Algebren, Gruppen und Symmetrien in der Physik

1. Die Lorentzgruppe
2. Lie-Algebren in der QCD
3. Auswahlregeln und Tensorprodukte
4. Tensorprodukte und Young-Tableaux
5. Das Standardmodell und Darstellungstheorie
6. Vereinheitlichte Theorien und Lie-Unteralgebren
7. Supersymmetrische Erweiterungen des Standardmodells
8. Auslick auf unendlich dimensionale Lie-Algebren und String-Theorie
9. Lie-Gruppen in der Festkörperphysik, z.B. in der Hochtemperatur-Supraleitung

• Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, Gauge Theory of elementary particle physics, Oxford University Press (1988)
• Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
• Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
• Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
• Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

Symmetrien spielen in der modernen Physik eine entscheidende Rolle. Die einem oft verstreut begegnenden Beispiele wie das Noether-Theorem in der theoretischen Mechanik, die Eichinvarianz in der Elektrodynamik, und Darstellungen der Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik sollen in dieser Vorlesung in ihren gemeinsamen Aspekten betrachtet und in einen allgemeineren Zusammenhang gestellt werden. Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt allerdings auf der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und besonders Lie-Algebren.
    Ein Ziel ist die Klassifikation der komplexen einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelschen Eichfeldtheorien, auftreten können. Die Erarbeitung der notwendigen Mathematik soll Hand in Hand mit der ausführlichen Betrachtung von Beispielen gehen.
    Das zweite wichtige Ziel dieser Vorlesung ist die Heranführung an modernere Methoden der theoretischen Physik, bei denen der algebraische Zugang im Vordergrund steht. Wenn es die Zeit erlaubt, werden am Ende der Vorlesung auch kurz unendlich-dimensionale Algebren vorgestellt, die z.B. in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen.

Voraussetzungen

Ab 6. Semester, Schwerpunkt Master. Quantenmechanik (z.B. Drehimpulsalgebra), Elektrodynamik (z.B.Eichinvarianz), Mechanik (z.B. Noether-Theorem). Außerdem eine gute Portion Spaß an mathematischen und abstrakten Strukturen.

Wintersemester 2000/01

Sommersemester 2001 (Seminar)

Sommersemester 2010

• Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin/Cummings (1984)
• J. Fuchs and C. Schweigert, Symmetries, Lie-Algebras and Representations, Cambridge UP, 1997
• William Fulton and Joe Harris, Representation Theory, Springer-Verlag (1991) GTM vol. 129
• Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
• Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
• Brian C. Hall, An Elementary Introduction to Groups and Representations, arXiv:math-ph/0005032
• Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press (1978)
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1970) GTM vol. 9
• H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians, North-Holland, 1965
• Hans Samelson, Note on Lie Algebras, Springer-Verlag (1980) Universitext
• Nils-Peter Skoruppa, A Crash Course in Lie Algebras, Université Bordeaux (1997)
• Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
• Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

Symmetrien spielen in der modernen Physik eine entscheidende Rolle. Die einem oft verstreut begegnenden Beispiele wie das Noether-Theorem in der theoretischen Mechanik, die Eichinvarianz in der Elektrodynamik, und Darstellungen der Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik sollen in dieser Vorlesung in ihren gemeinsamen Aspekten betrachtet und in einen allgemeineren Zusammenhang gestellt werden. Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt allerdings auf der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und besonders Lie-Algebren.
    Ein Ziel ist die Klassifikation der komplexen einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelschen Eichfeldtheorien, auftreten können. Die Erarbeitung der notwendigen Mathematik soll Hand in Hand mit der ausführlichen Betrachtung von Beispielen gehen.
    Das zweite wichtige Ziel dieser Vorlesung ist die Heranführung an modernere Methoden der theoretischen Physik, bei denen der algebraische Zugang im Vordergrund steht. Wenn es die Zeit erlaubt, werden am Ende der Vorlesung auch kurz unendlich-dimensionale Algebren vorgestellt, die z.B. in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen.

Voraussetzungen

Ab 5. Semester. Quantenmechanik (z.B. Drehimpulsalgebra), Elektrodynamik (z.B. Eichinvarianz), Mechanik (z.B. Noether-Theorem). Außerdem eine gute Portion Spaß an mathematischen und abstrakten Strukturen.

Wintersemester 2005/06

Wintersemester 2004/05

• Gordon Baym and Leo P. Kadanoff, Quantum Statistical Mechanics, W. A. Benjamin 1962
• Richard P. Faynman, Statistical Mechanics: A Set of Lectures, W. A. Benjamin 1972
• R.K. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamon Press 1982
• F. Reif, Fundamentals of statistical and thermal physics, McGraw-Hill 1965
• H. Schulz, Statistische Physik, Harri Deutsch 2005
• Franz Schwabl, Advanced quantum mechanics, Springer 1999

Das Seminar richtet sich zwar in erster Linie an die Mitglieder meiner Arbeitsgruppe, steht aber natürlich fortgeschrittenen mathematisch interessierten Studenten, die sich in Richtung der theoretischen Hochenergie-Physik spezialisieren wollen, offen.
    Ziel ist es, den Ansatz von Nathan Seiberg und Edward Witten für effektive Niederenergie-Feldtheorien zu N=2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorien (nicht-abelsche Eichtheorien) nachzuvollziehen und zu verstehen, wie diese effektiven Theorien vollständig und exakt gelöst werden können.
    Der erste Teil des Seminars widmet sich den Grundlagen wie Monopole und Supersymmetrie. Der zweite Teil des Seminars widmet sich der Konstruktion der effektiven Nieder-Energie-Theorien, der Berechnung ihrer BPS-Spektren und der Analyse ihrer Phasen.

Teil I

Teil II

Im zweiten Teil wurden die Vorträge mit Tafel und Kreide gehalten, es gibt daher keine pdf Versionen ;-) 

• Luis Alvarez-Gaumé, S.F. Hassan, "Introduction to S-Duality in N=2 Supersymmetric Gauge Theories: A Pedagogical Review of the Work of Seiberg and Witten", arXiv:hep-th/9701069
• Adel Bilal, "Duality in N=2 SuSy SU(2) Yang-Mills Theory: A Pedagogical Introduction to the Work of Seiberg and Witten", arXiv:hep-th/9601007
• José Miguel Figueroa-O'Farrill, "BUSSTEPP Lectures on Supersymmetry"
• José Miguel Figueroa-O'Farrill, "Electromagnetic Duality for Children"
• Wolfgang Lerche, "Introduction to Seiberg-Witten Theory and its Stringy Origin", arXiv:hep-th/9611190
• Nathan Seiberg, Edward Witten, "Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N=2 Supersymmetric Yang-Mills Theory", arXiv:hep-th/9407087
• Nathan Seiberg, Edward Witten, "Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breaking in N=2 Supersymmetric QCD", arXiv:hep-th/9408099
• D. Bailin, A. Love, Supersymmetric Gauge Field Theory and String Theory, Institute of Physics Publishing, Bristol/Philadelphia, 1994

Wir erarbeiten zusammen das kleine Büchlein “Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras” von Victor Kac und Ashok Raina. Das Buch ist in 12 Vorträge gegliedert. Folgende Themen werden wir behandeln bzw. anreißen:

• Virasoro Algebra und ihre Darstellungen (Verma Module, irreduzible Module, unitäre Darstellungen);
• Lie-Algebren unendlich-dimensionaler Matrizen, deren Darstellungen und die zugehörigen bosonischen und fermionischen Fockräume;
• Bosonen-Fermionen-Korrespondenz (ein in der modernen Festkörperphysik sehr wichtiges Konzept);
• Vertex-Operatoren (ein in der Stringtheorie und der konformen Feldtheorie wichtiges Konzept);
• Schur-Polynome (mögen Mathematiker und Kombinatoriker auch sehr gern);
• Solitonen am Beispiel der KP-Hierarchie von partiellen Differentialgleichungen;
• Kac-Determinante, Sugawara-Konstruktion und Goddard-Kent-Olive-Konstruktion (diese Konzepte sind in der konformen Feldtheorie sehr wichtig);
• Weyl-Kac Charakterformel und Theta-Funktionen;

Dieses Seminar stellt damit mathematische Grundlagen und Konzepte zur Verfügung, die in modernen Zweigen der theoretischen Physik wie der Stringtheorie, aber auch in Bereichen der Festkörperphysik, eine zentrale Rolle spielen. Konkrete Anwendungsbeispiele werden wir, sofern es die Zeit zuläßt, hin und wieder ansprechen.

Voraussetzungen

7. Semester, ggf. auch 5. Semester. Quantenmechanik ist essentiell. Grundkenntnisse in Lie-Algebren sind sehr hilfreich. Etwas Gruppentheorie und statistische Physik schaden nicht. Wirklich wichtig ist aber Spaß an mathematischen Strukturen in der Physik.

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• V.G. Kac, A.K. Raina, Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras, Adv. Series Math. Phys., Vol. 2, World Scientific (1987)
• J. Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press (1992)
• P. Goddard, D. Olive (eds.), Kac-Moody and Virasoro Algebras, World Scientific (1988)
• V.G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras (2nd ed.), Cambridge University Press (1990)
• Eine schöne Zusammenfassung vor allem der ersten Lectures findet sich, neben anderem, in einem Auszug aus der Masters-Thesis von Jonas T. Hartwig, Highest weight representations of the Virasoro algebra.

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Beginnend mit einer Diskussion von Lorentztransformationen und speziell von Spinoren, führen wir die Supersymmetriealgebra ein. Das mathematische Konzept soll dann kurz anhand gradierter Lie-Algebren diskutiert werden. An einfachen Modellen werde ich das Wess-Zumino-Modell, Supersymmetrische QED und Supersymmetrische Eichtheorien in der Wess-Zumino-Eichung durchnehmen. Ferner möchte ich diskutieren, wie die Supersymmetrie, die bei unseren niedrigen Alltagsenergien nicht beobachtet wird, gebrochen wird. Anschließend sollen die Grundzüge der minimalen supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM) erarbeitet werden. Wenn es die Zeit erlaubt, will ich noch die exakte Lösung von N=2 Super-Yang-Mills-Theorien a la Seiberg und Witten besprechen.

Voraussetzungen

7. Semester, ggf. auch 5. Semester. Quantenmechanik ist essentiell. Grundkenntnisse in Lie-Algebren und deren Darstellungstheorie, wie sie z.B. in meiner Vorlesung vom SS 2003 erarbeitet wurden, sind sehr hilfreich, ebenso wie ein Grundwissen zu Feldtheorien. Wichtig ist, Spaß an mathematischen Strukturen in der Physik zu haben.

• Jonathan Bagger, Julius Wess, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press (1990)
• Stephen Weinberg, The quantum theory of fields, insbesondere Volume 3 Supersymmetry, Cambridge University Press (1999)
• M.F. Sohnius, Introducing Supersymmetry, Phys.Rept. 128 (1985) 39-204
• H.P. Nilles, Supersymmetry, Supergravity and Particle Physics, Phys.Rept. 110 (1984) 1
• S. Martin, A Supersymmetry primer, arXiv:hep-ph/9709356
• J.M. Figueroa-O'Farrill, Busstepp Lectures on Supersymmetry, BUSSTEPP 2000 (Oxford) and 2001 (Manchester)
• Ioseph L.Buchbinder, Sergei M. Kuzenko, Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or A Walk Through Superspace, Institute of Physics Publishing, Bristol (1995)
• Peter West, Introduction to Supersymmetry and Supergravity, World Scientific (1986)
• Peter Freund, Introduction to Supersymmetry, Cambridge University Press (1986)

Lie-Gruppen und ihre Darstellungen sind ein wichtiges Werkzeug der modernen theoretischen Physik. Ausgehend vom Operator-Zugang zum Drehimpuls in der Quantenmechanik wird die Theorie der Lie-Algebren entwickelt und ihre unitären Darstellungen studiert. Am Ende steht eine Klassifikation der halb-einfachen Lie-Algebren, und damit auch der kontinuierlichen Symmetrien, die in modernen Gebieten der theoretischen Physik, wie zum Beispiel nicht-abelsche Eichfeldtheorien, auftreten können. Auf dem Weg dorthin werden die notwendigen Techniken und mathematischen Konzepte, z.B. Wurzeln und Gewichte, Young-Tableaux und Tensorprodukte, entwickelt und an Beispielen aus der Elementarteilchenphysik illustriert. Die Vorlesung wird sich vor allem nach dem Buch Lie Algebras in Particle Physics von Howard Georgi richten. Sie ist für Hörer des sechsten Fachsemesters geeignet.

Voraussetzungen

6. Semester, Quantenmechanik I

• Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin/Cummings (1984)
• J. Fuchs, C. Schweigert, Symmetries, Lie-Algebras and Representations, Cambridge UP, 1997
• William Fulton and Joe Harris, Representation Theory, Springer-Verlag (1991) GTM vol. 129
• Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings (1982) Frontiers in Physics vol. 54
• Robert Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley-Interscience (1974)
• Brian C. Hall, "An Elementary Introduction to Groups and Representations", arXiv:math-ph/0005032
• Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press (1978)
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1970) GTM vol. 9
• H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians, North-Holland, 1965
• Hans Samelson, Note on Lie Algebras, Springer-Verlag (1980) Universitext
• Nils-Peter Skoruppa, "A Crash Course in Lie Algebras", Université Bordeaux (1997)
• Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, S. Hirzel (1931)
• Brian G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience (1973)

Gegenstand dieses Seminars sind die grundlegenden Konzepte und wichtigsten Beispiele von Lie-Gruppen und Lie-Algebren, soweit sie Symmetrien und Invarianzen in der theoretischen Physik beschreiben. Hierunter fallen sowohl Raumzeit- als auch innere Symmetrien. Behandelt werden das Noether-Theorem, die Wurzel-Zerlegung und Klassifikation einfacher Lie-Algebren, Gewichtsdiagramme und Tensorprodukte ihrer Darstellungen, die Geometrie von Lie-Gruppen, sowie konkreter die Dreh-, Lorentz- und Poincaré-Gruppe.

Voraussetzungen

Vordiplom, zumindest jedoch theoretische Mechanik und Quantenmechanik I

• R.N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and their Representations
• N. Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie
• J. Fuchs, C. Schweigert, Symmetries, Lie-Algebras and Representations, Cambridge UP, 1997
• W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, GTM 129, Springer, 1991
• H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings, 1982
• R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Wiley & Sons, 1974
• B.C. Hall, An Elementary Introduction to Groups and Representations
• H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians, North-Holland, 1965
• L.H. Ryder, Quantum Field Theory (second edition), Cambridge University Press, 1996
• B.G. Wybourne, Classical Groups for Physicists, Wiley & Sons, 1974