemeine Relativitätstheorie -- aus mittlerer Entfernung betrachtet. (Physik Journal 10 (2005) 27-33) (pdf)
 

5. Zum Gravitomagnetismus
   • D. Giulini: Kosmische Kreisel: Inertialsysteme und Gravitomagnetismus. (Physik in unserer Zeit 35 (2004) 160-167) (pdf)
 

6. Allgemeine Grundlagen
   • Kip Thorne, David Lee und Alan Lightman: Foundations for a Theory of Gravitation Theories. (Physical Review D, Vol. 7, Nr. 12 (1973) 3563-3577) (pdf)
 

7. Zur Periheldrehung des Merkur
   • Anna Nobili & Clifford Will (Nature 320 (1986) 39-40): The real value of Mercury's perihelion advance. (pdf)
   • Sophie Pireaux und Jean-Pierre Rozelot (Astrophysics and Space Science 284 (2003) 1159-1194): Solar quadrupole moment and purely relativistic gravitation contributions to Mercury's perihelion advance. (pdf)
   • Frank Pijpers (Mon. Not. R. Astron. Soc. 297 (1998) L76-L80): Helioseismic determination of the solar gravitational quadrupole moment (pdf)
    
   
8. Erste direkte Nachweise von Gravitationswellen
   • B.P. Abbott et al.: Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger (Physical Review Letters Vol. 116 (2016) 061102) (pdf)
   • B.P. Abbott et al.: GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence (Physical Review Letters Vol. 116 (2016) 241103) (pdf)
 

9. Historisches
   • F.W. Dyson, A.S. Eddington und C. Davidson: A Determination of the Defelction of Light by the Sun's Gravitational Field, from Observations made at the Total Eclipse of May 29, 1919. (Philosophical Transactions of the Royal Societey A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Volume 220, Issues 571-581, 1920) (pdf)