Homepage zur Vorlesung im SS 2012 Differentialgeometrische Methoden der Physik II

Module: Schwerpunktbereich Master Physik (5LP)

Raum und Zeit

Gebäude/Raum 3701/268 (Großer Seminarraum), Donnerstags und Freitags 8-10 Uhr. Erste Vorlesung: 12.04.

Übungen

Die Vorlesung ist 3+1-stündig konzipiert. Das bedeutet, dass in der Regel jeder zweite Freitagstermin für 2-stüngige Übungen genutzt wird. An diesen Übungsterminen werden Aufgaben besprochen, die eine Woche zuvor hier bereitgestellt werden.

Beschreibung

Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der im SS 2011 gehaltenen Differentialgeometrischen Methoden der Physik I, deren Inhalt die Theorie der Riemann'schen und Semi-Riemann'schen Mannigfaltigkeitern war. Im 2. Teil soll es nun im Wesentlichen um die Theorie der Hauptfaserbündel und der dazu assoziierten Vektorbündel gehen. Die Vorlesung wendet sich an alle Interessierte, denen die Begriffe Mannigfaltigkeit, Lie Gruppe und Lie Algebra nicht mehr ganz fremd sind. Hauptfaserbündel erlauben eine universelle geometrische Definition der Begriffe Paralleltransport und kovarianten Ableitung. Diese tauchen in der Physik an sehr vielen Stellen auf, meist im Zusammenhang mit sogenannten Eichfeldern, die dann neben dem Begriff der Eichtransformation ebenfalls eine universelle geometrische Definition erhalten. Anwendungsfelder sind keineswegs nur geometrische Feldtheorien (ART, Elektrodynamik, Yang-Mills), sondern auch die klassischen Mechanik (z.B. n-Körperproblem; siehe Artikel von Littlejohn & Reinsch) oder die Quantenmechanik (z.B. Berry Phase).

Themeliste

1. Kurze Wiederholung: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
 
2. Lie-Gruppen und Lie-Algebren.
 
3. Etwas Geometrie Lie'scher Gruppen.
 
4. Operationen von Lie Gruppen auf Mannigfaltigkeiten.
 
5. Allgemeine Definition des Hauptfaserbündels.
 
6. Bündelautomorphismen, Eichtransformationen und Basisdiffeomorphismen.
 
7. Die 3-Sphäre als Hauptfaserbündel (Hopf Faserung) und einige Anwendungen davon in der Physik.
 
8. Die drei Definitionen von Zusammenhängen auf Hauptfaserbündeln und deren Äquivalenz.
 
9. Holonomie, Holonomiegruppe, Paralleltransport und Krümmung.
 
10. Das Basenbüdel einer Mannigfaltigkeit als spezielles Hauptfaserbündel. Torsion in Basenbündeln.
 
11. Physikalische Felder als vektorwertige, equivariante und horizontale Formen auf Prinzipalbündeln.
 
12. Zu Hauptfaserbündel assoziierte Vektorbündel. Äquivalenz von Schnitten in assoziierten Vektorbündeln zu vektorwertigen und equivarianten Funktionen auf dem Hauptfaserbündel.
 
13. Die Idee der Kaluza-Klein Theorie.

Literatur

Das Skript zu Teil 1 der Vorlesung gibt es hier.

Originalveröffentlichungen

1. Robert G. Littlejohn and Matthias Reinsch: Gauge fields in the separation of rotations and internal motions in the n-body problem. Reviews of Modern Physics 69, 213 - 276 (1997). (pdf)
2. Helmuth Urbantke: The Hopf fibration - seven times in physics. Journal of Geometry and Physics 46(2) (2003) 125-150. (pdf)
3. Barry Simon: Holonomy, the Quantum Adiabatic Theorem, and Berry's Phase. Physical Review Letters 51(24) (1983) 2167-2170. (pdf)

Bücher

1. Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics (second edition). The Benjamin/Cummings Publishing Company 1978. Online erhältlich unter resolver.caltech.edu/CaltechBOOK:1987.001 (Kapitel 4.1 bringt eine gute Zusammenfassung differentialgeometrisch relevanter Aspekte der Wirkung von Lie-Gruppen auf Mannigfaltigkeiten.)
2. David Bleecker: Gauge Theory and Variational Principles. Dover Publications 1981.
3. Clifford Henry Taubes: Differential Geometry - Bundles, Connection, Metrics and Curvature. Oxford University Press 2011.
4. Shoshichi Kobayashi und Katsumi Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Vol I. John Wiley & Sons, Inc., Classics Library Edition 1996.