Übungen und Ergänzungen zur Vorlesung Differentialgeometrische Methoden der Physik 2 Sommersemester 2012

Übungen

1. (Freitag 20.04.) (pdf):
   • Kartesische Produkte von Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten.
   • Offene Untergruppen topologischer Gruppen sind abgeschlossen.
   • Einige Eigenschaften von SO(3) und SU(2) als Gruppen und Mannigfaltigkeiten.
    
   
2. (Freitag 04.05.) (pdf):
   • Die Lie-Algebra der Gruppe GL(V) ist End(V).
   • Maurer-Cartan Form und Gleichung.
   • Euler'sche Winkel und Clifford'sche Tori in der SU(2).
   • Rechts- und linksinvariante (Ko-)Vektorfelder auf der SU(2) in Eulerkoordinaten.
    
   
3. (Freitag 25.05.) (pdf):
   • Effektive und transitive Wirkungen Abel'scher Gruppen sind einfach transitiv.
   • Beispiel einer nicht eigentlichen Wirkung.
   • Das Bild der Exponentialabbildung in SL(2,R) liegt nicht einmal dicht.
   • Jede zusammenhämgende Lie-Gruppe wird durch die Bilder der Exponentialfunktion erzeugt.
   • Linkstranslationen als Parallelverschiebung.
   • Die Killing-Metrik auf halbeinfachen Lie-Gruppen ist Einstein'sch.
   • Riemann-, Ricci- und skalare Krümmung der "gequetschten" (engl. "squashed") S³.
    
   
4. (Freitag 15.06.) (pdf):
   • Beziehung zwischen links- und rechts-invarianten Vektorfeldern.
   • Wann gilt Gleichheit zwischen links- und rechtsinvarianten symmetrischen Bilinearformen?
   • Wann gilt Gleichheit zwischen links- und rechtsinvarianten Maßen?
   • Symmetrien links-invarianter Metriken auf SU(2).
   • SU(2) als U(1)-Hauptfaserbündel mit Zusammenhang.
   • Geometrie der affinen Gruppe ℜ ⋊ ℜ₊.
    
   
5. (Freitag 29.06.) (pdf):
   • Verallgemeinerte Jacobi-Identität für Lie-Algebra-wertige Formen.
   • Komponentenform der Krümmung.
   • Wirkung von Bündelautomorphismen auf Zusammenhängen.
   • Büdeltheoretische Beschreibung gleichförmig rotierender Bezugssysteme im Minkowskiraum. Sagnac-Effekt als Holonomie.