Homepage zur Vorlesung im WS 2012/13 Die kanonische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie

Module: Schwerpunktbereich Master Physik (5LP)

Zeit und Raum

Donnerstags 8-10 (1101-A410) und Freitags 10-12 (3701/268). Erste Vorlesung: 18.10.

Übungen

Die Vorlesung ist 3+1-stündig konzipiert. Das bedeutet, dass in der Regel jeder zweite Freitagstermin für 2-stüngige Übungen genutzt wird. An diesen Übungsterminen werden Aufgaben besprochen, die eine Woche zuvor hier bereitgestellt werden.

Beschreibung

Diese Vorlesung richte sich an alle Studenten/innen die zumindest eine einführende Vorlesung über Allgemeinen Relativitätstheorie gehört haben und mit den grundlegenden differentialgeometrischen Konzepten vertraut sind. Ziel der Vorlesung ist die Umformulierung der Einstein'schen Feldgleichungen in die Form von Evolutionsgleichungen Hamilton'schen Typs und deren Diskussion. Dies erlaubt Anfangswertprobleme in der ART zu diskutieren, etwa die Kollision Schwarzer Löcher vorgegebener Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten. Allerdings führt die Diffeomorphismeninvarianz der Einsteingleichungen neben den (hyperbolischen) Evolutionsgleichungen noch zu sogenannten Zwangsbedingungen (englisch: "constraints"), die die Wahl von Anfangsdaten durch (elliptische) Differentialgleichungen einschränken.

Diese Formulierung der ART, als Hamilton'sches dynamisches System mit Zwangsbedindungen, ist nicht nur Ausgangspunkt der Diskussionen zeitabhängiger Probleme in Rahmen der ART, wie z.B. der Kollision schwarzer Löcher und der begleitenden Erzeugung von Gravitationswellen, sondern auch des Versuchs, die formalen kanonischen Quantisierungsregeln (iℏ{O,U} → [Ô,Û]) auf die Gravitation zu übertragen. Dies gelingt zum guten Teil für Modelle der Quantenkosmologie, in denen die zur Materie und zur Gravitation gehörigen Freiheitsgrade durch Symmetrieforderungen auf endlich viele eingeschränkt sind. Der allgemeine Fall ist technisch aufwendig und bisher nicht abgeschlossen. Im Unterschied zur Stringtheorie geht dieser Zugang von der Hypothese aus, dass sich die Gravitation ohne vorherige Vereinheitlichung mit anderen Wechselwirkungen quantisieren lässt. Das wirft einige grundlegende Fragen auf.

Vorläufige Themeliste

1. Die Einsteingleichungen und ihr differentialgeometrischer Hintergrund
 
2. Blätterungen von Raumzeiten durch raumartige Hyperflächen
 
3. Die (3+1)-Zerlegung der Einsteingleichungen
 
4. Hamilton'sche Formulierung
 
5. Energie, Impuls und Drehimpuls asymptotisch flacher Daten
 
6. Einfache Beispiele für Angfangsdaten zweier und mehrere Schwarzer Löcher; Bindungsenergie
 
7. Die "konforme Methode" zur Lösung der Constraints (Zwangsbedingungen)
 
8. Anfangsdaten für Schwarze Löcher mit Impuls und Drehimpuls
 
9. Die Poisson-Struktur der Constraints und der Eindeutigkeitssatz von Teitelboim und Kuchař
 
10. Allgemeines zum Verhältnis von Quantentheorie und Gravitation
 
11. Das Kanonische Quantisierungsprogramm; Quantisierung mit Zwangsbedingungen
 
12. Anwendungen in der Quantenkosmologie
 
13. Ausblick auf den Allgemeinen Fall
 

Literatur

Differentialgeometrischer Hintergrund

Das Skript zur Vorlesung Differentialgeometrie Teil 1 (Riemann'sche und Semi-Riemann'sche Geometrie) gibt es hier.

Lehrbücher

1. Martin Bojowald: Canonical Gravity and Applications. Cambridge University Press 2011.
 
2. Claus Kiefer: Quantum Gravity (second edition). Oxford University Press 2007.
 
3. Carlo Rovelli: Quantum Gravity. Cambridge University Press 2004.

Originalveröffentlichungen

1. S. Hojman, K. Kuchař und C. Teitelboim: Geometrodynamics Regained. Annals of Physics 96 (1976) 88-135.
 
2. T. Regge und C. Teitelboim: Role of Surface Integrals in the Hamiltonian Formulation of General Relativity. Annals of Physics 88 (1974) 286-318.
 
3. C. Teitelboim: How Commutators of Constraints Reflect the Spacetime Structure. Annals of Physics 79 (1973) 542-557