Übungen
- Blatt 1 (pdf):
- P1/H1: Das Mathematische Pendel exakt; Galileis "Versuch".
- P2/H2: Das Kepler-Problem einmal anders.
- P3/H3: Zentralkräfte; Bestimmung aus Bahnkurven.
- Blatt 2 (pdf):
- P1: Rotationssymmetrische Kraftfelder im R3.
- P2: Aktion von Gruppen auf Abbildungsräumen.
- P3: Die Galilei-invariante Äquivalenzrelation der Gleichzeitigkeit in Newton-Galilei Raumzeiten und die Wirkung der Galilei-Gruppe auf der "Zeit".
- H1: Die Erzeugung der Drehungen im R3 durch die Exponentialfunktion antisymmetrischer Abbildungen.
- H2: Verallgemeinerte Aktion von Gruppen auf Abbildungsräumen; Anwendung auf Teilchentrajektorien.
- H3: Galileis Argument für die Massenunabhängigkeit der Fallbeschleunigung im Gravitationsfeld.
- Blatt 3 (pdf):
- P1/H1: Freier Fall vom Bremer Fallturm.
- P2: Kraftwirkungen auf Zwangsflächen.
- H2: Autofahren auf einer Drehscheibe.
- P3/H3: Freiheitsgrade des scharfkantig-schlupflosen Rades und die Anholonomität seiner Zwangsbedingungen.
- Anhang (nur zur Info): Zusammenfassung der Definition des Begriffs "beschleunigtes Bezugssystem": in einer Newton-Galilei Raumzeit und der Ableitung der Newton'schen Bewegungsgleichung darin.
- Blatt 4 (pdf):
- P1: Einfaches Beispiel nicht-integrabler Distribution im R3.
- P2: Punktmasse auf Kugel.
- P3: Punktmasse in der Ebene am verkürzenden Faden.
- H1: Sphärisches Pendel.
- H2: Person auf Leiter. Vorsicht: Un(m)fallgefahr!
- H3: Zwangskräfte beim rollenden scharfkantigen Rad.
- Blatt 5 (pdf):
- P1: Verallgemeinerte Potentiale für geschwindigkeitsabhängige Kräfte.
- H1: Anwendung von P1 auf Lorentz-Kraft in der Elektrodynamik.
- P2: Freie Teilchen auf Zwangsflächen (geodätische Bewegung).
- H2: Anwendung von P2 auf Kugeloberfläche. Verallgemeinerung auf lineares Potential (sphärisches "Pendel".)
- P3: Pendelnde Feder im Gravitationsfeld.
- H3: Gleitendes Pendel im Gravitationsfeld.
- Blatt 6 (pdf):
- CU1: Das sphärische Pendel.
- P1: Nicht jede Symmetrie einer Euler-Langrange-Gleichung ist notwendig eine Noether-Symmetrie.
- P2: Schraubenbewegung als Noether-Symmetrie und ihr Erhaltungssatz.
- P3: Welche Relation besteht zwischen Lagrangefunktionen mit identischen Euler-Lagrange-Gleichungen?
- Blatt 7 (pdf):
- P1: Euler-Winkel und adjungierte Darstellung der SO(3).
- H1: Komponenten der Winkelgeschwindigkeit bezüglich raumfester und körperfester Basen als Funktion der Eulerwinkel.
- P2: Zerlegung der kinetischen Energie bezüglich Schwerpunkt in translatorischen und rotatorischen Anteil; Besonderheiten davon. Konstante Größen im raum- und körperfesten System. Geometrischer Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls (Poinsot).
- H2: Rotatorische kinetische Energie in Falle einfach entarteter Hauptträgheitsmomente als Funktion der Eulerwinkel. Langrange Funktion und erhaltene Größen.
- H3: Trägheitsmomente des dreiachsigen homogenen Ellipsoids; Anwendung auf Polschwankungen der Erde.
- Blatt 8 (pdf):
- P1: Variationsprinzip für die Kurve eines im homogenen Gravitationsfeld hängenden Seils fester Endpunkte.
- H1: Variationsprinzip für die Kurve kürzester Fallzeit zwischen zwei festen Punkten im homogenen Gravitationsfeld.
- P2: Linearisierung der Euler'schen Kreiselgleichung um eine Hauptachsendrehung.
- H2: Lösung der linearisierten Euler-Gleichungen und Unterteilung der Lösungen in beschränkte und unbeschränke (Stabilität).
- H3: Beweis, dass die stationären Lösungen der Euler'schen Kreiselgleichung genau die um die Hauptträgheitsachsen sind.
- Blatt 9 (pdf):
- P1: Wiederholung zur Trägheitsabbildung. Abhängigkeit von der Bezugsweltlinie; Steiner'scher Satz.
- H1: Charakterisierung der Schwerpunktsweltlinie durch Minimierung der Trägheitsmomente. Spur des entsprechenden Trägheitstensors als Funktion der Relativabstände (Lagrange'sche Identität).
- P2: Konjugierte Impulse und Hamiltonfunktion des freien Teilchens in Zylinder- und Kugelkoordinaten.
- H2: Konjugierte Impulse und Hamiltonfunktion des freien Kreisels in Eulerwinkeln.
- H3: Konjugierte Impulse und Hamiltonfunktion des freien Teilches bezüglich der Koordinaten einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Orthonormalbasis.
- Blatt 10 (pdf):
- P1: Kanonische Koordinaten und ihre Poisson-Relationen.
- H1: Spezielle kanonische Transformationen in Koordinaten (koordinatenfrei in der Vorlesung).
- P2: Divergenzfreiheit Hamilton'scher Vektorfelder in Koordinaten. Koordinatenfreie Interpretation.
- H2: Impulsabbildung exakt-symplektischer Vektorfelder.
- H3: Poisson-Relationen zwischen Drehipulsobservablen.
- B1 (Bonuspunkte): Ableitung der Lagrange-Jacobi-Identität für homogene Potentialfunktionen vom Grade k.
- B2 (Bonuspunkte): Mauptertuis'sche Wirkung und Jacobi'sches Variationsprinzip.
- B3 (Bonuspunkte): Reziprozitätsgesetz für Zentralkraftfelder mit identischen Bahnen.
- Blatt 11 (pdf):
- P1/H1: Hamilton-Jacobi-Theorie des 1-dimensionalen harmonischen Oszillators.
- P2/H2: Hamilton-Jacobi-Theorie eines Teilchens im Zentralkraftfeld.
- H3: Involutive Erhaltungsgrößen einiger einfacher integrabler Systeme.
- Blatt 12 (pdf):
- P1: Poisson-Relationen der 7 Erhaltungsgrößen im Kepler-Problem; die SO(4) Symmetrie gebundener Zustände.
- CU2: Supernova remnant; MIR außer Kontrolle.
- Blatt 13 (pdf):
- P1: Cauchy-Schwarz und Dreiecksungleichung in Vektorräumen mit Minkowski-Metrik.
- H1: Strenge "umgekehrte" Cauchy-Schwarz-Ungleichung für zeitartige Vektoren. Schnittpunkte von Lichtkegeln mit kausalen Geraden.
- P2: Ein erstaunlicher Höhensatz füur zeitartige Dreiecke im Minkowskiraum.
- H2: Einstein-Synchronisation. Eindeutigkeit reziprok gleichzeitiger Ereigneisspaare auf windschiefen zeitartigen Geraden.
- H3: Definition des Begriffs "konstante Beschleunigung". Bestimmung aller Weltlinien konstanter Beschleunigung im Minkowski-Raum.
- Blatt 14 (pdf):
- Finale Präsenzübung: Das speziell-relativistische Kepler-Problem. Teil 1: Integration der Bewegungsgleichung. Teil 2: Existenz einer unteren Schranke an den Drehimpuls für gebundene Librationsbahnen mit Anwendungen in der Gravitations- und Atomphysik. Teil 3: Bestimmung der Bahnparameter als Funktion der Erhaltungsgrößen, insbesondere der Periastrondrehung. Nachweis des Newton'schen Falls im "nicht-relativistischen" Limes.
